2022届中考数学一轮复习知识点串讲专题21 轴对称及垂直平分线【含答案】

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2022届中考数学一轮复习知识点串讲
专题21 轴对称及垂直平分线
【知识要点】
知识点1 图形的轴对称
轴对称概念:有一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称.
轴对称的性质:
1、关于某条直线对称的两个图形是全等形。

2、如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所在连线段的垂直平分线。

轴对称图形概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

(对称轴必须是直线)
轴对称图形的性质(重点):如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

类似的,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

轴对称与轴对称图形的联系与区别
画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤:
1.找到关键点,画出关键点的对应点,
2.按照原图顺序依次连接各点。

用坐标表示轴对称:
1、点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);
2、点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y);
知识点2 线段的垂直平分线
概念:经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(或线段的中垂线)
性质:线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
三角形三边的垂直平分线的性质:三角形三边垂直平分线相交于一点,这点到三个顶点的距离相等。

交点叫做三角形的外心。

【考查题型】
考查题型一轴对称图形的识别
【解题思路】轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
典例1.(2020·山西中考真题)自新冠肺炎疫情发生以来,全国人民共同抗疫,各地积极普及科学防控知识.下面是科学防控知识的图片,图片上有图案和文字说明,其中的图案是轴对称图形的是()
A.B.C.D.
【答案】D
【提示】根据轴对称图形的概念判断即可.
【详解】
解:A、不是轴对称图形;
B、不是轴对称图形;
C、不是轴对称图形;
变式1-1.(2020·重庆中考真题)下列图形是轴对称图形的是()
A.B.C.D.
【答案】A
【提示】根据轴对称图形的概念对各选项提示判断即可得解.
【详解】解:A、是轴对称图形,故本选项正确;
B、不是轴对称图形,故本选项错误;
C、不是轴对称图形,故本选项错误;
D、不是轴对称图形,故本选项错误;故选:A.
变式1-2.(2020·山东潍坊市·中考真题)下列图形,既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A.B.C.D.
【答案】C
【提示】根据轴对称图形与中心对称图形的概念依次对各项进行判断即可.
【详解】A.不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不符合题意;
B.是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
C.是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项符合题意;
D.是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
故选:C.
变式1-3.(2020·湖北武汉市·中考真题)现实世界中,对称现象无处不在,中国的方块字中有些也只有对称性,下列汉字是轴对称图形的是()
A.B.C.D.
【答案】C
【提示】根据轴对称图形的定义“在平面内,一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形”逐项判断即可得.
【详解】A、不是轴对称图形,此项不符题意
B、不是轴对称图形,此项不符题意
D 、不是轴对称图形,此项不符题意,故选:C .
考查题型二 轴对称的性质
【解题思路】了解轴对称的性质及定义是解题的关键.
典例2.(2020·青海中考真题)将一张四条边都相等的四边形纸片按下图中①②的方式沿虚线依次对折后,再沿图③中的虚线裁剪,最后将图④中的纸片打开铺平,所得图案应是( )
A .
B .
C .
D .
【答案】A 【提示】对于此类问题,学生只要亲自动手操作,答案就会很直观地呈现.
