人教B版高中数学必修5课件 2.3等比数列前n项和课件1

即 当q
Sn a1
Sn an
1时,
q(1 q)Sn
Sn
a1(1 qn ) 1 q
a1
anq
当q 1时, Sn na1
注：此法围绕基本概念，从等比数列的定义
出发，运用等比定理，导出了公式．
证法三：
Sn a1 a1q a1q2 a1qn1
a1 q(a1 a1q a1q2 a1qn2 )
⑴－⑵，得 1 q Sn a1 a1qn ,
∴当q≠1时，Sn
a1
1 qn 1 q
或
Sn
a1 anq 1 q
显然，当q=1时， Sn na1
说明：这种求和方法称为错位相减法
证法二：
由等比数列的定义，aa12
a3 a2
an an1
q
根据等比的性质，有 a2 a3 an Sn a1 q a1 a2 an1 Sn an
(S14 S7 )2 S7 (S21 S14 )
S7，S14 S7，S21 S14成等比数列
当k N*，Sk，S2k Sk，S3k S2k也成等比数列吗？
等比数列中
当k为奇数时，依次每k项的和，仍然构成等比数列。
当k为偶数时，若q 1时，依次每k项的和，仍然 构成等比数列。
例1 在等比数列 an中，已知前10项的和为5，
其中 a1 5000 , q 110% 1.1, Sn 30000 ,
∴ 5000 11.1n 30000 . 即 1.1n 1.6. 1 1.1
两边取常用对数，得 n lg 1.1 lg 1.6
∴
n lg 1.6 0.20 5 (年) lg 1.1 0.041
答：约5年可以使总销售量量达到30000台
111 1
补例2
求数列
1, 2
2, 4
3, 8
4 ,.... 16
前n项
的和. 解：由已知an n
所以Sn (1 2
(1)n 2
n)
(1 2
1 22
1 2n
)
n(n
1)
1 2
[1
(1)n 2
]
2
1 1
2
n(n 1) 1 (1)n
2
2
补例3求数列1，(1 2)，(1 2 22 )， .，(1 2 22 2n1) 的前项和.
如果已知a1,a n,q, n, Sn五个量中的任意三个就可以求 出其余两个.
例1、求下列等比数列前8项的和
(1) 1 , 1 , 1 , 2 48
(2)a1
27, a9
1 ,q 243
0
解：(1)因为
a1
1 2
,q
1 2
所以当n 8时
1
1
1
8
Sn
2 2 1 1
255 256
2
于是发明者要求的麦粒总数是
S64 1 2 22 23 262 263. 如何求？
由 S64 1 2 22 23 262 263. ①
得 2S64 2 4 8 16 263 264. ②
② － ①，得 S64 264 1
这种求和方法称为“错位相减法”， “错位相减法”是 研究数列求和的一个重要方法．
求此数列前n项的和。
解：（用错位相减法）
Sn 1 2x 3x2 4x3 nxn1①
xSn x 2x2 3x3 n 1 xn1 nxn② ①②1 x Sn 1 x x2 xn1 nxn，
当x 1时，
1
x
Sn
1 xn 1 x
nxn
1
xn
nxn 1 x
nxn1
1
1
n xn
计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放2粒，第 三格内放4粒，…还没有到第二十格，一袋麦子已经空了。一袋又 一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格飞快增 长着，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也兑现不了他对 西塔的诺言。
如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等 比数列{an}，设为它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个 格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。
a1 q(Sn a1qn1)
当q 1时,
Sn
a1(1 qn ) 1 q
当q 1时, Sn na1
有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚 才的问题。
由a1 1, q 2, n 64可得
Sn
a1(1 qn 1 q
)
1
(1 264 ) 1 2
264
1
所以，264 1 超过了1 .84 1019 ,假定千粒
(2)
由a1
27, a9
1 243
, 可得
:
1 243
27 q8
又由q 0,可得：
q 1
3
27
1
1
8
于是当n 8时
Sn
3 1640
1 ( 1)
81
3
补例1已知等比数列an中，（1）an 3 2n，求S6；
（2）已知：a1 3, a6 96，求S6及q。
解：（1）由an 3 2n得a1 6，q 2
等比数列的前n项和
设等比数列 a1, a2 , a3,, an ,
它的前n项和是 Sn a1 a2 a3 an
由 Sn a1 a2 a3 an 及an a1qn1得
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1.
⑴
⑴×q, 得
qSn a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 a1qn. ⑵
前20项的和为15，求前30项的和。
解：设A a1 a2 a10， B a11 a12 a20，
C a21 a22 a30 则A 5，B 15 5 10， A、B、C成等比数列，
C B2 102 20 A5
S30 A B C 35
例2设数列an为1,2x,3x2,4x3 , nxn1 x 0,
1 q
( q=1). (q≠1).
2.对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1 两种情况。
复习回顾
等比数列前n项和公式
当q=1时，Sn na1
当q 1
时，Sn
a1 anq 1 q
Sn
a1(1 qn ) 1 q
公式的推证用的是错位相减法
求和：
1
a
a2
a3
an1
等差数列中依次每k项的和，仍成等差数列。 在等比数列中，是否也有类似的性质？
分析：此数列的第n项本身就是一个求和的问题，此通项
为an 2n 1，由此再来求数列的前n项和Sn.
