工程经济学——资金的时间价值
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解：
1
1
P
F
(1
i)n
1464.1
1
10%4
1464.1 0.6830
1000(元)
例:某单位计划5年后进行厂房维修，需资金 40万元，银行年利率按9%计算，问现在应一次性 存入银行多少万元才能使这一计划得以实现？
解：
P 40(P / F,9%,5)
F(1+i)= A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i)n-1 +A(1+i)n (2)
(2) －(1)
F(1+i) –F= A(1+i)n – A
F
A
(1
i)n i
1
A(F
/
A,i, n)
例：如连续5年每年年末借款1000元，按年利 率6%计算，第5年年末积累的借款为多少？
3000
0
方案C
1
2
3
4
5
6
6000
0
1
方案D
3000 3000
3000 23
3000
3000
4
5
6
哪个方案好？
方案E 方案F
200 200 200
300
0
1
2
34
400
300
200 200
100
0
1
2
3
4
400
货币的支出和收入的经济效应不仅与货币量 的大小有关，而且与发生的时间有关。由于货币 的时间价值的存在，使不同时间上发生的现金流 量无法直接加以比较，这就使方案的经济评价变 得比较复杂了。
10% (110%)5
(110%)5 1
1000
(
A
/
P,10%,
5)
10000.2638 263.8(万元)
7.均匀梯度系列公式
A1+(n-2)G A1+(n-1)G
A1+2G A1+G A1
0123
4
5 … n－1 n
均匀增加支付系列
A1
（1）
0
123
A
F
(1
i i)n
1
F
(
A
/
F,
i,
n)
例:某厂计划从现在起每年等额自筹资金，在 5年后进行扩建，扩建项目预计需要资金150万元， 若年利率为10%，则每年应等额筹集多少资金？
解：
10% A 150( A / F,10%,5) 150 (110%)5 1 150 0.1638 24.57(万元)
现金流出
600 200 200 200 200 200
净现金流量 -600 -100 500 500 500 500
3.现金流量图（cash flow diagram)
——描述现金流量作为时间函数的图形， 它能表示资金在不同时间点流入与流出的情 况。
现金流量图的三大要素
大小 流向 时间点
现金流入
答案: AC
例：写出下图的复利现值和复利终值，若年利率为i。
012 3
n-1 n
解：
A 012 3
n-1
A，P
/
A,i, n
A1
i
1 in i1 i
n
1
A
1 in 1 i1 in1
F A，F / A,i, n A1 i 1 in 1 A[1 i n1 1 1]
方案的支出——现金流出（cash outflow-CO ） 净现金流量（net cash flow）=CI-CO 同一时点的现金流量才能相加减
现金流量只计算现金收支(包括现钞、转账支票等凭 证),不计算项目内部的现金转移(如折旧等)
现金流量表
单位：万元
t年末 现金流入
1
2
3
4
5
6
0
100 700 700 700 700
= G （ 1+i）n －1 － n G
i
i
i
i
A2= F2 [ （ 1+i）n－1 ] =[
G i
（ 1+i）n －1 i
－ nG ] [
i
]
i
（ 1+i）n－1
=
G i
－nG
i
[
（
i
]
1+i）n－1
=
G i
－n
G i
（A/F,i,n）
= G[
1 i
－
n （A/F,i,n）] i
梯度系数（A/G,i,n）
40
1 (1 9%)5
40 0.6499
25.996(万元)
3.等额分付终值公式
F=？
01 2
3 … n –1 n
A (已知）
F
A
(1
i)n i
1
A(F
/
A,i, n)
公式推导
F= A+A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i)n-1
(1)
乘以(1+i)
资金时间价值原理应用的基本原则：
充分利用资金的时间价值 最大限度的获得资金的时间价值
注意
资金的 时间价值
性质不同
通货膨胀导 致货币贬值
资金与劳动相结 合的产物
通货膨胀：货币发行量超过 商品流通实际需要量引起货 币贬值和物价上涨现象
2.现金流量 (Cash Flow)
方案的收入——现金流入（cash inflow-CI ） 现金流量
（年）末； 本年的年末即是下一年的年初； P是在当前年度开始时发生； F是在当前以后的第n年年末发生； A是在考察期间各年年末发生。当问题包括P和A时，系
列的第一个A是在P发生一年后的年末发生；当问题包括 F和A时，系列的最后一个A是和F同时发生； 均匀梯度系列中，第一个G发生在系列的第二年年末。
A1
（1）
…
0 1 2 3 4 5 n－1 n
＋
A2
（3） 0 1 2 3
4
…
5 n－1 n
A=A1+A2
…
（4） 0 1 2 3 4 5 n－1 n
注：如支付系列为均匀减少，则有 A=A1－A2
等值计算公式表:
运用利息公式应注意的问题
方案的初始投资，假定发生在方案的寿命期初； 方案实施过程中的经常性支出，假定发生在计息期
… … … …
n－1 n
P(1+i)n-2 P(1+i)n-1
P(1+i)n-2 ·i P(1+i)n-1 ·i
P(1+i)n-1 P(1+i)n
例：在第一年年初，以年利率10%投资1000元， 则到第4年年末可得本利和多少？
F=?
