会议筹备问题docx111

会议筹备问题的研究
【摘要】
本题主要研究的是一家会议服务公司的会议筹划组要为一届全国性会议与会代表提前预定宾馆客房的问题。

由于预计会议规模庞大，而单独能满足与会人员住宿要求的宾馆在客观上却不存在，所以只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿。

如果预定客房的数量大于实际用房数量，筹备组需要支付一天的空方费，如果预定客房的数量不足，则将造成非常被动的局面，会引起代表的不满，同时为了方便期间，所选的宾馆应当相对集中。

首先通过对以往几届的回执人数，回执并未与会人数，未回执并且与会人数预测估算出本届实际与会人数，再分别求出要求住单，双间各个价位客房的实际人数，以计算出的人数为参考再计算出单，双间各价位的客房数，将各宾馆满足各价位的客房数分别定量取值，根据题中所给各宾馆间的距离，分别求出两两宾馆之间的距离，建立以宾馆间距离最小为目标，以满足各价位要求客房数为约束条件的最优化模型，最终求得经济，便捷，数量少，满意度高的1，2，6，7，8宾馆。

关键词：最优化模型lingo求解0-1变量最大取整
一、问题重述
1.1问题背景：
某市的一家会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性会议，会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表。

由于预计会议规模庞大，而适于接待这次会议的几家宾馆的客房和会议室数量均有限，所以只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿。

为了便于管理，除了尽量满足代表在价位等方面的需求之外，所选择的宾馆数量应该尽可能少，并且距离上比较靠近。

筹备组经过实地考察，筛选出10家宾馆作为备选，它们的名称用代号①至⑩表示，相对位置见附图，有关客房及会议室的规格、间数、价格等数据见附表1。

根据这届会议代表回执整理出来的有关住房的信息见附表2。

从以往几届会议情况看，有一些发来回执的代表不来开会，同时也有一些与会的代表事先不提交回执，相关数据见附表3。

附表2，3都可以作为预订宾馆客房的参考。

需要说明的是，虽然客房房费由与会代表自付，但是如果预订客房的数量大于实际用房数量，筹备组需要支付一天的空房费，而若出现预订客房数量不足，则将造成非常被动的局面，引起代表的不满。

会议期间有一天的上下午各安排6个分组会议，筹备组需要在代表下榻的某几个宾馆租借会议室。

由于事先无法知道哪些代表准备参加哪个分组会，筹备组还要向汽车租赁公司租用客车接送代表。

现有45座、36座和33座三种类型的
客车，租金分别是半天800元、700元和600元。

1.2问题的提出：
请你们通过数学建模方法，从经济、方便、代表满意等方面，为会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租用客车的合理方案。

说明：表头第一行中的数字1、2、3分别指每天每间120~160元、161~200元、201~300元三种不同价格的房间。

合住是指要求两人合住一间。

独住是指可安排单人间，或一人单独住一个双人间。

二、问题的分析
研究此问题重点在于把握如何在满足与会代表满意的前提下（主要指满足代表的住宿条件与要求）尽可能的使主办方节省资金。

首先，满足代表的住宿要求，就要使房间充足，足够代表居住；其次，宾馆之间的距离尽可能短，方便会议进行；然后，满足与会人员的住房价位与住房条件（主要指是否单人居住的问题）的要求。

根据以上问题，我们可以列出模型求解得到最优化解决方案。

根据题意，我们首先需建立合理模型，预测本届会议的实到人数及住房要求。

在预定宾馆客房方面，代表的满意程度与会议筹备组预定的房间是否能满足其要求有直接关系，由此可选用合理方法从10家宾馆中选择出一定数量的宾馆。

在确定备选宾馆的选择方案之后，由于会议规模及参加各组会议的代表人员的不确定性，需按照代表满意，经济，方便的原则从而最终得到最优化的结果。

首先，我们要解决的是确定人数问题。

因为如果预订客房的数量大于实际用房数量，筹备组需要支付一天的空房费，而若出现预订客房数量不足，又将引起代表的不满，所以人数的确定应该综合往年的情况来考虑，预定的房间数量也要比实际的略多一点。

