2021年益阳市八年级数学上期中一模试卷(含答案)

一、选择题
1．下列命题中，假命题是（ ）
A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B ．等腰三角形顶角平分线把它分成两个全等的三角形
C ．相等的两个角是对顶角
D ．有一个角是60的等腰三角形是等边三角形
2．下列命题正确的是（ ）
A ．全等三角形的对应边相等
B ．面积相等的两个三角形全等
C ．两个全等三角形一定成轴对称
D ．所有等腰三角形都只有一条对称轴 3．如图所示，已知ABC 和DC
E 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接AE 、BD 、FG ，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点
F ，则下列结论中：
①AE BD =； ②AG BF =； ③FG//BE ； ④CF CG =，以上结论正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．已知一个等腰三角形ABC 的两边长为5，7，另一个等腰三角形ABC 的两边为23x -，35x -，若两个三角形全等，则x 的值为（ ）
A ．5
B ．4
C ．4或5
D ．103
5．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（ ）
A ．1厘米/秒
B ．2厘米/秒
C ．3厘米/秒
D ．4厘米/秒
6．下列说法正确的（ ）个．
①0.09的算术平方根是0.03；②1的立方根是±1；③3.1＜10＜3.2；④两边及一角分别相等的两个三角形全等．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 7．如图，AP 平分∠BAF ，PD ⊥AB 于点D ，P
E ⊥A
F 于点E ，则△APD 与△APE 全等的理由
是（ ）
A ．SSS
B ．SAS
C ．SSA
D ．AAS
8．下列说法不正确的是（ ）
A ．三边分别相等的两个三角形全等
B ．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C ．有两角及一边对应相等的两个三角形全等
D ．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
9．若一个三角形的三边长分别为3，7，x ，则x 的值可能是（ ）
A ．6
B ．3
C ．2
D ．11
10．下列说法正确的是（ ）
A ．射线A
B 和射线BA 是同一条射线
B ．连接两点的线段叫两点间的距离
C ．两点之间，直线最短
D ．七边形的对角线一共有14条 11．如图，在五边形ABCD
E 中，AB ∥CD ，∠A ＝135°，∠C ＝60°，∠D ＝150°，则∠E 的大
小为（ ）
A ．60°
B ．65°
C ．70°
D ．75°
12．下列四个图形中，线段CE 是ABC 的高的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 边上，且BE CF =，BD CE =，如果44A ∠=︒，则EDF ∠的度数为__．
14．如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，点A ，点C 均在格点上，点P 为x 轴上任意一点，则PAC △周长的最小值为________．
15．如图所示，已知点A 、D 、B 、F 在一条直线上，∠A=∠F ，AC=FE ，要使
△ABC ≌△FDE ，还需添加一个条件，这个条件可以是___________________ ．（只需填一个即可）
16．如图，△ABC 的面积为1cm 2，AP 垂直∠ABC 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为___．
17．如图，ABC ∆的两条高AD 、CE 交于点H ，已知6EH EB ==，8AE =，则ACH ∆的面积为______．
18．如图，,AE AD 分别是△ABC 的高和角平分线，且6B 3︒∠=，6C 7︒∠=则DAE ∠的度数为__．
19．如图，在△ABC 中，∠A=64°，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2；…；∠A n-1BC 与∠A n-1CD 的平分线相交于点A n ，要使∠A n 的度数为整数，则n 的值最大为______．
20．一副分别含有30°和45°的直角三角板，拼成如图，则BFD ∠的度数是______．
三、解答题
21．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CA CB =，M 是AB 的中点，点D 在BM 上，AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E ，F ，连接EM ．