i=10%
0
1
2
3 4年
1000
F=P(1+i)n =1000 (1+10%)4
6.等额分付资本回收公式
A =？
…
0
1
2
3 n –1 n
P (已知）
A
P
i(1 i)n (1 i)n 1
P(
A
/
P,
i,
n)
例:某投资人欲购一座游泳馆，期初投资1000 万元，年利率为10%，若打算5年内收回全部投资， 则该游泳馆每年至少要获利多少万元？
解:
A
1000
200 200
01
2
现金流出
400
300 200
3
4
时间
注意
第一年年末的时刻点同时也表示第二年年初 立脚点不同,画法刚好相反
4.利息与利率
利息（I）
——一定数额货币经过一定时间后资金的绝对增值
广义的利息
信贷利息 经营利润
利率（i）——利息递增的比率
利率(i%)=
每单位时间增加的利息 原金额（本金）
=G[
（
1+i）n－1 i
－1
]
＋G
（ [
1+i）n－2 i
－1
]＋…
＋
（ G[
1+i）2
－1
i
]
+
G
（ [
1+i）1 －1
]
i
=
G i
[（1+i）n-1+（1+i）n-2 + +（1+i）2+（1+i）1－（n－1）×1 ] …
=
G i
[（1+i）n-1+（1+i）n-2 +
nG
+（1+i）2+（1+i）1+1] － i
年末本利和 年末偿还
1100 1210 1331 1464.1
0 0 0 1464.1
单利、复利小结
单利仅考虑了本金产生的时间价值，未考虑前期利息 产生的时间价值
复利完全考虑了资金的时间价值 债权人——按复利计算资金时间价值有利
债务人——按单利计算资金时间价值有利 按单利还是按复利计算，取决于债权人与债务人的地
×100%
计息周期通常用年、半年、季度、月、日等表示
二、利息公式
利息计算
单利法 (利不生利)
复利法（利滚利）
I = P ·i ·n F=P（1+i ·n）
F=P(1+i)n I=F-P=P[(1+i)n-1]
P—本金 F—本利和
n—计息周期数 i—利率
使用期 年初款额
1
1000
2
1100
3
1200
如何比较两个方案的优劣——构成了本课程要 讨论的重要内容。这种考虑了货币时间价值的经 济分析方法，使方案的评价和选择变得更现实和 可靠。
一、基本概念
1.资金的时间价值 ——指初始货币在生产与流通中与劳动相结合，
即作为资本或资金参与再生产和流通，随着时间 的推移会得到货币增值，用于投资就会带来利润； 用于储蓄会得到利息。
影响资金时间价值的主要因素
资金的使用时间 资金增值率一定，时间越长，时间价值越大 资金数量的大小 其他条件不变，资金数量越大，时间价值越大 资金投入和回收的特点 总投资一定，前期投入越多，资金负效益越大； 资金回收额一定，较早回收越多，时间价值越大 资金的周转速度 越快，一定时间内等量资金的时间价值越大
4
…
5 n－1 n
＋
（2）
0
（3） 0
3G G 2G 123 4
（n－2）G （n－1）G
4G
…
5 n－1 n
A2
…
1 2 3 4 5 n－1 n
A2=
G[
1 i
－
n （A/F,i,n）] i
现金流量图（2）的将来值F2为:
F2=G（F/A,i,n－1）+G（F/A,i,n－2）+ … + G（F/A,i,2）+ G（F/A,i,1）
位 同一笔资金，当i、n相同，复利计算的利息比单利计
算的利息大，本金越大、利率越高、计息期数越多， 两者差距越大
复利计息利息公式
符号定义： i —— 利率 n —— 计息期数 P —— 现在值，本金 F —— 将来值、本利和 A —— n次等额支付系列中的一次支付，在各计息期末
实现 G —— 等差额（或梯度），含义是当各期的支出或收入
1 资金的时间价值
主要内容
资金时间价值计算 名义利率和有效利率转化 等值计算
年末 0 1 2 3 4
你选哪个
方案？
A方案 -10000 +7000 +5000 +3000 +1000
单位：元
B方案 -10000 +1000 +3000 +5000 +7000
你又选哪个
方案？
3000
3000
4
1300
单利年末计息
1000×10%=100 1000×10%= 100 1000×10%= 100 1000×10%= 100
年末本利和 年末偿还
1100 1200 1300 1400
0 0 0 1400
使用期 年初款额
1
1000
2
1100
3
1210
4
1331
复利年末计息
1000×10%=100 1100×10%=110 1210×10%=121 1331×10%=133.1
