黑龙江省大庆市第十中学2019-2020学年高二上学期期末数学(文)试题(解析版)

数学（文科）
一、单选题
1.下列几何体中，多面体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
判断各选项中几何体的形状，从而可得出多面体的选项.
【详解】A 选项中的几何体是球，是旋转体；B 选项中的几何体是三棱柱，是多面体； C 选项中的几何体是圆柱，旋转体；D 选项中的几何体是圆锥，是旋转体. 故选B.
【点睛】本题考查多面体的判断，要熟悉多面体与旋转体的基本概念，考查对简单几何体概念的理解，属于基础题.
2.已知x ，y 是两个变量，下列四个散点图中，x ，y 虽负相关趋势的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C 【解析】
由图可知C 选项中的散点图描述了y 随着x 的增加而减小的变化趋势， 故选C
3.若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则
A. p 或q 为假
B. q 真
C. q 假
D. 不能判断q 的真假
【答案】C 【解析】 试题分析：命题“”为假，说明p 与q 中至少有一个是假命题，“”为假说明p 为真命题，所以q 为假
命题.
考点：本小题主要考查了由复合命题的真假判断命题的真假. 点评：解决此类问题的关键是掌握复合命题的真值表并能熟练应用.
4.已知A ，B 分别是椭圆22
22:1y x C a b
+=（0a b >>）的左顶点和上顶点，线段AB 的垂直平分线过右顶
点.若椭圆C 的焦距为2，则椭圆C 的长轴长为（ ）
A.
B.
C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
线段AB 的垂直平分线过右顶点，则有2b =222a b c =+，22c =可求得2a .
【详解】A ，B 分别是椭圆C ：22
221y x a b
+=（a ＞b ＞0）的左顶点和上顶点，线段AB 的垂直平分线过右顶
点．若椭圆C 的焦距为2，
则2b =a 2＝3b 2，又a 2＝b 2+c 2，c ＝1，所以，2a =
故选：D ．
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，属于基础题。

在解决圆锥曲线问题时，注意图形中的一些线段与,,a b c 的关系是解题基础.
5.如果数据121x +、221x +、L 、21n x +的平均值为5，方差为16，则数据：153x -、253x -、L 、53n x -的平均值和方差分别为（ ） A. 1-，36 B. 1-，41
C. 1，72
D. 10-，144
【答案】A 【解析】 【分析】
计算出数据1x 、2x 、L 、n x 的平均值x 和方差2s 的值，然后利用平均数和方差公式计算出数据153x -、
253x -、L 、53n x -的平均值和方差.
【详解】设数据1x 、2x 、L 、n x 的平均值为x ，方差为2s ， 由题意
()()()()
121221212121215n n x x x x x x x n
n
++++++++=+=+=L L
，得2x =，
由方差公式得()()
()()
()()
2
2
2
12212121212121n x x x x x x n
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
+-+++-++++-+⎣
⎦⎣⎦⎣⎦L ()()()
222
1224416
n x x x x x x s n
⎡⎤-+-++-⎢⎥⎣⎦===L ，24s ∴=. 所以，数据153x -、253x -、L 、53n x -的平均值为
()()()
12535353n x x x n
-+-+-L ()
1235535321n x x x x n
+++=-
=-=-⨯=-L ，
方差为()()
()()
()()
2
2
2
12535353535353n x x x x x x n
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
---+---++---⎣
⎦⎣⎦⎣⎦L ()(
)
()
2
2
2
12
29936n x x x x x x s n
⎡⎤
-+-++-⎢⎥⎣
⎦===L .
故选：A.
【点睛】本题考查平均数与方差的计算，熟练利用平均数与方差的公式计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
6.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A. 0.3 B. 0.4
C. 0.6
D. 0.7
【答案】B 【解析】
【详解】分析：由公式()()()()P A B P A P B P AB ⋃=++计算可得 详解：设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付， 则()()()()P A B P A P B P AB 1⋃=++= 因
()()P A 0.45,P AB 0.15==
所以()P B 0.4=， 故选B.