接着，我们再根据回执中住房要求信息来确定要求各类不同规格的房间的具体人数。

人数与房间数确定后该考虑的就是宾馆的确定了。

其中，所选宾馆应尽量相对集中，因为客房房费由与会代表自付，所以关于这方面的经济花费问题我们可以忽略不考虑。

三、条件假设
根据题目要求和合理的问题分析，给出如下假设：
1、假设题中不为与会人员的花费问题做考虑；
2、假设所定宾馆必须在题中所给的宾馆中选择；
3、假设题中不考虑每个双人间的人员安排问题；
4、假设未发回执并到会的人员与其他人员一样服从安排；
5、假设双人间住单人可以做单人间使用。

四、符号说明
为了使分析问题得到简化，我们建立如下符号规定：
i表示第i个宾馆
j表示第j类价格
x表示j类价格下第i个宾馆的双人间数
ij
Y表示j类价格下第i个宾馆的订后剩余间数
ij
Z表示j类价格下第i类宾馆的单人间数
ij
a表示订购j类价格下双人间数
j
b表示订购j类价格下单人间数
j
e表示j类价格下第i个宾馆的双人间需求量
ij
d表示j类价格下第i个宾馆的单人间需求量
i
f表示第i个宾馆是否选择的0-1变量
i
w表示宾馆间的距离
ij
T各个宾馆提供的各类客房数
ij
五、模型的建立与求解
5.1解题思路：
根据题中所给定的条件，通过合理分析可以确定本届与会代表的数量。

主要是通过以往几届会议代表回执和与会情况来估计本届与会代表的与会情况。

在人员确定的情况下考虑人员的住宿问题，首先要确定我们需要订购哪几个宾馆与订购的房间数。

首先是我们所需要的房间数不得大于宾馆所拥有的房间数，其次就
是使得我们所需求的宾馆数达到最小，最后人员的住宿条件必须达到满意（即单双房间的要求，与路程的便捷性等问题）。

5.2模型的分析与准备：
5.2.1解决本届与会人员人数问题
解决此问题需要根据以往几届的人员回执并到会的情况进行分析，根据题中所给图表（以往几届会议代表回执和与会情况）我们能看出前几届人员到会情况。

设发来回执的代表数量为q ，发来但未与会的代表数量是r 。

即发来回执但与会的人员数为q -r 。

设未发回执而与会的代表数量为p ，规定用到会人数与发回执人数之比为到会率H ，则H=（q -r+p ）/q,为往届到会率，计算四次到会率平均值为H=0.8758，我们以此预测出本届到会人员；
()
q r p H q -+=
依题意可知本届发回执的人数是755人，则可计算得出本届预测到会人员为662人（计算结果取最大整数）。

5.2.3解决所需预定房间数的问题
根据题中所给（附表2）中的数据可以推算出本届的回执人数，男女与住房要求的相关信息。

根据上述到会率的问题的分析可以得出本届实际与会代表数量为662人，其中530人是发来回执且与会的代表，132人是未发来回执而与会的代表。

下面从经济、方便、代表满意等方面为会议筹备组制定一个合理方案。

对附表2给定的信息，本届会议发来回执且与会代表按百分比（70.2%）进行估算，得到本届会议发来回执且与会代表的入住情况如表二所示（计算结果以最大取整记录）
况如表三所示（计算结果以最大取整记录）
应该考虑到具体的实际订房数量，最后合住人数的一半取整后为双人间间数，独住人数为所需的单人间间数。