是均匀递增或均匀递减时，相临两期资金支出或 收入的差额
1.整付终值公式
01
2
P (已知）
3 …n –1
F=？ n
F = P(1+i)n = P(F/P,i,n)
整付终值利率系数
公式的推导
年份 1 2
年初本金P P
P(1+i)
当年利息I P·i
P(1+i) ·i
年末本利和F P(1+i) P(1+i)2
= 1464.1元
可查表 或计算
2.整付现值公式
0
1
P =？
2 3 … n –1
F (已知） n
1
P
F
(1
i)n
F
(P
/
F , i,
n)
1/(1+i)n —— 整付现值利率系数
例：若年利率为10%，如要在第4年年末得到的 本利和为1464.1元，则第一年年初的投资为多少？
例:有如下图示现金流量，解法正确的有(
)
F=?
0123 456 7 8
A
A. F=A(P/A,i,6)(F/P,i,8) B. F=A(P/A,i,5)(F/P,i,7) C. F=A(F/A,i,6)(F/P,i,2) D. F=A(F/A,i,5)(F/P,i,2) E. F=A(F/A,i,6)(F/P,i,1)
解：
F
(1 i)n
A
i
1
A(F
/
A, i, n)
1000
1
6%5
6%
1
1000 5.6371
5637.1(元)
思考：假如借款发生在每年年初，则上述结果
又是多少？
4.等额分付偿债基金公式
F(已知）
0 1 2 3 …n –1 n
A=？
5.等额分付现值公式
A (已知）
…
0
1
2
3 n –1 n
P=？
(1 i)n 1
P A
i(1 i)n
A(P / A,i, n)
根据
F = P(1+i)n
(1+i)n －1
F =A [
i
]
P(1+i)n
1
1
P
F
(1
i)n
1464.1
1
10%4
1464.1 0.6830
1000(元)
例:某单位计划5年后进行厂房维修，需资金 40万元，银行年利率按9%计算，问现在应一次性 存入银行多少万元才能使这一计划得以实现？
解：
P 40(P / F,9%,5)
F(1+i)= A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i)n-1 +A(1+i)n (2)
(2) －(1)
F(1+i) –F= A(1+i)n – A
F
A
(1
i)n i
1
A(F
/
A,i, n)
例：如连续5年每年年末借款1000元，按年利 率6%计算，第5年年末积累的借款为多少？
3000
0
方案C
1
2
3
4
5
6
6000
0
1
方案D
3000 3000
3000 23
3000
3000
4
5
6
哪个方案好？
方案E 方案F
200 200 200
300
0
1
2
34
400
300
200 200
100
0
1
2
3
4
400
货币的支出和收入的经济效应不仅与货币量 的大小有关，而且与发生的时间有关。由于货币 的时间价值的存在，使不同时间上发生的现金流 量无法直接加以比较，这就使方案的经济评价变 得比较复杂了。
10% (110%)5
(110%)5 1
1000
(
A
/
P,10%,
5)
10000.2638 263.8(万元)
7.均匀梯度系列公式
A1+(n-2)G A1+(n-1)G
A1+2G A1+G A1
0123
4
5 … n－1 n
均匀增加支付系列
A1
（1）
0
123
A
F
(1
i i)n
1
F
(
A
/
F,
i,
n)
例:某厂计划从现在起每年等额自筹资金，在 5年后进行扩建，扩建项目预计需要资金150万元， 若年利率为10%，则每年应等额筹集多少资金？
解：
10% A 150( A / F,10%,5) 150 (110%)5 1 150 0.1638 24.57(万元)
现金流出
600 200 200 200 200 200
净现金流量 -600 -100 500 500 500 500
3.现金流量图（cash flow diagram)
——描述现金流量作为时间函数的图形， 它能表示资金在不同时间点流入与流出的情 况。
现金流量图的三大要素
大小 流向 时间点
现金流入
答案: AC
例：写出下图的复利现值和复利终值，若年利率为i。
012 3
n-1 n
解：
A 012 3
n-1
A，P
/
A,i, n
A1
i
1 in i1 i
n
1
A
1 in 1 i1 in1
F A，F / A,i, n A1 i 1 in 1 A[1 i n1 1 1]