【详解】严格按照图中的顺序,向右对折,向上对折,从斜边处剪去一个直角三角形,从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形,展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形,从菱形的中心剪去一个和菱形位置基本一致的正方形,得到结论.
故选A.
变式2-1.(2020·河北唐山市模拟)如图,若平行四边形ABCD 与平行四边形EBCF 关于BC 所在直线对称,90ABE ∠=︒,则F ∠的度数为( )
A .30°
B .45°
C .50°
D .60°
【答案】B 【提示】根据轴对称的性质可得∠ABC =∠EBC ,然后求出∠EBC ,再根据平行四边形的对角相等解答.
【详解】∵平行四边形ABCD 与平行四边形EBCF 关于BC 所在的直线对称,
∴∠ABC =∠EBC ,
∵∠ABE =90°,
∴∠EBC =45°,
∵四边形EBCF是平行四边形,
∴∠F=∠EBC=45°.
故选:B.
变式2-2.(2020·湖北武汉市模拟)下列每个网格中均有两个图形,其中一个图形可以由另一个进行轴对称变换得到的是()
A.B.C.D.
【答案】B
【提示】根据轴对称的性质求解.
【详解】观察选项可知,A中的两个图形可以通过平移,旋转得到,C中可以通过平移得到,D中可以通过放大或缩小得到,只有B可以通过对称得到.故选B.
考查题型三求对称轴条数
典例3.(2020·四川绵阳市·中考真题)如图是以正方形的边长为直径,在正方形内画半圆得到的图形,则此图形的对称轴有()
A.2条B.4条C.6条D.8条
【答案】B
【提示】根据轴对称的性质即可画出对称轴进而可得此图形的对称轴的条数.
【详解】解:如图,
因为以正方形的边长为直径,在正方形内画半圆得到的图形,
所以此图形的对称轴有4条.
故选:B.
变式3-1.(2020·宁津县模拟)以下图形中对称轴的数量小于3的是( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【提示】确定各图形的对称轴数量即可.
【详解】解:A、有4条对称轴;B、有6条对称轴;C、有4条对称轴;D、有2条对称轴.故选D.变式3-2.下列图形:其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为(.
A.13B.11C.10D.8
【答案】B
【详解】解:第一个图形是轴对称图形,有1条对称轴;
第二个图形是轴对称图形,有2条对称轴;
第三个图形是轴对称图形,有2条对称轴;
第四个图形是轴对称图形,有6条对称轴;
则所有轴对称图形的对称轴条数之和为11.
故选B.
考查题型四镜面对称
【解题思路】解决此类题注意技巧;注意镜面反射的原理与性质.
典例4.从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示,这时的正确时间是()
A.21:05B.21:15C.20:15D.20:12
【答案】A
【提示】根据镜面对称的性质.在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒.且关于镜面对称.
【详解】由图提示可得题中所给的“20∶15”与“21∶05”成轴对称,这时的时间应是21∶05,故答案选A.
变式4-1.小华在镜中看到身后墙上的钟,你认为实际时间最接近8点的是()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】试题提示:此题考查镜面对称,根据镜面对称的性质,在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称.
解:根据平面镜成像原理可知,镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换,由轴对称知识可知,只要将其进行左可翻折,即可得到原图象,实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点,那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子,则应该在C和D选项中选择,D更接近8点.
故选D.
变式4-2.如图小明从平面镜里看到镜子对面电子钟显示的时间如图所示,这时的实际时刻应该是
()
A.21.10B.10.21C.10.51D.12.01
【答案】D
【解析】根据镜面对称的性质,题中所显示的时刻与12.01成轴对称,所以此时实际时刻为12.01.故选D.
变式4-3.某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子,车内乘客从镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示,则该车牌的部分号码为()
A.E9362B.E9365C.E6395D.E6392
【答案】C
【提示】根据镜面对称的性质,平面镜中的成像与现实中的事物恰好左右颠倒,并关于镜面对称,由此可
得题中图形在现实中的样子.
【详解】根据镜面对称的性质可得,题中图形在现实中的图形为E6395故选:C.
