北京第五中学九年级数学上册第四单元《圆》测试卷(含答案解析)

一、选择题
1．在ABC 中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，把它绕AC 旋转一周得一几何体，该几何体的表面积为（ ）
A ．24π
B ．21π
C ．16.8π
D ．36π
2．如图，在平行四边形ABCO 中，45C ∠=︒，点A ，B 在⊙O 上，点D 在优弧ADB 上，DA DB =，则AOD ∠的度数为（ ）
A ．165°
B ．155°
C ．145°
D ．135°
3．下列说法不正确的是（ ）
A ．不在同一直线上的三点确定一个圆
B ．90°的圆周角所对的弦是直径
C ．平分弦的直径垂直于这条弦
D ．等弧所对的圆周角相等 4．如图，在⊙O 中，直径AB ＝10，弦D
E ⊥AB 于点C ，若OC ：OB ＝3：5，连接DO ，则
DE 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．6
D ．8
5．已知△ABC 的外心为O ，连结BO ，若∠OBA=18°，则∠C 的度数为（ ）
A ．60°
B ．68°
C ．70°
D ．72° 6．如图，已知AB 是O 的直径，AD 切O 于点A ，C
E CB =．则下列结论中不一定
正确的是（ ）
A ．OC BE ⊥
B ．//O
C AE C ．2COE BAC ∠=∠
D ．OD AC ⊥ 7．若圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为265cm π，则该圆锥的高是（ ） A ．13cm B ．12cm C ．11cm D ．10cm 8．如图△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝28°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于点D ，则AD 的度数为（ ）
A ．28°
B ．56 °
C ．62°
D ．112°
9．如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒ ，3AB = ，A ，B 的半径分别为2和1，P ，E ，F 分别是CD 边、A 和B 上的动点，则PE PF +的最小值是（ ）
A ．333
B ．2
C ．3
D ．3310．已知AB 是经过圆心O 的直线，P 为O 上的任意一点，则点P 关于直线AB 的对称
点P '与O 的位置关系是（ ） A ．点P '在⊙○内
B ．点P '在O 外
C ．点P '在O 上
D ．无法确定 11．在扇形中，∠AOB =90°，面积为4πcm 2，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为 ( )
A ．1cm
B ．2cm
C ．3n
D ．4cm 12．一个圆锥的底面直径为4 cm ，其侧面展开后是圆心角为90°的扇形，则这个圆锥的侧面积等于（ ）
A ．4πcm 2
B ．8πcm 2
C ．12πcm 2
D ．16πcm 2
第II 卷（非选择题）
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参考答案
二、填空题
13．如图，I 是ABC 的内心，AI 的延长线与ABC 的外接圆相交于点D ，与BC 交于点E ，连接BI 、CI 、BD 、DC ．下列说法：①CAD DAB ∠=∠，
②AI BI CI ==，③1902
BIC BAC ∠=︒+
∠；④点D 是BIC △的外心；正确的有______．（填写正确说法的序号）
14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点,,A B C 的坐标分别是(0,),(22,0),()4,0,M
是ABC ∆的外接圆，则圆心M 的坐标为__________________，M 的半径为
_______________________．
15．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC 为直径作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则图中阴影部分的面积是______．（结果用含π的式子表示）
16．在ABC 中，90,3,4C AC BC ∠===，则ABC 的内切圆的周长为___________．
=，
17．如图，已知AD为半圆形O的直径，点B，C在半圆形上，AB BC
AD=，则AC的长为________．
∠=︒，8
30
BAC
18．如图，⊙O 的半径为3，点A是⊙O 外一点，OA＝6，B是⊙O上的动点，线段AB的中点为P，连接 OA、OP．则线段 OP的最大值是______．
19．扇形的半径为6cm，弧长为10cm，则扇形面积是________．
20．如图，△ABC内接于O，∠BAC=45°，AD⊥BC于D， BD=6，DC=4，则AD的长是_____．
三、解答题
21．如图所示，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D．若AB ＝10，AC＝6，求BC、BD的长．
22．如图，已知O的直径AB⊥弦CD于点E，且E是OB的中点，连接CO并延长交AD于点F.
