2022届中考数学一轮复习知识点串讲专题21 轴对称及垂直平分线【含答案】

2022届中考数学一轮复习知识点串讲
专题21 轴对称及垂直平分线
【知识要点】
知识点1 图形的轴对称
轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．
轴对称的性质：
1、关于某条直线对称的两个图形是全等形。

2、如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所在连线段的垂直平分线。

轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（对称轴必须是直线）
轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

轴对称与轴对称图形的联系与区别
画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：
1.找到关键点，画出关键点的对应点，
2.按照原图顺序依次连接各点。

用坐标表示轴对称：
1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；
2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）；
知识点2 线段的垂直平分线
概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）
性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边垂直平分线相交于一点，这点到三个顶点的距离相等。

交点叫做三角形的外心。

【考查题型】
考查题型一轴对称图形的识别
【解题思路】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
典例1．（2020·山西中考真题）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【提示】根据轴对称图形的概念判断即可．
【详解】
解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
变式1-1．（2020·重庆中考真题）下列图形是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【提示】根据轴对称图形的概念对各选项提示判断即可得解．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；故选：A．
变式1-2．（2020·山东潍坊市·中考真题）下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．
【答案】C
【提示】根据轴对称图形与中心对称图形的概念依次对各项进行判断即可．
【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
变式1-3．（2020·湖北武汉市·中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也只有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】根据轴对称图形的定义“在平面内，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形”逐项判断即可得．
【详解】A、不是轴对称图形，此项不符题意
B、不是轴对称图形，此项不符题意
D 、不是轴对称图形，此项不符题意，故选：C ．
考查题型二 轴对称的性质
【解题思路】了解轴对称的性质及定义是解题的关键．
典例2．（2020·青海中考真题）将一张四条边都相等的四边形纸片按下图中①②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【提示】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
【详解】严格按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个和菱形位置基本一致的正方形，得到结论．
故选A．
变式2-1．（2020·河北唐山市模拟）如图，若平行四边形ABCD 与平行四边形EBCF 关于BC 所在直线对称，90ABE ∠=︒，则F ∠的度数为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．50°
D ．60°
【答案】B 【提示】根据轴对称的性质可得∠ABC ＝∠EBC ，然后求出∠EBC ，再根据平行四边形的对角相等解答．
【详解】∵平行四边形ABCD 与平行四边形EBCF 关于BC 所在的直线对称，
∴∠ABC ＝∠EBC ，
∵∠ABE ＝90°，
∴∠EBC ＝45°，
∵四边形EBCF是平行四边形，
∴∠F＝∠EBC＝45°．
故选：B．
变式2-2．（2020·湖北武汉市模拟）下列每个网格中均有两个图形，其中一个图形可以由另一个进行轴对称变换得到的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】根据轴对称的性质求解．
【详解】观察选项可知，A中的两个图形可以通过平移，旋转得到，C中可以通过平移得到，D中可以通过放大或缩小得到，只有B可以通过对称得到．故选B．
考查题型三求对称轴条数
典例3．（2020·四川绵阳市·中考真题）如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（）
A．2条B．4条C．6条D．8条
【答案】B
【提示】根据轴对称的性质即可画出对称轴进而可得此图形的对称轴的条数．
【详解】解：如图，
因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，
所以此图形的对称轴有4条．
故选：B．
变式3-1．（2020·宁津县模拟）以下图形中对称轴的数量小于3的是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【提示】确定各图形的对称轴数量即可.
