山东省舜耕中学2012届高三数学一轮复习资料 第四编 三角函数及三角恒等变换 4.5两角和与差的正弦

高三数学（理）一轮复习教案 第四编 三角函数及三角恒等变换总
第20期§4.5两角和与差的正弦、余弦和正切
基础自测
1.已知sin α=53,且α∈⎪⎭
⎫
⎝⎛ππ,2，那么a a 2cos 2sin 的值等于 .
答案 23-
2.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan2α= . 答案 -
7
4 3. 设α∈（0，2π），若sin α=5
3，则2cos （α+4π）= . 答案 5
1
4.（2008·山东理）已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα+sin α=354,则sin ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+67πα的值是 . 答案 5
4
-
5.函数y=cosx(sinx+cosx)的最小正周期为 .
答案 π 例题精讲
例1 求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］· 80sin 22的值.
例2 已知cos(2
β
α-)=-91,sin(
2α-β)=3
2,且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求cos 2βα+的值.
解 222β
αβα
βα+=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-
,∵2π＜α＜π,0＜β＜2π ∴
4π＜α-2β＜π,- 4π＜2α-β＜4π，∴sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-2βα=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2cos 12βα=954, cos ⎪⎭
⎫
⎝⎛-βα2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--βα2sin 12=35
∴cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βα=cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βαcos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα2+sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βαsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα2=
275
7. 例3．若sinA=
55,sinB=10
10
,且A,B 均为钝角,求A+B 的值. 解 ∵A 、B 均为钝角且sinA=
55,sinB=1010，∴cosA=-A 2sin 1-=-5
2=-55
2， cosB=-B 2sin 1-=-
10
3=-
10
10
3，∴cos （A+B ）=cosAcosB-sinAsinB =⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-552×⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-10103-5
5×1010=22 ① 又∵2π＜A ＜π, 2π＜B ＜π,
∴π＜A+B ＜2π ②， 由①②知，A+B=4
7π
例4．化简sin 2
α·sin 2
β+cos 2
αcos 2
β-2
1
cos2α·cos2β. 解 方法一 （复角→单角，从“角”入手） 原式=sin 2
α·sin 2
β+cos 2
α·cos 2
β-2
1·(2cos 2α-1)·(2cos 2
β-1) =sin 2
α·sin 2
β+cos 2
α·cos 2
β-2
1 (4cos 2α·cos 2β-2cos 2α-2cos 2
β+1) =sin 2
α·sin 2
β-cos 2
α·cos 2
β+cos 2
α+cos 2
β-2
1 =sin 2
α·sin 2
β+cos 2
α·sin 2
β+cos 2
β-21=sin 2β+cos 2
β-21=1-21=21. 方法二 （从“名”入手，异名化同名） 原式=sin 2
α·sin 2
β+(1-sin 2
α)·cos 2
β-2
1
cos2α·cos2β =cos 2
β-sin 2
α (cos 2
β-sin 2
β)-2
1
cos2α·cos2β
=cos 2β-sin 2
α·cos2β-21cos2α·cos2β=cos 2β-cos2β·⎪⎭
⎫ ⎝⎛+)2cos 21sin 2αα
=
22cos 1β+-cos2β·⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+)sin 21(21sin 22αα=22cos 1β+-21
cos2β=21. 方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次） 原式=22cos 1α-·22cos 1β-+22cos 1α+·22cos 1β+-2
1
cos2α·cos2β
=
4
1
（1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β）+ 41 (1+cos2α·cos2β+cos2α+cos2β)- 21·cos2α·cos2β=2
1. 方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） 原式=(sin α·sin β-cos α·cos β)2
+2sin α·sin β·cos α·cos β-2
1
cos2α·cos2β =cos 2
(α+β)+
21sin2α·sin2β-21cos2α·cos2β=cos 2
(α+β)-21·cos(2α+2β) =cos 2(α+β)- 21·［2cos 2
(α+β)-1］=2
1. 巩固练习
1.不查表求sin 220°+cos 2
80°+3sin20°cos80°的值. 解
sin 2
20°+cos 2
80°+
3
sin20°cos80°=
2
1
(1-cos40°)+
2
1 (1+cos160°)+3sin20°cos80°=1-21cos40°+2
1
cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1-
21cos40°+2
1
(cos120°cos40°-sin120°sin40°)+ 3sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°) =1-2
1cos40°-41cos40°-43sin40°+43sin40°-23sin 2
20° =1-43cos40°-4
3 (1-cos40°）=41
.