点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题．
7.在空间中,已知,m n 为不同的直线,,,αβγ为不同的平面,则下列判断错误．．的是（ ） A. 若,,//m n m n αα⊂⊄,则//n α B. 若//,,m n αβαγβγ⋂=⋂=,则//m n C. 若,,,l m l n m n αα⊥⊥⊂⊂,则l α⊥ D. 若,l l αβ⊥⊂,则αβ⊥
【答案】C 【解析】 【分析】
结合点、直线、平面的位置关系,对四个选项逐个分析即可选出答案. 【详解】对于A 选项,根据线面平行的判定定理,即可得出//n α,A 正确； 对于B 选项,根据面面平行的性质定理即可得出//m n ,B 正确；
对于C 选项,若//m n ,不满足线面垂直的判定定理,不能得出l α⊥,C 错误； 对于D 选项,根据面面垂直的判定定理,即可得出αβ⊥,D 正确. 故选C .
【点睛】本题考查了点线面的位置关系,考查了学生的空间想象能力与推理能力,属于基础题.
8.如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】B 【解析】 【分析】
计算出正方形的面积，根据几何概型的原理可求得结果.
【详解】正方形二维码的面积为：339⨯= ∴黑色部分的面积为：1089484
951089
-⨯=
故选B
【点睛】本题考查几何概型的应用，属于基础题. 9.求11111135792019
+
+++++L 的程序框图，如图所示，则图中判断框中可填入（ ）
A. 1010?n ≤
B. 1011?n ≤
C. 1012?n ≤
D. 2019?n ≤
【答案】A 【解析】 【分析】
阅读程序框图，写出前面几步，再总结规律，得到11111
135792019
S =++++++L 时，1011n =，从而推断判断框应填的条件. 【详解】1S =，2n =；
1
13
S =+，3n =；
依此类推11111
135792019
S =++++++L ，1011n =，
故判断框中可填入“1010?n ≤”. 故选：A.
【点睛】本题考查程序框图的阅读，求解的关键是抓住求和的规律，考查特殊到一般的思想的运用. 10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A. 86π+
B. 66π+
C. 812π+
D. 612π+
【答案】B 【解析】
由三视图可得该几何体是由圆柱的一半（沿轴截面截得，底面半径为1，母线长为3）和一个半径为1的半球组合而成（部分底面重合），则该几何体的表面积为1
2π+π2π3236π62
S =+⨯⨯
+⨯=+. 【名师点睛】先利用三视图得到该组合体的结构特征，再分别利用球的表面积公式、圆柱的侧面积公式求出各部分面积，最后求和即可.处理几何体的三视图和表面积、体积问题时，往往先由三视图判定几何体的结构特征，再利用相关公式进行求解.
11.如图，正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是1BB 的中点，则AD 与平面11AAC C 所成角的正弦值等于（ ）
A.
2
B.
2
C.
4
D.
4
【答案】C 【解析】 【分析】
记P Q 、分别为直线11AC A C 、的中点，取PQ 中点E ，连结AE ，DE ，只需证DE ⊥平面11ACC A ，即可得DAE ∠是A D 与平面11AAC C 所成的角，进而可求出结果.
【详解】记P Q 、分别为直线11AC A C 、的中点，取PQ 中点E ，连结AE ，DE ，所以在正三棱柱
111ABC A B C -中，1B Q ⊥平面11AAC C ；又D 是1BB 的中点，所以1DE B Q P ,所以DE ⊥平面11ACC A ，
故DAE ∠即是A D 与平面11AAC C 所成的角；设124AA AB ==，则AD =
=
1DE B Q ===DE sin DAE AD 4
∠=
=
. ，，C.
【点睛】，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.
12.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，过点F 且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支一定
有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. (1,2)
C.
D. )+∞
【答案】C 【解析】 【分析】 求出双曲线
渐近线方程，由题意可知，双曲线渐近线的倾斜角范围是0,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
，再由斜率公式和离心率公式计算即可得到范围．
【详解】解：双曲线22
221x y a b
-=的渐近线方程为b y x a =±，
由题意可知，双曲线渐近线的倾斜角范围是0,
4π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
渐近线斜率1()0,k ∈，
而b k a ==，
由此得不等式222
1c a a -<，即22
2c a <，
故2
222c e a
=<，所以1e << 故选：C ．
【点睛】本题考查直线和双曲线的相交的交点问题，关键是要发现直线和渐近线的倾斜程度的关系，考查了离心率的求法以及运算能力，属于基础题．
二、填空题
13.命题“[)0,x ∀∈+∞，ln 10x x ++>”的否定是___________. 【答案】[)00,∃∈+∞x ，00ln 10x x ++≤ 【解析】 【分析】
利用全称命题的否定的结构形式可求给定的命题的否定. 【详解】命题的否定为：[)00,∃∈+∞x ，00ln 10x x ++≤. 故答案为：[)00,∃∈+∞x ，00ln 10x x ++≤.
