2022年 开滦第二中学高中数学选修4-5：1.2.1基本不等式

【学习目标】1.了解两个正数的算术平均数和几何平均数的定义；
2.使学生理解并掌握根本不等式；
3.利用根本不等式及其变形证明不等式或求最值.
【重点难点】1.，
2.
难点：均值不等式的应用，“等号〞是否取到的问题.【学习过程】
一、问题情景导入：
1.我们已经学过重要不等式，该不等式是怎么推导的？
二.自学探究：〔阅读课本第5-7页，完成下面知识点的梳理〕
1.定理1：如果，那么，当且仅当时，等号成立.
2.定理2〔根本不等式〕如果，那么，当且仅当时，等号成立.注：应用定理2的条件：一正、二定、三相等.
3.如果都是正数，我们就称为的算术平均，
为的几何平均.
于是，根本不等式可以表述为：
.
4.中一个为定值，其他两个的最值的求法.
三、例题演练：
题型一.利用根本不等式证明不等式：
例1．成立的必要条件是〔〕
A.，
B.
C.，
D.以上都不正确
变式：，且.
求证：.
题型二.利用根本不等式求函数最值：
例2.设，那么函数的最大值是.
变式：，那么的最小值为.
题型三.根本不等式的实际应用：
例3.某公司租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用和分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多远处？
变式：在对角线有相同长度的所有矩形中，怎样的矩形周长最长，怎样的矩形面积最大？
【课堂小结与反思】
【课后作业与练习】
1.那么以下不等式成立的是〔〕
2.设那么，中最大的是。

4.求函数的最大值。

A.函数的最小值为2，
B.函数的最小值为2，
C.函数的最小值为，
D. 函数的最大值为
6假设，，那么的大小顺序。

7.假设，那么的最大值为。

8.设求函数的最大值；
9.当时，求函数的最大值。

10.假设那么有〔〕
A.最大值，
B.最小值，
C.最大值1，
D.最小值1。

11.假设对任意恒成立，那么的取值范围是。

12.⑴求证，
⑵设是不全相等的正数，求证：
①，
②.
13.将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求在上，在上，且对角线过点，.
⑴要使矩形的面积大于，那么的长应在什么范围内？
⑵当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求最小面积？
⑶假设的长度不小于，那么当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积.
附件1：律师事务所反盗版维权
学校名录参见：hww.zxxk /wxt/list.aspx?ClassID=3060。