变式4-4.(2019·河南许昌市模拟)小明照镜子的时候,发现T 恤上的英文单词 APPLE 在镜子中呈现的样子( )
A .
B .
C .
D .
【答案】A
【提示】根据镜面对称的性质,在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒,且关于镜面对称,提示并作答.
【详解】解:根据镜面对称的性质,提示可得题中所给的图片与A 显示的图片成轴对称,
故选A .
考查题型五 平面直角坐标系关于坐标轴对称点的坐标特征
【解题思路】熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键.
典例5.(2020·广东中考真题)在平面直角坐标系中,点(3,2)关于x 轴对称的点的坐标为( ) A .(3,2)-
B .(2,3)-
C .(2,3)-
D .(3,2)- 【答案】D
【提示】利用关于x 轴对称的点坐标特征:横坐标不变,纵坐标互为相反数解答即可.
【详解】
点(3,2)关于x 轴对称的点的坐标为(3,-2),故选:D .
变式5-1.(2020·山东济南市·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点都在格点上,如果将△ABC 先沿y 轴翻折,再向上平移3个单位长度,得到A B C '''',那么点B 的对应点B '的坐标为( )
A .(1,7)
B .(0,5)
C .(3,4)
D .(﹣3,2)
【答案】C 【提示】根据轴对称的性质和平移规律求得即可.
【详解】解:由坐标系可得B (﹣3,1),将.ABC 先沿y 轴翻折得到B 点对应点为(3,1),再向上平移3个
单位长度,点B 的对应点B '的坐标为(3,1+3),即(3,4),
故选:C .
变式5-2.(2020·山东菏泽市·中考真题)在平面直角坐标系中,将点()3,2P -向右平移3个单位得到点P ',则点P '关于x 轴的对称点的坐标为( )
A .()0,2-
B .()0,2
C .()6,2-
D .()6,2--
【答案】A
【提示】先根据点向右平移3个单位点的坐标特征:横坐标加3,纵坐标不变,得到点P '的坐标,再根据关于x 轴的对称点的坐标特征:横坐标不变,纵坐标变为相反数,得到对称点的坐标即可.
【详解】解:∵将点()3,2P -向右平移3个单位,
∴点P '的坐标为:(0,2), ∴点P '关于x 轴的对称点的坐标为:(0,-2).
故选:A .
变式5-3.(2020·湖北孝感市·中考真题)将抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度,得到抛物线
2C ,抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称,则抛物线3C 的解析式为( )
A .22y x =--
B .22y x =-+
C .22y x =-
D .22y x =+
【答案】A
【提示】利用平移的规律:左加右减,上加下减.并用规律求函数解析式2C ,再因为关于x 轴对称的两个抛物线,自变量x 的取值相同,函数值y 互为相反数,由此可直接得出抛物线3C 的解析式.
【详解】解:抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度,得到抛物线2C :()()2
+12+13=-+y x x ,即抛物线2C :22y x =+;
由于抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称,则抛物线3C 的解析式为:22y x =--.
故选:A.
考查题型六 线段垂直平分线的性质
典例6.(2020·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题)如图,,AB AC AB =的垂直平分线MN 交AC 于点D ,若65C =︒∠,则DBC ∠的度数是( )
A.25°B.20°C.30°D.15°
【答案】D
【提示】根据等要三角形的性质得到∠ABC,再根据垂直平分线的性质求出∠ABD,从而可得结果.【详解】解:∵AB=AC,∠C=∠ABC=65°,∴∠A=180°-65°×2=50°,
∵MN垂直平分AB,∴AD=BD,
∴∠A=∠ABD=50°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°,故选D.
变式6-1.(2020·四川成都市·中考真题)如图,在ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B和C为圆
心,以大于1
2
BC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线MN交AC于点D,连接BD.若
6
AC=,2
AD=,则BD的长为()
A.2B.3C.4D.6
【答案】C
【提示】由作图可知,M N是线段BC的垂直平分线,据此可得解.