解：an 1 2 22
2n1 1 (2n 1) 2n 1 2 1
Sn a1 a2 an (2 1) (22 1) (2n 1)
2 22 2n n 2(2n 1) n 2n1 n 2 2 1
分析：第1年产量为 第2年产量为 第3年产量为
……
第n年产量为
5000台 5000×(1+10%)=5000×1.1台 5000×(1+10%) ×(1+10%)
50001.12台
5000 1.1n1台
则n年内各年的产量为：
5000,50001.1,50001.12, ,50001.1n1
例3 某商场今年销售计算机5000台，如果平均每 年的销售量比上一年的销售量增加10%，那 么从今起，大约几年可使总销售量达到 30000台(结果保留到个位)？ 解：由题意，从第1年起，每年的销售量组成一个等an比, 数列
已知数列an是等比数列，Sn是其前项和，
求证：S7，S14 S7，S21 S14成等比数列。
证明：q 1时，S7 7a1，S14 14a1，S21 21a1， 此时，S14 S7 S21 S14 S7 0
S7，S14 S7，S21 S14成等比数列
当q
1时，S7
a1
(1 q 1 q
这类问题都可用错位相减法。
4.应用等比数列前n项和公式时，注意分类讨论。
S奇
课时小结 1.等比数列中
当k为奇数时，依次每k项的和，仍然构成等比数列。
当k为偶数时，若q 1时，依次每k项的和，仍然 构成等比数列。
⒉{an}是等比数列 Sn Aqn B,其中A 0, q 1, A B 0
3.形如{an bn}，其中an是等差数列，bn是等比数列的求和问题，
1 x
nxn1
1 1 n xn nxn1
Sn
1 x2
当x 1时，Sn 1 2 3 4
n n1 n
2
注：⑴注意对公比x的讨论。若去掉x 0?
⑵本例是形如{an bn}，其中an是等差数列，bn是
等比数列的求和问题，这类问题都可用错位相减法。
例3已知数列an前n项和Sn 2n 1，求此数列的
注：当数列的通项为特殊数列时，注意对通项的化 简，找出其与特殊数列的关系，转化为等差、等比 等特殊数列的问题。
课时小结
{ na1 ,
1.已知 a1, n, q 则 Sn a1 1 qn , 1 q
( q=1). (q≠1).
{ 已知a1, an,
由于
an1 an
2n 2n1
2(n
N*)
an
是一个等比数列
探究：由Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
得Sn是形如Sn
Aqn
B的式子，
且A B 0，反之，若一个数列an的前n项和为
Sn Aqn B，A 0, q 1，则数列an是等比数列吗？
当n 1时，a1 S1 Aq B
当n 2时，an Sn Sn1 Aqn B (Aqn1 B) (Aq A)qn1
S6
6(1 1
26 2
)
6(26
1)
378
（2）由a1 3, a6 96得96 3 q5，即q5 32，q 2
S6
3(1 1
26 ) 2
3(26
1)
189或S6
3
296 1 2
189
例2 某商场今年销售计算机5000台，如果平均每 年的销售量比上一年的销售量增加10%，那 么从今起，大约几年可使总销售量达到 30000台(结果保留到个位)？
麦子的质量为40g,那么麦粒的总质量超过 了7000亿吨。铺在地球表面厚度可达9毫 米厚. 所以国王是不可能满足发明者的要求。
Sn
a1
1 qn 1 q
①
Sn
a1 anq 1 q
②
思考：什么时候用公式①，什么时候用公 式②？ 当已知a1, q, n时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②.
若an是等比数列，则Aq B Aq A，B A，即A B 0
当A B 0时，an是等比数列；
当A B 0时，an不是等比数列。
课堂练习
⒈等比数列中, S10 10, S20 30,则S30 _7_0__ .
⒉等比数列中, Sn 48, S2n 60,则S3n _6_3_ . ⒊若等比数列{an}中，Sn m3n 1,则实数m -_1__ . ⒋在等比数列中,若项数为2n(n N*), S偶与S奇 分别为偶数项和与奇数项和,则?S偶 __q____ .
复习:
⑴｛an｝成等比数列
an1 an
（q n
N,q
0）an
0
(2) 通项公式: an a1 qn1(a1 q 0)
an am q nm (a1 q 0)
一 趣题引入
国际象棋盘内麦子数“爆炸”
传说西塔发明了国际象棋而使国王十分
高兴，他决定要重赏西塔，西塔说：“我不 要您的重赏 ，陛下，只要您在我的棋盘上 赏一些麦子就行了。在棋盘的第1个格子里 放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子 里放4粒，依此类推，以后每一个格子里放 的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2 倍，直到放满第64个格子就行了”。“区区小 事，几粒麦子，这有何难，来人”，国王令人如数付给西塔。
通项an，并证明它是一个等比数列。
分析：判断一个数列是等比数列（或等差数列），一定要用定 义来判断：任意两相邻的项具有某种特征：比（或差）为定值。
解：由已知，得a1 S1 1, 当n 2时，
an Sn Sn1 (2n 1) (2n1 1) 2n1
又a1 1满足上式，an 2n1(n N*)
7
)
，S14
a1
(1 1
q14 q
)
，S21
a1(1 q21) 1 q
此时(S14
S7 )2
a12 (q7 q14 )2 (1 q)2
a12q14 (1 q7 )2 (1 q)2
S7
(S21
S14 )
a1(1 q7 ) 1 q
a1(q14 q21) 1 q
a12q14 (1 q7 )2 (1 q)2