（1）求证：CF AD ⊥；
（2）若12AB =，求CD 的长．
23．如图，AB 、CD 是O 中两条互相垂直的弦，垂足为点E ，且AE CE =，点F 是BC 的中点，延长FE 交AD 于点G ，已知1,3,2AE BE OE ===．
（1）求证：AED CEB ≌；
（2）求证：FG AD ⊥；
（3）求O 的半径．
24．如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点．求证：AP=BP ．
25．在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题．
尺规作图：过圆外一点作圆的切线．
已知：P 为O 外一点．
求作：经过点P 的
O 的切线． 小敏的作法如下：
①连接OP ，作线段OP 的垂直平分线MN 交OP 于点C ；
②以点C 为圆心，CO 的长为半径作圆，交
O 于,A B 两点； ③作直线,PA PB ．所以直线,PA PB 就是所求作的切线．
根据小敏设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：由作图可知点,A B 在以C 为圆心，CO 为半径的圆上，
OAP OBP ∴∠=∠= ︒．（ ）（填推理的依据）
,PA OA PB OB ∴⊥⊥
,OA OB 为O 的半径
∴直线,PA PB 是O 的切线，（ ）（填推理的依据）
26．如图，半径为2的⊙O 与正五边形ABCDE 的边AB 、AE 相切于点M 、N ，求劣弧MN 的长度．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
以直线AC 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是圆锥的侧面积加底面积，根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【详解】
解：根据题意得：圆锥的底面周长6π=，
所以圆锥的侧面积165152
ππ=⨯⨯=， 圆锥的底面积239ππ=⨯=，
所以以直线AC 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积15924πππ=+=．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．
2．D
【分析】
连接OB，根据平行四边形的性质可得∠OAB=∠C=45°，再根据等腰三角形的等边对等角得∠OBA=∠OAB=45°，则∠AOB=90°，由DA=DB得∠AOD=∠BOD，进而可求得∠AOD的度数．
【详解】
解：连接OB，∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠OAB=∠C=45°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵DA=DA，
∴∠AOD=∠BOD=1
（360°﹣90°）=135°，
2
故选：D．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质，熟知等弦所对的圆心角相等是解答的关键．3．C
解析：C
【分析】
根据确定圆的条件对A进行判断；根据垂径定理的推论对C进行判断；根据圆周角定理及其推论对B、D进行判断．
【详解】
解：A.不在同一直线上的三点确定一个圆，说法正确；
B. 90°的圆周角所对的弦是直径，说法正确；
C. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
D. 等弧所对的圆周角相等，说法正确；
故选：C
【点睛】
此题主要考查了圆的相关知识的掌握．解答此题的关键是要熟悉课本中的性质定理．4．D
【分析】
根据题意可求出OC 长度，再根据勾股定理求出CD 长度，最后根据垂径定理即可得到DE 长度．
【详解】
∵AB ＝10，
∴OB =5
OC ：OB ＝3：5，
∴OC ＝3，
在Rt OCD △ 中，2222534CD OD OC =-=-=
∵DE ⊥AB ，
∴DE ＝2CD ＝8，
故选：D ．
【点睛】
本题考查垂径定理、勾股定理．掌握垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦”是解题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
连接OA ，则OA=OB ，可得∠OBA=∠OAB ，再结合∠OBA=18°即可求得∠AOB=144°，再根据圆周角的性质即可求得∠C=72°．
【详解】
解：如图，连接OA ，
∵点O 为ABC 的外心，
∴OA=OB ，
∴∠OBA=∠OAB ，
又∵∠OBA=18°，
∴∠OAB=∠OBA=18°，
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=144°，
∴∠C=12
∠AOB=72°， 故选：D ．
【点睛】