（1）求证：CE BF =；
（2）求证：AEM DEM ∠=∠．
22．如图，在ABC ∆中，,36,AB AC BAC BD =∠=︒平分ABC ∠交AC 于点,D 过点A 作//,AE BC 交BD 的延长线于点E ．
()1求ADB ∠的度数﹔
()2求证：ADE ∆是等腰三角形．
23．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=80°，试求：（1）∠EDC的度数．
（2）若∠BCD=n°，试求∠BED的度数．（用含n的式子表示）
（3）类比探究：已知AB∥CD，BE、DE分别是∠ABC、∠ADC的n等分线，
ABE ∠=1
ABC
n
∠，
1
CDE ADC
n
∠=∠，∠BAD=α，∠BCD=β，请猜想∠BED= ．
24．如图，点P是锐角∠ABC内一点，BP平分∠ABC，点M在边BA上，点N在边BC 上，且PM＝PN．
求证：∠BMP＋∠BNP＝180°．
25．图①、图②、图③都是5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中边AB上找到格点D，并连接CD，使CD将△ABC面积两等分；（2）在图②中△ABC的内部找到格点E，并连接BE、CE，使△BCE是△ABC面积
的1
4
．
（3）在图③中△外部画一条直线l，使直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是
△ABC的1
8
．
26．如图，已知BP是△ABC的外角∠ABD的平分线，延长CA交BP于点P．射线CE平分∠ACB交BP于点E．
（1）若∠BAC=80°，求∠PEC的度数；
（2）若∠P=20°，分析∠BAC与∠ACB的度数之差是否为定值？
（3）过点C作CF⊥CE交直线BP于点F．设∠BAC=α，求∠BFC的度数（用含α的式子表示）．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
利用全等三角形的判定和等腰三角形的性质判断A、B，根据对顶角的定义判断C，根据等边三角形的判定判断D．
【详解】
解：A．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是真命题；
B．已知等腰三角形的两腰相等，且顶角的平分线即为底边上的高，则可根据为HL可以得出两个三角形全等，故本选项是真命题；
C、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；
D、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题；
故选C．
【点睛】
本题考查了命题和定理，解题的关键是明确题意，可以判断题目中的命题的真假，对于假命题能举出反例或者说明理由．
2．A
解析：A
【分析】
分别利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质判断得出即可．
【详解】
解：A、全等三角形的对应边相等，是真命题；
B、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；
C、两个全等三角形不一定成轴对称，原命题是假命题；
D、所有等腰三角形不一定都只有一条对称轴，如等边三角形有三条对称轴，原命题是假命题；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了命题与定理，熟练掌握几何性质与判定是解题的关键．
3．D
解析：D
【分析】
首先根据等边三角形性质得出BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，即可证明△BCD与
△ACE全等、△BCF与△ACG全等以及△DFC与△EGC全等，最后利用全等三角形性质以及等边三角形性质证明即可．
【详解】
∵△ABC与△CDE为等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，
即：∠ACE=∠BCD，
在△BCD与△ACE中，
∵BC=AC，∠ACE=∠BCD，CD=CE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴AE=BD，即①正确；
在△BCF与△ACG中，
由①可知∠CBF=∠CAG，
又∵AC=BC，∠BCF=∠ACG=60°，
∴△BCF ≌△ACG(ASA)，
∴AG=BF ，即②正确；
在△DFC 与△EGC 中，
∵△BCF ≌△ACG ，
∴CF=CG ．即④正确；
∵∠GCF =60°，
∴△CFG 为等边三角形，
∴∠CFG=∠FCB=60°，
∴FG ∥BE ，即③正确；
综上，①②③④都正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，．