【详解】解:由作图可知,M N是线段BC的垂直平分线,
∴BD=CD=AC-AD=6-2=4,
故选:C
变式6-2.(2020·山东枣庄市·中考真题)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为()
A.8B.11C.16D.17
【答案】B
【提示】根据线段垂直平分线的性质得AE=BE,然后利用等量代换即可得到△ACE的周长=AC+BC,再把BC=6,AC=5代入计算即可.
【详解】解:∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,
∴△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11.故选B.
∆中,AC的垂直平分线交AB于点D,DC平分变式6-3.(2020·湖南益阳市·中考真题)如图,在ABC
∠,若50
ACB
∠=,则B的度数为()
A
A.25B.30C.35D.40
【答案】B
【提示】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数,再根据三角形内角和求出∠B的度数.
【详解】解:∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=CD,∠ACD=∠A=50°,
∠,∴∠ACB=2∠ACD=100°,∴∠B=180°-100°-50°=30°,故选:B.
∵DC平分ACB
考查题型七线段垂直平分线的判定
=,我们知典例7.(2020·湖北宜昌市·中考真题)如图,点E,F,G,Q,H在一条直线上,且EF GH
道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线.下列说法正确的是().
A.l是线段EH的垂直平分线B.l是线段EQ的垂直平分线
C.l是线段FH的垂直平分线D.EH是l的垂直平分线
【答案】A
【提示】根据垂直平分线的定义判断即可.
【详解】
∵l为线段FG的垂直平分线,
∴FO=GO,
又∵EF=GH,
∴EO=HO,
∴l是线段EH的垂直平分线,故A正确
由上可知EO≠QO,FO≠OH,故B、C错误
∵l是直线并无垂直平分线,故D错误
故选:A.
变式7-1.(2020·江苏南京市模拟)如图,AC=AD,BC=BD,则有()
A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB
C.AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ACB
【答案】A
【提示】由AC=AD,BC=BD,可得点A在CD的垂直平分线上,点B在CD的垂直平分线上,又由两点确定一条直线,可得AB是CD的垂直平分线.
【详解】解:∵AC=AD,BC=BD,
∴点A在CD的垂直平分线上,点B在CD的垂直平分线上,
∴AB是CD的垂直平分线.
即AB垂直平分CD.
故选A.
变式7-2.(2020·河南洛阳市模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交
AB于点B和点D,再分别以点B,D为圆心,大于1
2
BD长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线CM交
AB于点E.若AE=2,BE=1,则EC的长度是()
A.2B.3C3D5
【答案】D
【提示】利用基本作图得到CE⊥AB,再根据等腰三角形的性质得到AC=3,然后利用勾股定理计算CE的长.
【详解】由作法得CE⊥AB,则∠AEC=90°,
AC=AB=BE+AE=2+1=3,
在Rt△ACE中,CE22
325
-=.
故选D.
考查题型八线段垂直平分线的实际应用
典例8.(2020·广西河池市·中考真题)观察下列作图痕迹,所作CD为△ABC的边AB上的中线是
()
A.B.C.D.
【答案】B
【提示】根据题意,CD为△ABC的边AB上的中线,就是作AB边的垂直平分线,交AB于点D,点D即为线段AB的中点,连接CD即可判断.
【详解】解:作AB边的垂直平分线,交AB于点D,连接CD,
∴点D 即为线段AB 的中点,
∴CD 为△ABC 的边AB 上的中线.
故选:B .
变式8-1.(2019·吉林长春市·中考真题)如图,在ABC ∆中,ACB ∠为钝角.用直尺和圆规在边AB 上确定一点D .使ADC 2B ∠=∠,则符合要求的作图痕迹是( )
A .
B .
C .
D . 【答案】B
【提示】由ADC 2B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠知B BCD ∠=∠,据此得DB DC =,由线段的中垂线的性质可得答案.
【详解】解:∵ADC 2B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠,
∴B BCD ∠=∠,
∴DB DC =,
∴点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点,