【详解】解：A、有4条对称轴；B、有6条对称轴；C、有4条对称轴；D、有2条对称轴．故选D．变式3-2．下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为（．
A．13B．11C．10D．8
【答案】B
【详解】解：第一个图形是轴对称图形，有1条对称轴；
第二个图形是轴对称图形，有2条对称轴；
第三个图形是轴对称图形，有2条对称轴；
第四个图形是轴对称图形，有6条对称轴；
则所有轴对称图形的对称轴条数之和为11.
故选B.
考查题型四镜面对称
【解题思路】解决此类题注意技巧；注意镜面反射的原理与性质．
典例4．从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（）
A．21：05B．21：15C．20：15D．20：12
【答案】A
【提示】根据镜面对称的性质．在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒．且关于镜面对称.
【详解】由图提示可得题中所给的“20∶15”与“21∶05”成轴对称，这时的时间应是21∶05，故答案选A.
变式4-1．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】试题提示：此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称．
解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象，实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点，那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子，则应该在C和D选项中选择，D更接近8点．
故选D．
变式4-2．如图小明从平面镜里看到镜子对面电子钟显示的时间如图所示，这时的实际时刻应该是
（）
A．21．10B．10．21C．10．51D．12．01
【答案】D
【解析】根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与12．01成轴对称，所以此时实际时刻为12．01．故选D．
变式4-3．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌的部分号码为（）
A．E9362B．E9365C．E6395D．E6392
【答案】C
【提示】根据镜面对称的性质，平面镜中的成像与现实中的事物恰好左右颠倒，并关于镜面对称，由此可
得题中图形在现实中的样子.
【详解】根据镜面对称的性质可得，题中图形在现实中的图形为E6395故选：C.
变式4-4．（2019·河南许昌市模拟）小明照镜子的时候，发现T 恤上的英文单词 APPLE 在镜子中呈现的样子（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【提示】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，提示并作答．
【详解】解：根据镜面对称的性质，提示可得题中所给的图片与A 显示的图片成轴对称，
故选A ．
考查题型五 平面直角坐标系关于坐标轴对称点的坐标特征
【解题思路】熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键．
典例5．（2020·广东中考真题）在平面直角坐标系中，点(3,2)关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．(3,2)-
B ．(2,3)-
C ．(2,3)-
D ．(3,2)- 【答案】D
【提示】利用关于x 轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
【详解】
点(3,2)关于x 轴对称的点的坐标为（3，-2），故选：D ．
变式5-1．（2020·山东济南市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在格点上，如果将△ABC 先沿y 轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到A B C ''''，那么点B 的对应点B '的坐标为（ ）
A ．（1，7）
B ．（0，5）
C ．（3，4）
D ．（﹣3，2）
【答案】C 【提示】根据轴对称的性质和平移规律求得即可．
【详解】解：由坐标系可得B (﹣3，1)，将．ABC 先沿y 轴翻折得到B 点对应点为(3，1)，再向上平移3个
单位长度，点B 的对应点B '的坐标为(3，1+3)，即(3，4)，
故选：C ．
变式5-2．（2020·山东菏泽市·中考真题）在平面直角坐标系中，将点()3,2P -向右平移3个单位得到点P '，则点P '关于x 轴的对称点的坐标为（ ）
A ．()0,2-
B ．()0,2
C ．()6,2-
D ．()6,2--
【答案】A
【提示】先根据点向右平移3个单位点的坐标特征：横坐标加3，纵坐标不变，得到点P '的坐标，再根据关于x 轴的对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数，得到对称点的坐标即可．
【详解】解：∵将点()3,2P -向右平移3个单位，
∴点P '的坐标为：(0，2)， ∴点P '关于x 轴的对称点的坐标为：(0，-2)．
故选：A ．
变式5-3．（2020·湖北孝感市·中考真题）将抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度，得到抛物线
2C ，抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称，则抛物线3C 的解析式为（ ）
A ．22y x =--
B ．22y x =-+
C ．22y x =-
D ．22y x =+
【答案】A
【提示】利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式2C ，再因为关于x 轴对称的两个抛物线，自变量x 的取值相同，函数值y 互为相反数，由此可直接得出抛物线3C 的解析式．
【详解】解：抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度，得到抛物线2C ：()()2