4．B
解析：B
【分析】
根据等腰ABC 的两边长为5，7，得到ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；之后根据全等分2x-3=5，2x-3=7，3x-5=5，3x-5=7四种情况分类讨论，舍去不合题意的即可求解．
【详解】
解：∵等腰ABC 的两边长为5，7，
∴ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；
由题意得另一个等腰三角形的两边为23x -，35x -，且与等腰ABC 全等
（1）当2x-3=5时，解得x=4，则3x-5=7，符合题意；
（2）当2x-3=7时，解得x=5，则3x-5=10，不合题意；
（3）当3x-5=5时，解得103
x =
，则2x-3=113，不合题意； （4）当3x-5=7时，解得x=4，则2x-3=5，符合题意；
综上所述：x 的值为4．
故答案为：B
【点睛】 本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的性质，根据题意分类讨论是解题关键． 5．D
解析：D
【分析】
根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解．
【详解】
解：设△BPD ≌△CPQ 时运动时间为t ，点Q 的运动速度为v ，则由题意得：
BP CP BD CQ =⎧⎨=⎩
， 即3634t t vt =-⎧⎨=⎩
， 解之得：14t v =⎧⎨=⎩
， ∴点Q 的运动速度为4厘米/秒，
故选D ．
【点睛】
本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键．
6．B
解析：B
【分析】
根据平方根、立方根、无理数的估算和三角形全等判定定理进行判断即可．
【详解】
解：①0.09的算术平方根是0.3，不是0.03，因此①不正确；
②1的立方根是1，不是±1，因此②不正确；
③因为3.12＝9.91，3.22＝10.24，而9.91＜10＜10.24，所以3.1＜3.2，因此③正确；
④只有两边夹角对应相等的两个三角形全等，而两边及一角分别相等的两个三角形不一定全等．因此④不正确；
所以正确的只有③，
故选：B ．
【点睛】
本题考查平方根、立方根、无理数的估算以及三角形全等判定定理，掌握平方根、立方根的意义、掌握无理数的估算方法和三角形全等的判断方法是正确判断的前提．
7．D
解析：D
【分析】
求出∠PDA=∠PEA=90°，∠DAP=∠EAP ，根据AAS 推出两三角形全等即可．
【详解】
解：∵PD ⊥AB ，PE ⊥AF ，
∴∠PDA=∠PEA=90°，
∵AP 平分∠BAF ，
∴∠DAP=∠EAP ，
在△APD 和△APE 中
DAP EAP PDA PEA AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△APD ≌△APE （AAS ），
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．
8．B
解析：B
【分析】
直接利用三角形全等的判定条件进行判定，即可求得答案；注意而SSA 是不能判定三角形全等的.
【详解】
解：A ，三边分别相等的两个三角形全等，故本选项正确；
B ，两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C ，两个角和一个边对应相等的两个三角形，可利用ASA 或AAS 判定全等，故本选项正确；
D ，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故本选项正确．
故选：B
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定．注意普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等．
9．A
解析：A
【分析】
根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x 的取值范围，得到答案．
【详解】
解：∵三角形的三边长分别为3，7，x ，
∴7-3＜x ＜7+3，
即4＜x ＜10，
四个选项中，A 中，4＜6＜10，符合题意．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
10．D
解析：D
【分析】
根据两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，射线的定义，多边形的对角线对各小题分析判断即可得解．
【详解】
解：A、射线AB和射线BA是不同的射线，故本选项不符合题意；
B、连接两点的线段的长度叫两点间的距离，故本选项不符合题意；
C、两点之间，线段最短，故本选项不符合题意；
D 、七边形的对角线一共有7(73)
14