故选B
变式8-2.(2018·湖北襄阳市·中考真题)如图,在△ABC 中,分别以点A 和点C 为圆心,大于12
AC 长为半径画弧,两弧相交于点M.N ,作直线MN 分别交BC.AC 于点D.E ,若AE=3cm.△ABD 的周长为13cm ,则△ABC 的周长为( )
A .16cm
B .19cm
C .22cm
D .25cm
【答案】B 【提示】根据作法可知MN 是AC 的垂直平分线,利用垂直平分线的性质进行求解即可得答案.
【详解】解:根据作法可知MN 是AC 的垂直平分线,
∴DE 垂直平分线段AC.
∴DA=DC.AE=EC=6cm.
∵AB+AD+BD=13cm.
∴AB+BD+DC=13cm.
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm.
故选B.
考查题型九作垂线
典例9.(2020·甘肃兰州市·中考真题)如图,在Rt ABC中.
()1利用尺规作图,在BC边上求作一点P,使得点P到AB的距离(PD的长)等于PC的长;
()2利用尺规作图,作出()1中的线段PD.
(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)
【答案】()1作图见解析;(2)作图见解析.
【提示】
()1由点P到AB的距离(PD的长)等于PC的长知点P在BAC
∠平分线上,再根据角平分线的尺规作图即可得.以点A为圆心,以任意长为半径画弧,与AC.AB分别交于一点,然后分别以这两点为圆心,以大于这两点距离的一半长为半径画弧,两弧交于一点,过点A及这个交点作射线交BC于点P.P即为要求的点).
()2根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得.以点P为圆心,以大于点P到AB的距离为半径画弧,与AB交于两点,分别以这两点为圆心,以大于这两点间距离一半长为半径画弧,两弧在AB的一侧交于一点,过这点以及点P作直线与AB交于点D.PD即为所求).
【详解】
()1如图,点P即为所求;
()2如图,线段PD 即为所求.
变式9-1.(2020·江苏无锡市·中考真题)如图,已知ABC ∆是锐角三角形()AC AB <.
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图;作直线l ,使l 上的各点到B 、C 两点的距离相等;设直线l 与AB 、BC 分别交于点M 、N ,作一个圆,使得圆心O 在线段MN 上,且与边AB 、BC 相切;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若53BM =
,2BC =,则O 的半径为________. 【答案】(1)见解析;(2)12r =
【提示】
(1)由题意知直线l 为线段BC 的垂直平分线,若圆心O 在线段MN 上,且与边AB 、BC 相切,则再作出ABC ∠的角平分线,与MN 的交点即为圆心O ;
(2)过点O 作OE AB ⊥,垂足为E ,根据BMN BNO BMO S S S =+△△△即可求解.
【详解】
解:(1)①先作BC 的垂直平分线:分别以B ,C 为圆心,大于
12
BC 的长为半径画弧,连接两个交点即为直线l ,分别交AB 、BC 于M 、N ;
②再作ABC ∠的角平分线:以点B 为圆心,任意长为半径作圆弧,与ABC ∠的两条边分别有一个交点,再以这两个交点为圆心,相同长度为半径作弧,连接这两条弧的交点与点B ,即为ABC ∠的角平分线,这
条角平分线与线段MN 的交点即为O ;
③以O 为圆心,ON 为半径画圆,圆O 即为所求;
(2)过点O 作OE AB ⊥,垂足为E ,设ON OE r == ∵53BM =,2BC =,∴1BN =,∴43
MN = 根据面积法,∴BMN BNO BMO S S S =+△△△ ∴
141151123223r r ⨯⨯=⨯⋅+⨯⋅,解得12
r =, 故答案为:12r =.
变式9-2.(2020·江苏盐城市·中考真题)如图,点O 是正方形,ABCD 的中心.
(1)用直尺和圆规在正方形内部作一点E (异于点O ),使得;EB EC =(保留作图痕迹,不写作法) (2)连接,EB EC EO 、、求证:BEO CEO ∠=∠.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【提示】
(1)作BC 的垂直平分线即可求解;
(2)根据题意证明EBO ECO ≅即可求解.
【详解】
()1如图所示,点E 即为所求.
()2连接OB OC 、 由()1得:EB EC = O 是正方形ABCD 中心, ,OB OC ∴=
∴在EBO △和ECO 中, EB EC EO EO OB OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
(),EBO ECO SSS ∴≅ BEO CEO ∴∠=∠.。

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