+12+13=-+y x x ，即抛物线2C ：22y x =+;
由于抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称，则抛物线3C 的解析式为：22y x =--.
故选：A．
考查题型六 线段垂直平分线的性质
典例6．（2020·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）如图，,AB AC AB =的垂直平分线MN 交AC 于点D ，若65C =︒∠，则DBC ∠的度数是（ ）
A．25°B．20°C．30°D．15°
【答案】D
【提示】根据等要三角形的性质得到∠ABC，再根据垂直平分线的性质求出∠ABD，从而可得结果．【详解】解：∵AB=AC，∠C=∠ABC=65°，∴∠A=180°-65°×2=50°，
∵MN垂直平分AB，∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=50°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°，故选D．
变式6-1．（2020·四川成都市·中考真题）如图，在ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆
心，以大于1
2
BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若
6
AC=，2
AD=，则BD的长为（）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【提示】由作图可知，M N是线段BC的垂直平分线，据此可得解．
【详解】解：由作图可知，M N是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD=AC-AD=6-2=4，
故选：C
变式6-2．（2020·山东枣庄市·中考真题）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（）
A．8B．11C．16D．17
【答案】B
【提示】根据线段垂直平分线的性质得AE=BE，然后利用等量代换即可得到△ACE的周长=AC+BC，再把BC=6，AC=5代入计算即可．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，
∴△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11．故选B．
∆中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分变式6-3．（2020·湖南益阳市·中考真题）如图，在ABC
∠，若50
ACB
∠=，则B的度数为（）
A
A．25B．30C．35D．40
【答案】B
【提示】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∠ACD=∠A=50°，
∠，∴∠ACB=2∠ACD=100°，∴∠B=180°-100°-50°=30°，故选：B．
∵DC平分ACB
考查题型七线段垂直平分线的判定
=，我们知典例7．（2020·湖北宜昌市·中考真题）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF GH
道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（）．
A．l是线段EH的垂直平分线B．l是线段EQ的垂直平分线
C．l是线段FH的垂直平分线D．EH是l的垂直平分线
【答案】A
【提示】根据垂直平分线的定义判断即可．
【详解】
∵l为线段FG的垂直平分线,
∴FO=GO,
又∵EF=GH,
∴EO=HO,
∴l是线段EH的垂直平分线,故A正确
由上可知EO≠QO,FO≠OH,故B、C错误
∵l是直线并无垂直平分线，故D错误
故选：A．
变式7-1．（2020·江苏南京市模拟）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB
【答案】A
【提示】由AC＝AD，BC＝BD，可得点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，可得AB是CD的垂直平分线．
【详解】解：∵AC＝AD，BC＝BD，
∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，
∴AB是CD的垂直平分线．
即AB垂直平分CD．
故选A．
变式7-2．（2020·河南洛阳市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交
AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于1
2
BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交
AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（）
A．2B．3C3D5
【答案】D
【提示】利用基本作图得到CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到AC=3，然后利用勾股定理计算CE的长．
【详解】由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，
AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，
在Rt△ACE中，CE22
325
-=．
故选D．
考查题型八线段垂直平分线的实际应用
典例8．（2020·广西河池市·中考真题）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是
（）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】根据题意，CD为△ABC的边AB上的中线，就是作AB边的垂直平分线，交AB于点D，点D即为线段AB的中点，连接CD即可判断．
【详解】解：作AB边的垂直平分线，交AB于点D，连接CD，
∴点D 即为线段AB 的中点，
∴CD 为△ABC 的边AB 上的中线．