2
条，正确
故选：D
【点睛】
本题考查了两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，射线的定义，多边形的对角线，熟练掌握概念是解题的关键．
11．D
解析：D
【分析】
先根据多边形的内角和公式求出五边形的内角和，根据AB∥CD得到∠B+∠C=180°，即可求出∠E的大小．
【详解】
解：由五边形的内角和公式得（5-2）×180°=540°，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠E=540°-∠A-∠B-∠C-∠D=540°-135°-180°-150°=75°．
故选：D
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式，平行线的性质，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．
12．B
解析：B
【分析】
利用三角形高的定义逐一判断选项，可得答案．
【详解】
A．CE不垂直AB，故CE不是ABC的高，不符合题意，
B．CE是ABC中AB边上的高，符合题意，
C ．CE 不是ABC 的高，不符合题意，
D ．C
E 不是ABC 的高，不符合题意．
故选B ．
【点睛】
此题主要考查了三角形的高，关键是掌握从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
二、填空题
13．56°【分析】根据AB=AC 可证明又因为∠A=44°可求出∠ABC=∠ACB=68°根据利用三角形内角和定理即可求出∠EDF 的度数；【详解】解：
∵BE=CFBD=CE ∴在和中是等腰三角形；∴∠BDE
解析：56°
【分析】
根据AB=AC 可证明DBE CEF ∆≅∆，又因为∠A=44°，可求出∠ABC=∠ACB=68°，根据DBE CEF ∆≅∆，利用三角形内角和定理即可求出∠EDF 的度数；
【详解】
解：AB AC =，
ABC ACB ∴∠=∠，
∵BE=CF ，BD=CE ，
∴在DBE ∆和CEF ∆中
BE CF ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()DBE CEF SAS ∴∆≅∆，
DE EF ∴=，
DEF ∴∆是等腰三角形；
DBE CEF ∆≅∆，
∴∠BDE=∠CEF ，∠DEB=∠CFE ，
180A B C ∠+∠+∠=︒，∠A=44°，
1(18044)682
B ∴∠=︒-︒=︒ ∴∠BDE+∠DEB=112°
∴∠CEF +∠DEB=112°
180112=68DEF ∴∠=︒-︒︒，
18068562
EDF ︒-︒∴∠==︒． 故答案为：56︒．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质的掌握，以及三角形的内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题；
14．【分析】根据勾股定理可得AC的长度作点C关于x轴的对称点C′连接AC′与x轴交于点P利用勾股定理求出AP+PC的最小值从而得出答案【详解】AC=如图作点C关于x轴的对称点C′连接AC′与x轴交于点P
解析：21022
+
【分析】
根据勾股定理可得AC的长度，作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′，与x轴交于点P，利用勾股定理求出AP+PC的最小值，从而得出答案．
【详解】
AC=22
2222
+=，
如图，作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′，与x轴交于点P，
则AP+PC=AP+PC′=AC′，
此时AP+PC22
+=
26210
所以△PAC周长的最小值为21022
故答案为：21022．
【点睛】
本题主要考查了轴对称－最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
15．∠C∠E或ABFD(ADFB)或∠ABC∠FDE或DE∥BC【分析】要判定
△ABC≌△FDE已知∠A=∠FAC=FE具备了一组角和一组边对应相等故可以添加∠C∠E利用ASA可证全等（也可添加其它条件
解析：∠C=∠E或AB=FD(AD=FB)或∠ABC=∠FDE或DE∥BC
【分析】
要判定△ABC≌△FDE，已知∠A=∠F，AC=FE，具备了一组角和一组边对应相等，故可以添加∠C=∠E，利用ASA可证全等．（也可添加其它条件）．
【详解】
增加一个条件：∠C=∠E，
在△ABC和△FDE中，
C E AC FE A F ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△ABC ≌△FDE(ASA)；
或添加AB =FD(AD =FB) 利用SAS 证明全等；
或添加∠ABC =∠FDE 或DE ∥BC 利用AAS 证明全等．