男女所需间数相加得三个价位客房的总需间数。

如表五所示:
表五
双人间
价位在120-160 价位在161-200 价位在
201-300
所需间数 102 67 22
单人间
价位在120-160 价位在161-200 价位在
201-300
所需间数 146 85 53 5.3约束条件：
5.3.1 引入0-1变量:
{}
0,1 1 (10)
i f i ∈=
5.3.2确定目标函数:
根据我们对上述问题基本素材的整理（主要是预测本届与会人员的数量以及所订房间的基本情况）。

我们分析所选宾馆的数量问题。

要使所选宾馆数量最少，并且兼顾人员选择宾馆的满意程度和主办方的经济效益等问题，我们首先利用0-1变量来选择预定的宾馆：
10
1
min : 1 (10)
i
i Q f i ===∑
上式表示所选宾馆的最小值。

需要注意的是，如果没有其他约束条件，则上式的最小值为0，因此还需要其他的约束条件作为辅助选择。

5.3.3关于取整问题的考虑
由于所计算出的房间数与到会率等问题计算中容易出现小数，而房间假设不够时也容易出现负数。

所以根据问题分析我们可以规定所选单人房、双人房及双人房剩余数必须为正整数：
ij ij ij x N y N z N
⎧∈⎪
∈⎨⎪
∈⎩
5.3.4关于双人间需求量问题的约束 房间价格分为三种，而单人间双人间各有三种不同的价位。

可以将房间的种类定为a ，b 。

其中每一类房间订房量必然不可大于其实际拥有量，每一类房间的订房量与与会人员的需求量相同：
10
1
1 (3)
ij
j
i x
a j =≥=∑
5.3.5关于单人间需求量问题的约束
由于单人间容易出现订房数量不够的问题，所以有必要借用同等价位的双人单住来满足与会代表的要求，实际拥有的双人间的数量与实际需要双人间的数量之差为实际双人间的剩余量。

用双人间的剩余量做为单人间来填补实际单人间数量的不足，所以单人间的需求量不可大于实际单人间的拥有量与双人间剩余量之和:
()10
1
ij
ij j
i z
y b =+≥∑
5.3.6关于房间选择问题的约束 此问题需要引入0-1变量，根据实际的房间总数与代表回执情况来确定是否选取某宾馆的房间，并且需要单双人间分开考虑：
()3
13
1
ij i i j ij ij ij i j z d f x y e f ==⎧≤⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩∑∑
5.4 模型的建立与求解：综合上述约束条件等问题的分析我们可以建立如下模型：
10
1
min :i
i Q f ==∑
()(){}3
13
110
110
1
1...30,1 1...10ij i i j ij ij ij i j ij ij j i ij j i i ij ij ij z d f x y e f z y b ST x a j f i x N y N z N
====⎧≤⎪⎪⎪+≤⎪⎪⎪+≥⎪⎪⎨⎪≥=⎪⎪∈=⎪
⎪∈⎪
∈⎪⎪
∈⎩∑∑∑∑
根据此模型我们运用LINGO 程序编程求解（附录四），最终选择的宾馆为2、5、7、8、10。

5.5关于路程优化问题的考虑 首选是选择如何选择路程，我们在问题一中主要研究了宾馆的选择问题，我们主要研究如何选择以确保宾馆数量最少，现在把距离因素加入其中考虑
根据图中给出的宾馆的距离可以统计得出把宾馆之间的距离图表： 距离 1 2
3
4
5
6 7 8 9
1
1 0 150 700 650 6
00 600 300 500 6
50 1300
2 150 0 7
00 500 750 750 450 650 800 1450
3 700 700 0 200 1500 1500
1200
1000
1150
2200
4 650 500 200 0 1
250 1250
950 1150
1300
1950
5 600 750 1500 1250
0 600 300 500 650 1300
6 600 750 1500 1250 600
300 500 350 700 7
3
41
93
3
2
3
1
选择出。