方案的支出——现金流出（cash outflow-CO ） 净现金流量（net cash flow）=CI-CO 同一时点的现金流量才能相加减
现金流量只计算现金收支(包括现钞、转账支票等凭 证),不计算项目内部的现金转移(如折旧等)
现金流量表
单位：万元
t年末 现金流入
1
2
3
4
5
6
0
100 700 700 700 700
= G （ 1+i）n －1 － n G
i
i
i
i
A2= F2 [ （ 1+i）n－1 ] =[
G i
（ 1+i）n －1 i
－ nG ] [
i
]
i
（ 1+i）n－1
=
G i
－nG
i
[
（
i
]
1+i）n－1
=
G i
－n
G i
（A/F,i,n）
= G[
1 i
－
n （A/F,i,n）] i
梯度系数（A/G,i,n）
40
1 (1 9%)5
40 0.6499
25.996(万元)
3.等额分付终值公式
F=？
01 2
3 … n –1 n
A (已知）
F
A
(1
i)n i
1
A(F
/
A,i, n)
公式推导
F= A+A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i)n-1
(1)
乘以(1+i)
资金时间价值原理应用的基本原则：
充分利用资金的时间价值 最大限度的获得资金的时间价值
注意
资金的 时间价值
性质不同
通货膨胀导 致货币贬值
资金与劳动相结 合的产物
通货膨胀：货币发行量超过 商品流通实际需要量引起货 币贬值和物价上涨现象
2.现金流量 (Cash Flow)
方案的收入——现金流入（cash inflow-CI ） 现金流量
（年）末； 本年的年末即是下一年的年初； P是在当前年度开始时发生； F是在当前以后的第n年年末发生； A是在考察期间各年年末发生。当问题包括P和A时，系
列的第一个A是在P发生一年后的年末发生；当问题包括 F和A时，系列的最后一个A是和F同时发生； 均匀梯度系列中，第一个G发生在系列的第二年年末。
A1
（1）
…
0 1 2 3 4 5 n－1 n
＋
A2
（3） 0 1 2 3
4
…
5 n－1 n
A=A1+A2
…
（4） 0 1 2 3 4 5 n－1 n
注：如支付系列为均匀减少，则有 A=A1－A2
等值计算公式表:
运用利息公式应注意的问题
方案的初始投资，假定发生在方案的寿命期初； 方案实施过程中的经常性支出，假定发生在计息期
… … … …
n－1 n
P(1+i)n-2 P(1+i)n-1
P(1+i)n-2 ·i P(1+i)n-1 ·i
P(1+i)n-1 P(1+i)n
例：在第一年年初，以年利率10%投资1000元， 则到第4年年末可得本利和多少？
F=?
i=10%
0
1
2
3 4年
1000
F=P(1+i)n =1000 (1+10%)4
6.等额分付资本回收公式
A =？
…
0
1
2
3 n –1 n
P (已知）
A
P
i(1 i)n (1 i)n 1
P(
A
/
P,
i,
n)
例:某投资人欲购一座游泳馆，期初投资1000 万元，年利率为10%，若打算5年内收回全部投资， 则该游泳馆每年至少要获利多少万元？
解:
A
1000
200 200
01
2
现金流出
400
300 200
3
4
时间
注意
第一年年末的时刻点同时也表示第二年年初 立脚点不同,画法刚好相反
4.利息与利率
利息（I）
——一定数额货币经过一定时间后资金的绝对增值
广义的利息
信贷利息 经营利润
利率（i）——利息递增的比率
利率(i%)=
每单位时间增加的利息 原金额（本金）
=G[
（
1+i）n－1 i
－1
]
＋G
（ [
1+i）n－2 i
－1
]＋…
＋
（ G[
1+i）2
－1
i
]
+
G
（ [
1+i）1 －1
]
i
=
G i
[（1+i）n-1+（1+i）n-2 + +（1+i）2+（1+i）1－（n－1）×1 ] …
=
G i
[（1+i）n-1+（1+i）n-2 +
nG
+（1+i）2+（1+i）1+1] － i
年末本利和 年末偿还
1100 1210 1331 1464.1
0 0 0 1464.1
单利、复利小结
单利仅考虑了本金产生的时间价值，未考虑前期利息 产生的时间价值
复利完全考虑了资金的时间价值 债权人——按复利计算资金时间价值有利
债务人——按单利计算资金时间价值有利 按单利还是按复利计算，取决于债权人与债务人的地
×100%
计息周期通常用年、半年、季度、月、日等表示