故答案为：∠C =∠E 或AB =FD(AD =FB)或∠ABC =∠FDE 或DE ∥BC （答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA 、AAS 、SAS 、SSS 等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．
16．cm2【分析】如图延长AP 交BC 于T 利用全等三角形的性质证明AP=PT 即可解决问题【详解】解：如图延长AP 交BC 于
T ∵BP ⊥AT ∴∠BPA=∠BPT=90°∵BP=BP ∠PBA=∠PBT ∴△BPA ≌
解析：12
cm 2 【分析】
如图，延长AP 交BC 于T ．利用全等三角形的性质证明AP=PT 即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长AP 交BC 于T ．
∵BP ⊥AT ，
∴∠BPA=∠BPT=90°，
∵BP=BP ，∠PBA=∠PBT ， ∴△BPA ≌△BPT （ASA ），
∴PA=PT ，∴BPA BPT CAP CPT S S S S ==，
1122
PBC ABC S S ∴==， 故答案为
12
cm 2. 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题．
17．8【分析】由题意可得进而证明结合已知条件证明故根据分别求出与的面积即可【详解】在和中故答案为：【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性
质熟记全等三角形的判定定理是解题关键
解析：8
【分析】
由题意可得90ADC CEA ∠=∠=︒，进而证明EAH HCD ∠=∠，结合已知条件证明BEC HEA ∆≅∆，故8EC EA == ，根据AHC AEC AEH S S S ∆∆∆=-分别求出AEH S ∆与AEC S ∆的面积即可．
【详解】
AD BC ⊥，CE AB ⊥，
90ADC CEA ∴∠=∠=︒，
AHE CHD ∠=∠，
EAH CEH HCD ADC ∴∠+∠=∠+∠，
EAH HCD ∴∠=∠，
在BEC △和HEA △中，
90BEC HEA HCD EAH
EB EH ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()BEC HEA AAS ∴≅，
EC EA ∴=，
8EA =，
8EC ∴=，
6EH =，
11862422
AEH S AE EH ∆∴=⨯⋅=⨯⨯=， 11883222
AEC S AE EC ∆=⋅=⨯⨯=， 32248AHC AEC AEH S S S ∆∆∆∴=-=-=．
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理是解题关键． 18．20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠CAD=34°进而得出∠CAE 的度数进而得出答案【详解】解：∵且∴∵平分∴∵是的高∴∴∴∴故答案为：20°【点睛】此题考查三角形的角平分线中线
解析：20°
【分析】
根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出68BAC ︒∠=，∠CAD =34°，进而得出∠CAE 的度数，进而得出答案．
【详解】
解：∵180B BAC C ︒∠+∠+∠=，且6B 3︒∠=，6C 7︒∠=，
∴180180367668BAC B C ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=，
∵AD 平分BAC ∠， ∴11683422
CAD BAC ︒︒∠=
∠=⨯=， ∵AE 是ABC ∆的高， ∴90AEC ︒∠=，
∴90C CAE ︒∠+∠=，
∴90907614CAE C ︒︒︒︒∠=-∠=-=，
∴341420DAE CAD CAE ︒︒︒∠=∠-∠=-=，
故答案为：20°．
【点睛】
此题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理，解题关键在于掌握各性质定义．
19．6【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到∠A ＝2∠A1同理可得∠A1＝2∠A2即∠A ＝22∠A2因此找出规律【详解】由三角形的外角性质得∠ACD ＝∠A ＋∠ABC ∠A1CD ＝∠A
解析：6
【分析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到∠A ＝2∠A 1，同理可得∠A 1＝2∠A 2，即∠A ＝22∠A 2，因此找出规律．
【详解】
由三角形的外角性质得，∠ACD ＝∠A ＋∠ABC ，∠A 1CD ＝∠A 1＋∠A 1BC ，