【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是
x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.
14.某单位有职工480人，其中青年职工210人，中年职工150人，老年职工120人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________. 【答案】16 【解析】 【分析】
按比例计算出中年职工、老年职工中抽取的人数，三者的和为样本容量． 【详解】设中年职工抽取了x 人，老年职工抽取了y 人，
则
7210150120
x y ==，解得5,4x y ==， 775416x y ++=++=．
故答案为：6．
【点睛】本题考查分层抽样，分层抽样中各层所抽取样本的个数是按比例抽取的．
15.已知平面直角坐标系xOy 中动点(,)P x y 到定点(1,0)的距离等于P 到定直线1x =-的距离，则点P 的轨迹方程为____________． 【答案】24y x = 【解析】 【分析】
根据已知条件利用抛物线的定义，即可写出动点P 的轨迹方程．
【详解】解：∵动点P （x ，y ）到定点（1，0）的距离等于P 到定直线x ＝﹣1的距离，满足抛物线的定义， ∴p ＝2，所以y 2＝4x
所以动点P 的轨迹方程为：y 2＝4x ． 故答案为y 2＝4x ．
【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查了抛物线的定义的应用，是基本知识的考查．
16.如图，多面体OABCD ，,,OA OB OC 两两垂直，==2AB CD ，=B AD C ，=AC BD 则经过,,,A B C D 的外接球的表面积是_________，
【答案】13π. 【解析】
根据,,OA OB OC 两两垂直构造如图所示的长方体，则经过,,,A B C D 的外接球即为长方体的外接球，故球的直径为长方体的体对角线的长． 设,,OA x OB y OC z ===,
由题意得2222
224
1012x y x z y z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩
，解得13x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
所以球半径为r ==
，球的表面积为
224413S r πππ==⨯=． 答案：13π 点睛：
与圆有关的组合体的有关计算是高考的重要考点，解答此类问题时要注意组合体的形式，并根据组合体的特点确定出球心的位置，从而求出球半径的大小．对于球的外接问题，若在条件中出现了过同一点的三条两两垂直的线段，可由此构造出一个长方体，则该长方体的体对角线即为外接球的直径．
三、解答题
17.设集合{}2
|320A x x x =++=，(){
}
2
|10B x x m x m =+++=；
（1）用列举法表示集合A ；
（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件，求实数m 的值. 【答案】（1）{}1,2A =--；（2）1m =或2m = 【解析】 【分析】
（1）解方程求集合A ，（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件，则B A ⊆ ，然后求解集合B ，根据子集关系求参数.
【详解】（1）()()2
320120x x x x ++=⇒++=
即1x =-或2x =- ，
{}1,2A =--；
（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件， 则B A ⊆ ，
()()()21010x m x m x x m +++=⇒++=
解得1x =- 或x m =-，
当1m =时，{}1B =-，满足B A ⊆，
当2m =时，{}1,2B =-- ，同样满足B A ⊆，
所以1m =或2m =.
【点睛】本题考查集合和元素的基本关系，以及充分条件和子集的关系，属于基础题型.
18.《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”， 《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：
（1）请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间回归直线方程ˆˆy
bx a =+； （2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.
参考公式： ()()()1122
211,ˆˆˆn n
i i i i i i n n
i
i i i x y nxy
x x y y b a y bx x x x n x ==-==---===---∑∑∑∑,参考数据：1
1415n i i i x y ==∑. 【答案】（1）ˆ8.5125.5y
x =-+；（2）49. 【解析】
【分析】
（1）由表中的数据，根据最小二乘法和公式，求得ˆˆ,b
a 的值，得到回归直线方程； （2）令9x =，代入回归直线的方程，即可得到该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.
