08届高三数学三角函数的化简求值与证明

g3.1049 三角函数的化简、求值与证明
一、知识回顾
1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数
2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

二、基本训练
1、已知θ是第三象限角，且4459
sin cos θθ+=，那么2sin θ等于 （ ） A
、3 B
、3
- C 、23 D 、23- 2
、函数222
y sin x x =-+的最小正周期 （ ） A 、2π B 、π C 、3π D 、4π
3、tan70cos10(3tan 201)-等于 （
）
A 、1
B 、2
C 、－1
D 、－2
4、已知46sin (4)4m m m αα--=≠-，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。

5、设10,sin cos 2
απαα<<+=，则cos 2α＝＿＿＿＿＿。

三、例题分析
例1、化简：
42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44
x x x x ππ-+-+
例2、设3177cos(),45124x x π
ππ+=<<，求2sin 22sin 1tan x x x
+-的值。

例3、求证：sin(2)sin 2cos().sin sin αββαβαα
+-+=
例4、已知11sin()cos [sin(2)cos ],022
αβααβββπ+-+-=<<，求β的值。

例5、（05北京卷） 已知tan 2
α=2，求 （I ）tan()4πα+的值； （II ）6sin cos 3sin 2cos αααα
+-的值． 例6、（05全国卷Ⅲ）
已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x =+∈π求使()f x 为正值的x 的集合.
例7、(05浙江卷)已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ．
(Ⅰ) 求f (256π)的值； (Ⅱ) 设α∈(0，π)，f (2α)＝41
sin α的值．
四、作业 同步练习 g3.1049 三角函数的化简、求值与证明
1、已知1sin()43πα-=，则cos()4
πα+的值等于 （ ） A
、3 B
、3
- C 、13 D 、13- 2、已知tan α、tan β
是方程240x ++=的两根，且(,)22
ππαβ∈-、，则αβ+等于 （） A 、3π B 、23π- C 、3π或23
π- D 、3π-或23π 3、化简23cos (1sin )[2tan()]422cos ()42
x x x x ππ+---为 （ ） A 、sin x B 、cos x C 、tan x D 、cot x
4、（全国卷Ⅲ）22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+αααα
(A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)12
5、（山东卷）函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0
,01),sin()(12x e x x x f x ，若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为（ ） （A ）1 （B ）22,1- （C ）22- （D ）2
2,1 6、（全国卷Ⅱ）设a 为第四象限的角，若
5
13sin 3sin =a a ，则tan 2a =______________. 7、（北京卷）已知tan 2α=2，则tanα的值为－34，tan ()4πα+的值为－
8、已知tan()34
πθ+=，则2sin 22cos θθ-的值为＿＿＿＿＿＿＿。

9、已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝＿＿.
10、求证：
21tan 1sin 2.12sin 1tan 22
αααα++=--
11、已知2sin 22sin ()1tan 42
k ααππαα+=<<+，试用k 表示sin cos αα-的值。

12
、求值：23)csc12.4cos 122
--
13
、已知tan tan αβ=，求(2cos 2)(2cos 2)αβ--的值。

答案： 基本训练、1、A 2、B 3、D 4、[－1，73] 5
、4
- 例题、例1、1cos 22x 例2、2875- 例3、略 例4、2
π 例5、解：（I ）∵ tan
2α=2, ∴ 2
2tan 2242tan 1431tan 2
α
αα⨯===---; 所以tan tan tan 14tan()41tan 1tan tan 4παπααπαα+++==--=411347
13
-+=-+； （II ）由(I), tan α=－34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()17346
3()23-+=--. 例6、解：∵()1cos 2sin 2f x x x =-+………………………………………………2分
1)4x π
=-…………………………………………………4分
()02s i n (2)04f x x π∴>⇔->s i n (2)4x π⇔->6分 5222444
k x k π
π
πππ⇔-+<-<+…………………………8分 34
k x k πππ⇔<<+…………………………………………10分 又[0,2].x π∈ ∴37(0,)(,)44
x πππ∈⋃………………………12分
例7、解：(Ⅰ) 25125
sin ,cos 626ππ=225252525()sin cos 06666f ππππ=+=
(Ⅱ) 1()2sin 2222f x x x =-+
11()sin 224f ααα∴=+=- 011sin 4sin 162=-α-α 解得8531sin ±=
α 0s i n ),0(>α∴π∈α 8531s i n +=
∴a
作业、1—5、DBBBB
6、43-
7、-71 8、45- 9、- 10、略 11 12、- 13、3。