∵∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，
∴∠A 1BC ＝12∠ABC ，∠A 1CD ＝12
∠ACD ， ∴∠A 1＋∠A 1BC ＝
12（∠A ＋∠ABC ）＝12∠A ＋∠A 1BC ， ∵A 1B 、A 1C 分别平分∠ABC 和∠ACD ，
∴∠ACD ＝2∠A 1CD ，∠ABC ＝2∠A 1BC ，
而∠A 1CD ＝∠A 1＋∠A 1BC ，∠ACD ＝∠ABC ＋∠A ，
∴∠A ＝2∠A 1，
∴∠A 1＝12
∠A ， 同理可得∠A 1＝2∠A 2，
∴∠A 2＝
14
∠A ， ∴∠A ＝2n ∠A n ，
∴∠A n ＝（12）n ∠A ＝642
n ︒， ∵∠A n 的度数为整数，
∴n ＝6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的
12
是解题的关键． 20．15°【分析】先根据直角三角板的性质得出∠B 及∠CDE 的度数再由补角的定义得出∠BDF 的度数根据三角形内角和定理即可得出结论【详解】解：∵图中是一副直角三角板∴∠B=45°∠CDE=60°∴∠BDF
解析：15°
【分析】
先根据直角三角板的性质得出∠B 及∠CDE 的度数，再由补角的定义得出∠BDF 的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
解：∵图中是一副直角三角板，
∴∠B=45°，∠CDE=60°，
∴∠BDF=180°-60°=120°，
∴∠BFD=180°-45°-120°=15°．
故答案为：15°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】
（1）先证明CAE BCF ∠=∠，再证明CAE BCF ≌△△，从而可得结论；
（2）连接CM ，FM ，先证明ECM FBM ∠=∠，再证明CME BMF ≌△△，可得
EM FM =，EMC FMB ∠=∠，再证明FME 是等腰直角三角形，可得45MED ∠=︒，
从而可得结论．
【详解】
证明：（1）
AE CD ⊥，BF CD ⊥，
90AEC CFB ∴∠=∠=︒．
90ACB ∠=︒， 90BCF ACE ACE EAC ∴∠+∠=︒=∠+∠
CAE BCF ∴∠=∠．
CA BC =．
()CAE BCF AAS ∴≌△△．
CE BF ∴=．
（2）连接CM ，FM
在Rt ABC △中，CA CB =，点M 是AB 的中点，90,ACB ∠=︒
BM AM ∴=，CM AB ⊥，CM 平分ACB ∠，
45ACM BCM CBM CAM ∴∠=∠=∠=∠=︒，CM BM AM ==，
由CAE BCF ≌△△可得：ACE CBF ∠=∠．
,ACM ECM CBM MBF ∴∠+∠=∠+∠
ECM FBM ∴∠=∠．
又CE BF =，
()CME BMF SAS ∴≌△△．
EM FM ∴=，EMC FMB ∠=∠．
90EMF FMB DME CME DME ∠=∠+∠=∠+∠=︒．
FME ∴△是等腰直角三角形．
45MED ∴∠=︒，
90AED ∠=︒，
45AEM DEM ∴∠=∠=︒．
【点睛】
本题考查的的三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
22．（1）108ADB ∠=︒；（2）证明见解析
【分析】
（1）根据角平分线的定义和三角形的外角性质求解；
（2）根据平行线的性质和三角形的内角和定理求解 ．
【详解】
()1解：,36AB AC BAC =∠=︒，
()1180722
ABC C BAC ∴∠=∠=︒-∠=． BD 平分,ABC ∠
136,2
DBC ABC ∴∠=∠=︒ 7236108ADB C DBC ∴∠=∠+∠=︒+︒=
()2证明：//,AE BC
72,EAC C ∴∠=∠=︒
72,36C DBC ∠=︒∠=︒，
180723672,ADE CDB ∴∠=∠=︒-︒-︒=︒
,EAD ADE ∴∠=∠
,AE DE ∴=
ADE ∴∆是等腰三角形．
【点睛】
本题考查等腰三角形的综合运用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的内角和定理和外角性质是解题关键．
23．（1）40︒；（2）1402BED n ∠=︒+︒；（3）1()αβ+n
【分析】
（1）根据平行线的性质及角平分线的性质即可得解；
（2）过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，由AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，推出
12
BEF ABE n ∠=∠=︒，利用EF ∥CD ，求得∠FED =∠EDC =40°，即可得到 1402