【详解】（1）由表中数据知， 3,100x y ==，
∴1221141515008.55545ˆn i i i n i i x y nxy b x nx
==--===---∑∑， ˆ125.ˆ5a y bx =-=， ∴所求回归直线方程为8.512.5ˆ5y
x =-+. （2）令9x =，则8.591ˆ25.549y =-⨯+=人. 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中认真审题，根据最小二乘法的公式准
的
确计算，求得ˆˆ,b a的值是解答的关键和解答的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19.如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：
（1）80~90这一组的频数、频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数．（不要求写过程）
(3) 从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．
【答案】（1）4;（2）68．5、75、70;（3）．
【解析】
试题分析：（1）根据频率分步直方图的意义，计算可得40～50、50～60、60～70、70～80、90～100这5组的频率，由频率的性质可得80～90这一组的频率，进而由频率、频数的关系，计算可得答案；（2）根据频率分步直方图中计算平均数、众数、中位数的方法，计算可得答案；（3）记“取出的2人在同一分数段”为事件E，计算可得80～90之间与90～100之间的人数，并设为a、b、c、d，和A、B，列举可得从中取出2人的情况，可得其情况数目与取出的2人在同一分数段的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．
解：（1）根据题意，40～50这一组的频率为0．01×10=0．1，50～60的这一组的频率为0．015×10=0．15，60～70的这一组的频率为0．025×10=0．25，70～80的这一组的频率为0．035×10=0．35，90～100的这一组的频率为0．005×10=0．05，则80～90这一组的频率为1-（0．1+0．15+0．25+0．35+0．05）=0．1，其频数为40×0．1=4；
（2）这次竞赛的平均数为45×0．1+55×0．15+65×0．25+75×0．35+85×0．1+95×0．05=68．5，70～80一组的频率最大，人数最多，则众数为75，70分左右两侧的频率均为0．5，则中位数为70；
（3）记“取出的2人在同一分数段”为事件E ，因为80～90之间的人数为40×0．1=4，设为a 、b 、c 、d ，
90～100之间有40×0．05=2人，设为A 、B ，从这6人中选出2人，有（a ，b ）
、（a ，c ）、（a ，d ）、（a ，A ）
、（a 、B ）、（b ，c ）、（b ，d ）、（b ，A ）、（b 、B ）、（c 、d ）、（c 、A ）、（c 、B ）、（d 、A ）、（d 、B ）、（A 、B ），共15个基本事件，其中事件A 包括（a ，b ）、（a ，c ）、（a ，d ）、（b ，c ）、（b ，d ）、（c 、d ）、（A 、B ），共7个基本事件，则P （A ）=
． 考点：1．等可能事件概率；2．频率分布直方图．
20.如图所示，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥菱形ABCD 所在的平面，60ABC ∠=︒，E 是BC 中点，M 是PD 的中点．
（1）求证：平面AEM ⊥平面PAD ；
（2）若F 是PC 上的中点，且2AB AP ==，求三棱锥P AMF -的体积．
【答案】（1）见解析； （2）
6
. 【解析】
【分析】 （1）证明：连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，得到AE BC ⊥，证得所以AE AD ⊥，再利用线面垂直的判定定理得AE ⊥平面PAD ，再利用面面垂直的判定，即可证得平面AEM ⊥平面PAD .
（2）利用等积法，即可求解三棱锥P AMF -的体积.
【详解】（1）证明：连接AC ，
因为底面ABCD 为菱形，060ABC ∠=，所以ABC ∆是正三角形，
因为E 是BC 中点，所以AE BC ⊥，又//AD BC ，所以AE AD ⊥，
因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥，
又PA AD A ⋂=，所以AE ⊥平面PAD 的
又AE ⊂平面AEM ，所以平面AEM ⊥平面PAD .
（2）因为2AB AP ==，则2,AD AE ==
所以11112222
P AMF M PAF D PAF F PAD C PAD V V V V V -----====⨯
111111
2244312224P ACD ACD V S PA AD AE PA -∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=.
【点睛】本题主要考查了空间中位置关系的判定与证明及几何体的体积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，同时对于空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
21.如图，一个正ABC '∆和一个平行四边形ABDE 在同一个平面内，其中8AB =，BD AD ==AB ，DE 的中点分别为F ，G .现沿直线AB 将ABC '∆翻折成ABC ∆，使二面角C AB D --为120o ，设CE 中点为H .