本题考查了三角形的外心，圆周角定理，熟练掌握相关定义及性质是解决本题的关键．
6．D
解析：D
【分析】
分别根据平行线的判定与性质，以及圆周角定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
B. ∵CE CB =，2BAE BAC ∴∠=∠， 又2BOC BAC ∠=∠，BAE BOC ∴∠=∠，//OC AE ∴，正确；
A. AB 是O 的直径，∴∠AEB=90°，∵//OC AE ，OC BE ⊥，正确；
C. ∵EC 所对的圆心角为COE ∠，EC 所对的圆周角为CAE ∠，2COE CAE ∴∠=∠，正确；
D. 只有AE EC =时，才可证得OD AC ⊥，故不一定正确；
故选D ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，平行线的判定与性质，熟知圆周角定理及其推论是解答此题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
先根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到
12•2π•5•OA=65π，可求出OA=13，然后利用勾股定理计算圆锥的高．
【详解】 解：根据题意得12
•2π•5•OA=65π，解得：OA=13，
所以圆锥的高12．
故选：B ．
【点睛】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8．B
解析：B
【分析】
连接CD ，如图，利用互余计算出∠A=62°，则∠A=∠ADC=62°，再根据三角形内角和定理计算出∠ACD=56°，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．
【详解】
解：连接CD ，如图，
∵∠C=90°，∠B=28°，
∴∠A=90°-28°=62°，
∵CA=CD，
∴∠A=∠ADC=62°，
∴∠ACD=180°-2×62°=56°
∴AD的度数为56°；
故选：B．
【点睛】
本题考查了同圆的半径相等、直角三角形的两锐角互余、等腰三角形的性质，熟练进行逻辑推理是解题关键．
9．C
解析：C
【分析】
的最小值，进而求解即可．利用菱形的性质及相切两圆的性质得出P与D重合时PE PF
【详解】
解：作点A关于直线CD的对称点A´，连接BD，DA´，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∵∠BDC=∠ADB=60°，
∴∠ADN =60°，
∴∠A´DN=60°，
∴∠ADB+∠ADA´=180°，
∴A´，D，B在一条直线上，
由此可得：当点P和点D重合，E点在AD上，F点在BD上，此时PE PF
+最小，
∵在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴AB=AD，
则△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=AD=3，
∵⊙A，⊙B的半径分别为2和1，
∴PE=1，DF=2，
∴PE PF
+的最小值为3．
故选C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，点与圆的位置关系等知识．根据题意得出点P位置是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
圆是轴对称图形，直径所在的直线就是对称轴，从而得到圆上的点关于对称轴对称的点都在圆上求解．
【详解】
解：∵圆是轴对称图形，直径所在的直线就是对称轴，
∴点P关于AB的对称点P′与⊙O的位置为：在⊙O上，
故选：C．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，利用了圆的对称性求解．
11．A
解析：A
【分析】
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而要先求扇形的弧长，根据扇形的面积公
式
2
360
n R
S
π
=，可以求出扇形的半径，就可以求出弧长．
【详解】
解：根据扇形的面积公式
2
360
n R
S
π
=得到：
2
90
4
360
R
π
π=；
∴R=4，则弧长
904
2
180
cm
π
π
⋅
==，
设圆锥的底面半径为r，则2π=2πr；
∴r=1cm．
故选：A．
【点睛】
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：
（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
设展开后的圆半径为r，根据圆锥性质可知底面周长就等于展开后扇形的弧长，然后算出展开后扇形的半径，进而计算出扇形的面积．
【详解】
解：设展开后的扇形半径为r，由题可得：
4π=
2r
π
解得r=8
∴S扇形=1
4
π×82
=16π
故选：D
【点睛】