二、利息公式
利息计算
单利法 (利不生利)
复利法（利滚利）
I = P ·i ·n F=P（1+i ·n）
F=P(1+i)n I=F-P=P[(1+i)n-1]
P—本金 F—本利和
n—计息周期数 i—利率
使用期 年初款额
1
1000
2
1100
3
1200
如何比较两个方案的优劣——构成了本课程要 讨论的重要内容。这种考虑了货币时间价值的经 济分析方法，使方案的评价和选择变得更现实和 可靠。
一、基本概念
1.资金的时间价值 ——指初始货币在生产与流通中与劳动相结合，
即作为资本或资金参与再生产和流通，随着时间 的推移会得到货币增值，用于投资就会带来利润； 用于储蓄会得到利息。
影响资金时间价值的主要因素
资金的使用时间 资金增值率一定，时间越长，时间价值越大 资金数量的大小 其他条件不变，资金数量越大，时间价值越大 资金投入和回收的特点 总投资一定，前期投入越多，资金负效益越大； 资金回收额一定，较早回收越多，时间价值越大 资金的周转速度 越快，一定时间内等量资金的时间价值越大
4
…
5 n－1 n
＋
（2）
0
（3） 0
3G G 2G 123 4
（n－2）G （n－1）G
4G
…
5 n－1 n
A2
…
1 2 3 4 5 n－1 n
A2=
G[
1 i
－
n （A/F,i,n）] i
现金流量图（2）的将来值F2为:
F2=G（F/A,i,n－1）+G（F/A,i,n－2）+ … + G（F/A,i,2）+ G（F/A,i,1）
位 同一笔资金，当i、n相同，复利计算的利息比单利计
算的利息大，本金越大、利率越高、计息期数越多， 两者差距越大
复利计息利息公式
符号定义： i —— 利率 n —— 计息期数 P —— 现在值，本金 F —— 将来值、本利和 A —— n次等额支付系列中的一次支付，在各计息期末
实现 G —— 等差额（或梯度），含义是当各期的支出或收入
1 资金的时间价值
主要内容
资金时间价值计算 名义利率和有效利率转化 等值计算
年末 0 1 2 3 4
你选哪个
方案？
A方案 -10000 +7000 +5000 +3000 +1000
单位：元
B方案 -10000 +1000 +3000 +5000 +7000
你又选哪个
方案？
3000
3000
4
1300
单利年末计息
1000×10%=100 1000×10%= 100 1000×10%= 100 1000×10%= 100
年末本利和 年末偿还
1100 1200 1300 1400
0 0 0 1400
使用期 年初款额
1
1000
2
1100
3
1210
4
1331
复利年末计息
1000×10%=100 1100×10%=110 1210×10%=121 1331×10%=133.1
是均匀递增或均匀递减时，相临两期资金支出或 收入的差额
1.整付终值公式
01
2
P (已知）
3 …n –1
F=？ n
F = P(1+i)n = P(F/P,i,n)
整付终值利率系数
公式的推导
年份 1 2
年初本金P P
P(1+i)
当年利息I P·i
P(1+i) ·i
年末本利和F P(1+i) P(1+i)2
= 1464.1元
可查表 或计算
2.整付现值公式
0
1
P =？
2 3 … n –1
F (已知） n
1
P
F
(1
i)n
F
(P
/
F , i,
n)
1/(1+i)n —— 整付现值利率系数
例：若年利率为10%，如要在第4年年末得到的 本利和为1464.1元，则第一年年初的投资为多少？
例:有如下图示现金流量，解法正确的有(
)
F=?
0123 456 7 8
A
A. F=A(P/A,i,6)(F/P,i,8) B. F=A(P/A,i,5)(F/P,i,7) C. F=A(F/A,i,6)(F/P,i,2) D. F=A(F/A,i,5)(F/P,i,2) E. F=A(F/A,i,6)(F/P,i,1)
解：
F
(1 i)n
A
i
1
A(F
/
A, i, n)
1000
1
6%5
6%
1
1000 5.6371
5637.1(元)
思考：假如借款发生在每年年初，则上述结果
又是多少？
4.等额分付偿债基金公式
F(已知）
0 1 2 3 …n –1 n
A=？
5.等额分付现值公式
A (已知）
…
0
1
2
3 n –1 n
P=？
(1 i)n 1
P A
i(1 i)n
A(P / A,i, n)
根据
F = P(1+i)n
(1+i)n －1
F =A [
i
]
P(1+i)n