BED n ∠=︒+︒； （3）过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，利用AB ∥CD 推出∠ABC =∠BCD =β，∠ADC =∠BAD =α，求得1ABE n β∠=，111FED CDE ADC BAD n n n α∠=∠=∠=∠=，利用EF ∥AB ，求出1BEF ABE n β∠=∠=，即可得到1()BED n αβ∠=+． 【详解】
解：（1）∵AB ∥CD ，
∴∠ADC =∠BAD =80°，
又∵DE 平分∠ADC ， ∴1402
EDC ADC ∠=∠=︒；
（2）如图，过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，
∵AB ∥CD ，
∴∠ABC =∠BCD =n °，
又∵BE 平分∠ABC ， ∴12ABE n ∠=︒， ∵EF ∥AB ， ∴12BEF ABE n ∠=∠=
︒， ∵EF ∥CD ，
∴∠FED =∠EDC =40°，
∴1402
BED n ∠=︒+︒． （3）1()αβ+n
．
如图，过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，
∵AB ∥CD ，
∴∠ABC =∠BCD =β，∠ADC =∠BAD =α，
∴1ABE n
β∠=，111FED CDE ADC BAD n n n α∠=∠=∠=∠=， ∵EF ∥AB ， ∴1BEF ABE n β∠=∠=
， ∴1()BED n
αβ∠=+． 故答案为：1
()αβ+n ．
【点睛】
此题考查平行线的性质，角平分线的性质，熟记平行线的性质并正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
24．见解析
【分析】
过点P 作PE ⊥BA 于点E, 作PF ⊥BC 于点F ，根据角平分线性质定理可得PE ＝PF ，再由HL 可证Rt △MEP ≌Rt △NFP ，进而证得∠PME ＝∠PNF ，从而证得∠BMP ＋∠BNP ＝180°．
【详解】
证明：如图所示，过点P 作PE ⊥BA 于点E, 作PF ⊥BC 于点F ，
∴∠MEP ＝∠NFP ＝90°．
∵BP 平分∠ABC ，
∴PE ＝PF ．
在Rt △MEP 与Rt △NFP 中，
PE PF PM PN =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △MEP ≌Rt △NFP （HL ）．
∴∠PME ＝∠PNF ．
∵∠BMP ＋∠PME ＝180°，
∴∠BMP ＋∠BNP ＝180°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，通过证明三角形全等得出对应角相等是解决问题的关键．
25．（1）见解析图；（2）见解析图；（3）见解析图
【分析】
（1）根据三角形中线的性质可知，当CD 为△ABC 在AB 边上的中线时，可将其面积平分，即找到AB 的中点，连接AE 即可；
（2）可按照△BCE 与△ABC 都以BC 为底边进行分析，当都以BC 为底边时，△ABC 的高为4，从而使得△BCE 的高为1即可；
（3）延续（2）的解题思路，都以BC 为底边，要使得构成的三角形的面积是△ABC 的18，则让构成的三角形的高为12即可，则在BC 下方12个单位处作平行于BC 的直线即为所求．
【详解】
如图所示：
（1）D 在格点上，也为AB 的中点，故CD 即为所求；
（2）当点E 在直线m 上，且三角形内部时，均满足题意，如图△BCE ，此时答案不唯一，符合要求即可；
（3）如图，直线l即为所求．
【点睛】
本题主要考查作图－应用与设计作图，充分理解三角形中线的性质，以及灵活运用底相等时，面积之比等于高之比进行图形构造是解题关键．
26．（1）140°；（2）是定值；（3）∠BFC=90°
1 2 -α
【分析】
（1）首先证明∠CEB
1
2
=∠CAB，求出∠CEB即可解决问题．
（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（3）利用是菱形内角和定理以及（1）中结论解决问题即可．【详解】
由题意，可以假设∠ACE=∠ECB=x，∠ABP=∠PBD=y．
（1）由三角形的外角的性质可知：
2y BAC2x
y CEB x
=∠+
⎧
⎨
=∠+
⎩
，
可得∠CEB
1
2
=∠CAB=40°，
∴∠PEC=180°-40°=140°；
（2）由三角形的外角的性质可知，∠BAC=∠P+y，y=∠P+2x，∴∠BAC=2∠P+2x，
∴∠BAC -∠ACB=∠BAC-2x=2∠P=40°，
∴∠BAC -∠ACB=40°，是定值；
（3）∵CF⊥CE，
∴∠ECF=90°，
由（1）得：∠CEB 12
=∠CAB ， ∴∠BFC=90°-∠CEB=90°12-
∠CAB=90°12
-α． 【点评】 本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．。