此题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥侧面展开图与各部分对应情况是解题关键．二、填空题
13．①③④【分析】利用三角形内心的性质得到根据旋转的性质可对①进行判断；利用三角形内心的性质可对②进行判断；利用和三角形内角和定理得可对③判断；通过证明可得在证明可对④进行判断【详解】∵是的内心∴AD平解析：①③④
【分析】
利用三角形内心的性质得到BAD CAD
∠=∠，根据旋转的性质可对①进行判断；利用三
角形内心的性质可对②进行判断；利用
1
2
IBC ABC
∠=∠，
1
2
ICB ACB
∠=∠和三角形
内角和定理得
1
90
2
BIC BAC
∠=︒+∠，可对③判断；通过证明BID DBI
∠=∠，可得
BD DI
=，在证明BD CD
=，可对④进行判断．【详解】
∵I是ABC的内心，
∴AD 平分BAC ∠，即BAD CAD ∠=∠，
∴CAD ∠绕点A 顺时针旋转一定的角度一定能和DAB ∠重合，
∴①正确；
∵I 是ABC 的内心，
∴点I 到三角形三边距离相等，
∴②错误；
∵BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠， ∴12
IBC ABC ∠=∠，12ICB ACB ∠=∠， ∵()111801809022
BIC IBC ICB ABC ACB BAC ∠=︒-∠-∠=︒-
∠+∠=︒+∠ ∴③正确； ∵IBC IBA ∠=∠，BAI CAD CBD ∠=∠=∠，
∴BAI ABI IBC DBC ∠+∠=∠+∠，
∴BID DBI ∠=∠，
∴BD DI =，
∵CAD BAD ∠=∠，
∴BD CD =，
∴BD CD =，
∴BD CD DI ==，
∴点B 、I 、C 在以点D 为圆心，DB 为半径的圆上，即点D 是BIC △的外心，
∴④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心的性质，以及旋转的性质和三角形外心，熟练掌握三角形内切圆以及内心的性质是解答本题的关键．
14．【分析】M 点为BC 和AB 的垂直平分线的交点利用点ABC 坐标易得BC 的垂直平分线为直线x=3AB 的垂直平分线为直线y=x 从而得到M 点的坐标然后计算MB 得到⊙M 的半径【详解】解：∵点ABC 的坐标分别是（
解析：()3,3【分析】
M 点为BC 和AB 的垂直平分线的交点，利用点A 、B 、C 坐标易得BC 的垂直平分线为直线x=3，AB 的垂直平分线为直线y=x ，从而得到M 点的坐标，然后计算MB 得到⊙M 的半径．
【详解】
解：∵点A ，B ，C 的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），
∴BC 的垂直平分线为直线x=3，
∵OA=OB ，
∴△OAB 为等腰直角三角形，
∴AB 的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y=x ，
∵直线x=3与直线y=x 的交点为M 点，
∴M 点的坐标为（3，3），
∵
MB ==
∴⊙M ．
故答案为（3，3．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了坐标与图形的性质．
15．【分析】已知BC 为直径则∠CDB=90°在等腰直角三角形ABC 中CD 垂直平分ABCD=DBD 为半圆的中点阴影部分的面积可以看做是扇形ACB 的面积与△ADC 的面积之差【详解】解：由题可知△ACB 为等腰
解析：1π-
【分析】
已知BC 为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC 中，CD 垂直平分AB ，CD=DB ，D 为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB 的面积与△ADC 的面积之差．
【详解】
解：由题可知△ACB 为等腰Rt △ACB ，
在Rt △ACB 中，=
∵BC 是半圆的直径，
∴∠CDB=90°，
在等腰Rt △ACB 中，CD 垂直平分AB ，
则△ADC 和△BDC 都为等腰直角三角形，CD=BD=AD ，
令 CD=BD=AD=x ，则2222x x +=，
x
S 阴影部分=S 扇形ACB -S △ADC =22902113602
ππ⨯-⨯=- ．
故答案为：1π-．
【点睛】 本题考查了扇形面积的计算公式及不规则图形面积的求法，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
16．【分析】先根据勾股定理求出斜边AB 的长再根据直角三角形内切圆的半径公式求出半径再算出周长【详解】解：根据勾股定理内切圆半径内切圆周长故答案是：【点睛】本题考查三角形的内切圆解题的关键是掌握直角三角形 解析：2π
【分析】
先根据勾股定理求出斜边AB 的长，再根据直角三角形内切圆的半径公式求出半径，再算出周长．
【详解】 解：根据勾股定理，225AB AC BC =
+=， 内切圆半径345122
AC BC AB +-+-===， 内切圆周长22r ππ==． 故答案是：2π．