所选宾馆应尽量相对集中，因为客房房费由与会代表自付，所以关于这方面的经济花费问题我们可以忽略不考虑。

5.5.1考虑路程最短的问题的目标函数
我们可以引入两组0-1变量，从中选择路程以最短为目的。

需要注意的是，这样引入的0-1变量的结果为路程量，有路径的约束。

可以除以二，以排除重复路径：
1010
11
min :**/2
ij i j i j R w f f ===∑∑
5.5.2各类约束条件：
一、各个宾馆提供j 价位的房间总数大于各类宾馆需求的房间数：
3
1
ij ij
j
j a
f c =≥∑
二、宾馆提供j 价位单双人间的房间总数大于预测代表需要单、双人间的房间数：
()3
1*ij
ij i j j
j a
b f
c
d =+≥+∑
三、代表所需要的j 价位单双人间的总数等于预测代表需要单双人间的房间数：
()3
1
*ij
ij i j j
j x
y f c d =+=+∑
四、代表说需要的第j 价位的双人间的数目小于各个宾馆提供的双人间的数目：
10
1
ij
i i
i x
p f =≤∑
五、代表说需要的第j 价位的单人间的数目小于各个宾馆提供的单人间的数目：
10
1
ij
i i
i y
q f =≤∑
5.5.3最终建立模型为：
1010
11
min :**/2
ij i j i j R w f f ===∑∑
()()3
13
13
110
110
110
1
**5ij ij j j ij ij i j j j ij ij i j j j ij i i i ij i i i i i ij
ij ij ij ij ij a f c a b f c d x y f c d x p f ST y q f f x N y N x a y b ======⎧≥⎪⎪⎪+≥+⎪⎪⎪+=+⎪⎪⎪⎪≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎪⎪=⎪⎪∈⎪⎪∈⎪
<⎪⎪<⎪⎩∑∑∑∑∑∑
根据问题一的约束条件，加入路程的因素来考虑问题，规定所选的宾馆数为
五个，应用lingo 求解（附表五）为第1、2、6、7、8宾馆。

模型存在的问题
本题主要在于解决第一个问，即宾馆的选择问题。

首先要保证宾馆的选择数量在约束条件的确定下达到最少。

出于此考虑主要是由于所选的宾馆总和必须满足与会人员的要求。

如果数量太少，不够住，或者单人间太少未能满足与会者的要求则会引起与会者的不满。

但若一味的满足与会者要求，则会使主办方支付不必要的空房费。

所以要统筹兼顾考虑此问题，确定约束条件、建立模型，利用lingo 求解。

其中存在的问题有：一、对于与会人员的估测只是建立在往届人员的基础
上，未有其他数据信息从而显得过于单一；二、对于宾馆间的距离问题考虑不充分，对于第一问，宾馆间的距离较短有利于会议的顺利进行，并且会增加与会人员的满意度。