（1）（i ）求证：平面CDF ∥平面AGH ；
（ii ）求异面直线AB 与CE 所成角的正切值；
（2）求二面角C DE F --的余弦值.
【答案】(1) （i ）证明见解析；（ii ）
8 (2) 37
【解析】
【分析】
（1）（i ）通过证明四边形FDGA 为平行四边形证得//FD AG ；通过三角形中位线证得//GH CD ，由此证得平面CDF ∥平面AGH.
（ii ）根据//DE AB 和DE CD ⊥判断CED ∠是两个异面直线AB 与CE 所成角.用勾股定理求得DF ，利用余弦定理求得CD ，由此求得异面直线AB 与CE 所成角的正切值.
（2）根据二面角的定义，判断出CDF ∠即为二面角C DE F --的平面角，利用余弦定理求得二面角的余弦值.
【详解】（1）（i ）证明：连FD .因为ABDE 为平行四边形，F 、G 分别为AB 、DE 中点，
所以FDGA 为平行四边形，所以FD AG ∥.-
又H 、G 分别为CE 、DE 的中点，所以HG CD ∥.
FD 、CD ⊄平面AGH ，AG 、HG ⊂平面AGH ，所以FD ∥平面AGH ，CD ∥平面AGH ，而FD 、CD ⊂平面CDF ，所以平面CDF ∥平面AGH .
（ii ）因为DE AB ∥，所以CED ∠或其补角即为异面直线AB 与CE 所成的角.
因为ABC 为正三角形，BD AD =，F 为AB 中点，所以AB CF ⊥，AB DF ⊥,从而AB ⊥平面CFD ，而DE AB ∥，所以DE ⊥平面CFD ，因为CD ⊂平面CFD ，所以DE CD ⊥.-
由条件易得CF =，DF ==CFD ∠为二面角C AB D --的平面角，所
以120CFD ∠=o ，所以CD =，所以
tan 8
CD CED DE ∠==. （2）由（1）的（ii ）知DE ⊥平面CFD ，即CD DE ⊥，FD DE ⊥，所以CDF ∠即为二面角C DE F --的平面角.
222cos
237CD DF CF CDF CD DF +-∠===⋅. 【点睛】本小题主要考查面面平行的证明，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查二面角余弦值的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
22.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点(0,2)M 是椭圆的一个顶点，12F MF △是等腰直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为1k ，2k ，且128k k +=，证明：直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭
. 【答案】（1）22
184
x y +=；（2）证明见解析 【解析】
【分析】
（1）由椭圆的顶点坐标可直接得b ，根据△12F MF 是等腰直角三角形可得b c =，进而由椭圆方程中,,a b c 的关系即可得椭圆方程；
（2）分类讨论直线的斜率不存在和直线斜率存在两种情况：当斜率存在时，设出直线方程，并联立椭圆后，设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理表示出1212,x x x x +，根据斜率关系128k k +=，整理可得m 与k 的等量关系，代入直线方程即可确定直线AB 过定点.当斜率不存在时，易证也过该定点即可.
【详解】（1）由已知可得2,b =，
12F MF △是等腰直角三角形可得b c =，
由2228a b c =+=， 则所求椭圆方程为22
184
x y +=. （2）若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y kx m =+，依题意2m ≠±.
设()11,A x y ，()22,B x y ， 由22
184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得()222124280k x kmx m +++-=. 则2121222428,1212km m x x x x k k
-+=-=++. 由已知1212
228y y x x --+=， 所以1212228kx m kx m x x +-+-+=，即1212
2(2)8x x k m x x ++-=.
所以42mk k m -=+，整理得122
m k =-. 故直线AB 的方程为122y kx k =+
-，即122y k x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 所以直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭
. 若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =，
设()00,A x y ，()00,B x y -，由已知0000
228y y x x ---+=， 得012x =-.此时AB 方程为12x =-，显然过点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭
. 综上，直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭
. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，椭圆的几何性质应用，直线与椭圆位置关系的综合应用，韦达定理求参数的值，直线过定点问题的求法，属于中档题.。