【点睛】
本题考查三角形的内切圆，解题的关键是掌握直角三角形内切圆半径的求解方法． 17．【分析】连接CD 由已知可以得到∠B=120°所以∠D=60°然后在Rt △ACD 中计算AC 即可【详解】解：如图所示连接CD ∵∴∠B=120°∴∠D=60°∵AD 为直径∴∠ACD=90°∴CD=4∴AC
解析：43
【分析】
连接CD ，由已知可以得到∠B=120°，所以∠D=60°，然后在Rt △ACD 中计算AC 即可．
【详解】
解：如图所示，连接CD
∵AB BC =，30BAC ∠=︒
∴∠B=120°
∴∠D=60°
∵AD 为直径
∴∠ACD=90°
∴CD=4
∴3【点睛】
本题主要考查圆的内接四边形对角性质，掌握直径所对的圆周角是90°和圆的内接四边形对角互补是解题的关键．
18．【分析】如图连接OB 设OA 交⊙O 于点T 连接PT 利用三角形中位线定理求出PT 根据OP≤PT+OT 可得结论【详解】如图连接OB 设OA 交⊙O 于点T 连接PT ∵OA=6OT=3∴OT=TA ∵AP=PB ∴PT=
解析：92
【分析】
如图，连接OB ，设OA 交⊙O 于点T ，连接PT ．利用三角形中位线定理求出PT ，根据OP≤PT+OT ，可得结论． 【详解】
如图，连接OB ，设OA 交⊙O 于点T ，连接PT ．
∵OA=6，OT=3，
∴OT=TA ，
∵AP=PB ，
∴PT=
12OB=32
， ∵OP≤PT+OT ， ∴OP≤92
， 故答案为：
92． 【点睛】
本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．
19．30【分析】结合题意根据弧长计算公式计算得弧长对应圆心角；再结合扇形面积公式计算即可得到答案【详解】∵扇形的半径为6cm 弧长为10cm ∴弧长对应的圆心角n 为：∴扇形面积为：故答案为：30【点睛】本题 解析：302cm
【分析】
结合题意，根据弧长计算公式，计算得弧长对应圆心角；再结合扇形面积公式计算，即可得到答案．
【详解】
∵扇形的半径为6cm ，弧长为10cm
∴弧长对应的圆心角n 为：101803006ππ
⨯=⨯ ∴扇形面积为：263003630360360
n πππ⨯⨯=⨯=2cm
故答案为：302cm ．
【点睛】
本题考查了弧长、扇形面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握弧长、扇形的性质，从而完成求解．
20．12【分析】连接OAOBOC 过点O 作OE ⊥AD 于EOF ⊥BC 于F 根据圆周角定理得到∠BOC=90°再根据等腰直角三角形的性质计算求出OB 再由DF=BD-BF 得出DF 然后等腰直角三角形的性质求出OF 根
解析：12
【分析】
连接OA 、OB 、OC 过点O 作OE ⊥AD 于E ，OF ⊥BC 于F ，根据圆周角定理得到
∠BOC=90°，再根据等腰直角三角形的性质计算，求出OB ，再由DF=BD-BF 得出DF ，然后等腰直角三角形的性质求出OF ，根据勾股定理求出AE ，再根据AD=AE+OF 得到答案．
【详解】
解：∵BD=6，DC=4，
∴BC=BD+DC=10
∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°， ∴2522
==OB BC 连接OA 、OB 、OC 过点O 作OE ⊥AD 于E ，OF ⊥BC 于F ，
∴BF=FC=5，
∴DF=BD-BF=1，
∵∠BOC=90°，BF=FC
∴OF=12
BC=5， ∵AD ⊥BC ，OE ⊥AD ，OF ⊥BC ，
∴四边形OFDE 为矩形，
∴OE=DF=1，DE=OF=5，
在Rt △AOE 中，227,=-=AE OA OE
∴AD=AE+DE=12．
【点睛】
本题考查的是三角形的外接圆，掌握圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
三、解答题
21．BC＝8，BD＝52
【详解】
解：连接BD，如图，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6，
∴BC22
AB AC
-22
106
-8，即BC＝8；
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠DCA＝∠BCD，
∴AD BD
=，
∴AD＝BD，
∴在Rt△ABD中，AD＝BD＝2
2AB＝
2
2
×10＝2，即BD＝2．
【点睛】
本题考查了勾股定理，圆周角定理，解题的关键是求出∠ACB=∠ADB=90°．
22．（1）证明见解析；（2）63
CD=
【分析】
（1）首先根据垂径定理和等腰三角形的性质得到CB=CO，然后结合OC=OB，得到OCB 是等边三角形根据圆周角定理和对顶角的性质，结合三角形内角和定理即可证明90
AFO
∠=︒，即可证明；
（2）根据题意和（1）问结论得到OE=3，在Rt OCE中应用勾股定理求得CE，结合垂径定理即可求得CD．
【详解】
（1）证明：如图，连接BC.