所以应该把宾馆间的距离因素与宾馆的选择建立联系，从而更加合理的进行选择。

附录
附表1 10家备选宾馆的有关数据
宾馆代号
客房会议室
规格
间
数
价
格（天）
规
模
间
数
价格
(半天)
①普通双标间
5
180
元
200
人
1
1500
元
商务双标间
3
220
元
150
人
2
1200
元
普通单人间
3
180
元
60
人
2
600
元
商务单人间
2
220
元
②普通双标间
5
140
元
130
人
2
1000
元
商务双标间
3
5
160
元
180
人
1
1500
元
豪华双标间
A
3
180
元
45
人
3
300
元
豪华双标间
B
3
5
200
元
30
人
3
300
元
③普通双标间
5
150
元
200
人
1
1200
元
商务双标间
2
4
180
元
100
人
2800元普通单人间
2
7
150
元
150
人
1
1000
元
60人3320元
④普通双标间
5
140
元
150
人
2900元商务双标间
4
5
200
元
50人3300元
⑤普通双标间
A
3
5
140
元
150
人
2
1000
元
普通双标间
B
3
5
160
元
180
人
1
1500
元
豪华双标间
4
200
元
50
人
3
500
元
普通单人间416016011000
⑥0元人元
普通双标间
4
170
元
180
人
1
1200
元
商务单人间
3
180
元
精品双人间
3
220
元
⑦普通双标间
5
150
元
140
人
2
800
元
商务单人间
4
160
元
60
人
3
300
元
商务套房（1
床）
3
300
元
200
人
1
1000
元
⑧普通双标间
A
4
180
元
160
人
1
1000
元
普通双标间
B
4
160
元
130
人
2
800
元
高级单人间
4
5
180
元
⑨普通双人间
3
260
元
160
人
1
1300
元
普通单人间
3
260
元
120
人
2800元豪华双人间
3
280
元
200
人
1
1200
元
豪华单人间
3
280
元
⑩
经济标准房
（2床）
5
5
260
元
180
人
1
1500
元
标准房（2
床）
4
5
280
元
140
人
2
1000
元
第一届第二
届
第三
届
第
四届
发来回执的代表数量315356408711发来回执但未与会的代
表数量
89115121213未发回执而与会的代表576975104
数量
附表4 模型【1】LINGO程序：sets:
aa/1..10/:f;
bb/1..3/:a,b;
cc(aa,bb):x,y,z,d,e;
endsets
data:
a=146 85 53;
b=1026722;
d=0 30 20
0 0 0
27 0 0
0 0 0
0 0 0
40 30 0
40 0 30
0 45 0
0 0 60
0 0 0;
e=0 50 30
85 65 0
50 24 0
50 45 0
70 40 0
0 40 30
50 0 0
40 40 0
0 0 60
0 0 100;
enddata
min=sum(aa(i):f(i));
for(bb(j):sum(aa(i):x(i,j))>=a(j));
for(bb(j):sum(aa(i):(y(i,j)+z(i,j)))>=b(j)); for(cc(i,j):(x(i,j)+y(i,j))<=e(i,j)*f(i));
for(cc(i,j):z(i,j)<=d(i,j)*f(i));
for(aa(i):bin(f(i)));
for(cc(i,j):gin(x(i,j)));
for(cc(i,j):gin(y(i,j)));
for(cc(i,j):gin(z(i,j)));
附表5 模型【2】LINGO程序：sets:
aa/1..10/:f,p,q;
bb/1..3/:c,d;
cc(aa,bb):a,b,x,y;
ww(aa,aa):e;
endsets
data:
a=
30500
06585
02450
04550
04070
30400
0050
04040
6000
10000
;
p=80 150 74 95 110 70 50 80 60 100;
q=50 0 27 0 0 70 70 45 60 0;
b=
20300
000
0027
000
000
03040
30040
0450
6000
000
;
c=
2267102
;
d=
5385146
;
e=
01508506507006003004506501300 15007505008507504506008001450 8507500200160014001250100011502100 650500200013501250950105012001950 7008501600135005503005006001300 600750140012505500300400300200 300450125095030030001502501000
4506001000105050040015001501050 650800115012006003002501500950 13001450210019501300200100010509500 ;
enddata
min=sum(ww(i,j):e(i,j)*f(i)*f(j)/2);
for(aa(i):bin(f(i)));
5=sum(aa(i):f(i));
for(bb(j):sum(aa(i):a(i,j)*f(i))>=c(j));
for(bb(j):sum(aa(i):(a(i,j)+b(i,j))*f(i))>=(d(j)+c(j)));
for(bb(j):sum(aa(i):(x(i,j)+y(i,j))*f(i))=(d(j)+c(j)));
for(aa(i):sum(bb(j):x(i,j))<=p(i)*f(i));
for(aa(i):sum(bb(j):y(i,j))<=q(i)*f(i));
for(cc(i,j):gin(x(i,j)));
for(cc(i,j):gin(y(i,j)));
for(cc(i,j):x(i,j)<=a(i,j));
for(cc(i,j):y(i,j)<=b(i,j));
附图（其中500等数字是两宾馆间距，单位为米）
5
1
1
3
3
2
1
3
7。