故选：B ．
变式8-1．（2019·吉林长春市·中考真题）如图，在ABC ∆中，ACB ∠为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．使ADC 2B ∠=∠，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】B
【提示】由ADC 2B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠知B BCD ∠=∠，据此得DB DC =，由线段的中垂线的性质可得答案．
【详解】解：∵ADC 2B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠，
∴B BCD ∠=∠，
∴DB DC =，
∴点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点，
故选B
变式8-2．（2018·湖北襄阳市·中考真题）如图，在△ABC 中，分别以点A 和点C 为圆心，大于12
AC 长为半径画弧，两弧相交于点M．N ，作直线MN 分别交BC．AC 于点D．E ，若AE=3cm．△ABD 的周长为13cm ，则△ABC 的周长为（ ）
A ．16cm
B ．19cm
C ．22cm
D ．25cm
【答案】B 【提示】根据作法可知MN 是AC 的垂直平分线，利用垂直平分线的性质进行求解即可得答案.
【详解】解：根据作法可知MN 是AC 的垂直平分线，
∴DE 垂直平分线段AC．
∴DA=DC．AE=EC=6cm．
∵AB+AD+BD=13cm．
∴AB+BD+DC=13cm．
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm．
故选B．
考查题型九作垂线
典例9．（2020·甘肃兰州市·中考真题）如图，在Rt ABC中．
()1利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离(PD的长)等于PC的长；
()2利用尺规作图，作出()1中的线段PD．
(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)
【答案】()1作图见解析；（2）作图见解析.
【提示】
()1由点P到AB的距离(PD的长)等于PC的长知点P在BAC
∠平分线上，再根据角平分线的尺规作图即可得．以点A为圆心，以任意长为半径画弧，与AC．AB分别交于一点，然后分别以这两点为圆心，以大于这两点距离的一半长为半径画弧，两弧交于一点，过点A及这个交点作射线交BC于点P．P即为要求的点）．
()2根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得．以点P为圆心，以大于点P到AB的距离为半径画弧，与AB交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点间距离一半长为半径画弧，两弧在AB的一侧交于一点，过这点以及点P作直线与AB交于点D．PD即为所求）．
【详解】
()1如图，点P即为所求；
()2如图，线段PD 即为所求．
变式9-1．（2020·江苏无锡市·中考真题）如图，已知ABC ∆是锐角三角形()AC AB <．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线l ，使l 上的各点到B 、C 两点的距离相等；设直线l 与AB 、BC 分别交于点M 、N ，作一个圆，使得圆心O 在线段MN 上，且与边AB 、BC 相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若53BM =
，2BC =，则O 的半径为________． 【答案】（1）见解析；（2）12r =
【提示】
（1）由题意知直线l 为线段BC 的垂直平分线，若圆心O 在线段MN 上，且与边AB 、BC 相切，则再作出ABC ∠的角平分线，与MN 的交点即为圆心O ；
（2）过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ，根据BMN BNO BMO S S S =+△△△即可求解．
【详解】
解：（1）①先作BC 的垂直平分线：分别以B ，C 为圆心，大于
12
BC 的长为半径画弧，连接两个交点即为直线l ，分别交AB 、BC 于M 、N ；
②再作ABC ∠的角平分线：以点B 为圆心，任意长为半径作圆弧，与ABC ∠的两条边分别有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点B ，即为ABC ∠的角平分线，这
条角平分线与线段MN 的交点即为O ；
③以O 为圆心，ON 为半径画圆，圆O 即为所求；
（2）过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ，设ON OE r == ∵53BM =，2BC =，∴1BN =，∴43
MN = 根据面积法，∴BMN BNO BMO S S S =+△△△ ∴
141151123223r r ⨯⨯=⨯⋅+⨯⋅，解得12
r =， 故答案为：12r =．
变式9-2．（2020·江苏盐城市·中考真题）如图，点O 是正方形，ABCD 的中心．
（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E （异于点O ），使得;EB EC =（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接,EB EC EO 、、求证：BEO CEO ∠=∠．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【提示】
（1）作BC 的垂直平分线即可求解；
（2）根据题意证明EBO ECO ≅即可求解．
【详解】
()1如图所示，点E 即为所求．
()2连接OB OC 、 由()1得：EB EC = O 是正方形ABCD 中心， ,OB OC ∴=
∴在EBO △和ECO 中， EB EC EO EO OB OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
(),EBO ECO SSS ∴≅ BEO CEO ∴∠=∠．。