∵AB CD ⊥，E 是OB 的中点，
∴CB CO =，12
BCD BCO ∠=
∠. ∵OC OB =，
∴OB OC BC ==， ∴OCB 是等边三角形，
∴60BOC BCO ∠=∠=°，
∴60AOF BOC ∠=∠=°，30BCD BAD ∠=∠=︒， ∴()180603090AFO ∠=-+=°°°°，
∴CF AD ⊥.
（2）∵12AB =，
∴6OB =.
∵E 是OB 的中点， ∴132
OE OB ==. 在Rt OCE 中，22226333CE OC OE --=
∵AB CD ⊥， ∴263CD CE ==.
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，属于圆的综合题，重点是掌握相关定理，要求考生熟记并能熟练应用，是中考的重难点．
23．（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；（35【分析】
（1）由圆周角定理得∠A=∠C ，由ASA 得出AED CEB ≌；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得EF=12
BC=BF ，由等腰三角形的性质得∠FEB=∠B ，由圆周角定理和对顶角相等证出∠A+∠AEG=90°，进而得出结论； （3）作OH ⊥AB 于H ，连结OB ，由垂径定理可得AH=BH=
12AB=2，则EH=AH-AE=1，由勾股定理求出OH=1，5OB 的长即为O 的半径．
【详解】
（1）证明：由圆周角定理得∠A=∠C ， 在△AED 和△CEB 中，
A C AE CE
AED CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AED ≌△CEB （ASA ）． （2）证明：∵AB ⊥CD ，
∴∠AED=∠CEB=90°，
∴∠C+∠B=90°，
∵点F 是BC 的中点，
∴
EF=12
BC=BF ， ∴∠FEB=∠B ，
∵∠A=∠C ，∠AEG=∠FEB=∠B ， ∴∠A+∠AEG=∠C +∠B =90°， ∴∠AGE=90°，
∴FG AD ⊥． （3）解：作OH ⊥AB 于H ，连结OB ，
∵AE=1，BE=3，
∴AB=AE+BE=4，
∵OH ⊥AB ，
∴AH=BH=12
AB=2， ∴EH=AH-AE=1，
∴()2222211OE EH -=-=， ∴2222215BH OH ++=， 即O 5
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定、直角三角形斜边上的中线的性
质、勾股定理等知识．本题综合性较强，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．24．见解析
【分析】
根据切线的性质得出OP⊥AB，根据垂径定理得出即可．
【详解】
证明：如图，连接OP，
∵大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，
∴OP⊥AB，
∵OP过O，
∴AP=BP．
【点睛】
本题考查了切线的性质和垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度适中．
25．（1）见解析；（2）90；直径所对的圆周角是直角；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线.
【分析】
（1）根据题意画图即可；
（2）分别利用圆周角定理以及切线的判定方法得出答案.
【详解】
（1）如图
（2）如图，连接OA，OB后，
由作图可知点,A B在以C为圆心，CO为半径的圆上，
∴∠=∠=90︒．（直径所对的圆周角是直角）
OAP OBP
∴⊥⊥
PA OA PB OB
,
OA OB为O的半径
,
PA PB是O的切线，（经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线）
∴直线,
【点睛】
此题主要考查了切线的判定以及圆周角定理，正确把握切线的判定方法是解题关键. 26．45π 【分析】
如图（见解析），先根据圆的切线的性质可得,OM AB ON AE ⊥⊥，再根据正五边形的内角和可得108A ∠=︒，然后根据四边形的内角和可得72MON ∠=︒，最后弧长公式即可得．
【详解】
如图：连接OM ，ON ，
∵O 与正五边形ABCDE 的边AB 、AE 相切于点M 、N ，
∴,OM AB ON AE ⊥⊥，
90AMO ANO ∴∠=∠=︒，
∵正五边形的每个内角为(52)1801085
-⨯︒=︒， 108A ∴∠=︒，
∴在四边形AMON 中，36072AMO ANO A MON ∠-∠=-∠∠︒-=︒，
∵O 的半径为2，
∴劣弧MN 的长度为
72241805ππ⨯=．
【点睛】
本题考查了正五边形的内角和、圆的切线的性质、弧长公式等知识点，熟练掌握正五边形的内角和是解题关键．。