2.求值：（1）已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα =-54,sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-2αβ=135,且2π＜α＜π,0＜β＜2π,求
cos 2
βα+的值；
（2）已知tan α=43,cos(α+β)=-
14
11
, α、β均为锐角，求cos β的值.
解 （1）⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-2βα+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2αβ =2βα+,∵2π＜α＜π,0＜β＜2π.
∴2βα-
∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,4,2αβ-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,2ππ∴sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-2βα=)2(cos 12βα--=53, cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2αβ=1312)2(sin 12=--αβ,∴cos 2βα+=cos ⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-+-)2()2(αββα =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βαcos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2αβ-sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-2βαsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛
-2αβ=)54(-×1312-135×53=-6563.
(2)∵tan α=43,且α为锐角，∴34cos sin =α
α
,即sin α=43cos α, 又∵sin 2
α+cos 2
α=1,∴sin α=7
3
4,cos α=71.
∵0＜α,β＜
2π,∴0＜α+β＜π,∴sin(α+β)=)(cos 12βα+-=14
3
5. 而β=(α+β)-α,∴cos β=cos ［（α+β）-α］=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =⎪⎭
⎫
⎝⎛-
1411×71+
1435×734=21. 3.在△ABC 中，角A 、B 、C 满足4sin
2
2C
A +-cos2B=2
7,求角B 的度数. 解 在△ABC 中，A+B+C=180°,由4sin
2
2C A +-cos2B=27,得4·2)cos(1C A +--2cos 2
B+1=2
7, 所以4cos 2
B-4cosB+1=0.于是cosB=2
1
,B=60°.
4.化简：（1）2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π+6cos ⎪⎭⎫
⎝⎛-x 4π; (2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπα4sin 4tan 21cos 222.
解 （1）原式=22⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-•+
⎪⎭
⎫
⎝⎛-x x 4cos 234
sin 2
1
ππ
=22⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 4cos 6cos 4sin 6sin ππππ =22cos ⎪⎭
⎫
⎝⎛+-x 4
6
π
π=22cos(x-12
π
). （2）原式=
⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-απα
αα
22cos 1tan 1tan 12cos =
)
2sin 1(2sin 12cos 2cos αα
α
α++=1.
回顾总结 知识 方法 思想
课后作业 一、填空题
1.已知tan(α+β)=5
2,tan ⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-4πβ=4
1,那么tan ⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+4πα= .答案
22
3 2.sin163°·sin223°+sin253°·sin313°= .答案 2
1
3.已知x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2
π
,cosx=54,则tan2x= .答案 -7
24 4.已知cos2α=2
1
（其中α∈⎪⎭
⎫
⎝⎛-0,4
π
）
，则sin α的值为 .答案 -2
1
5.（cos
12
sin
12
π
π
-）(cos
12
sin
12
π
π
+)= .答案
2
3 6.若f(x)=2tanx-2
cos
2sin 1
2sin 22
x x x -，则f ⎪⎭⎫ ⎝⎛12π的值为 .答案 8 7.（2008·上海理，6）函数f(x)=3sinx+sin ⎪⎭
⎫
⎝⎛+x 2
π
的最大值是 .答案 2
8.求值：cos
4
8π+cos 483π+cos 485π+cos 487π
= .答案 2
3 二、解答题
9.已知tan α=71,tan β=3
1,并且α,β均为锐角，求α+2β的值. 解 ∵tan α=71＜1,tan β=31＜1,且α、β均为锐角，∴0＜α＜4π,0＜β＜4
π. ∴0＜α+2β＜
43π.又tan2β=β
β
2tan 1tan 2-=43, ∴tan(α+2β)=βαβα2tan tan 12tan tan •-+=
4
371143
71⨯-+
=1.∴α+2β=4π. 10.若函数f （x ）=
)
2
sin(
42cos 1x x ++π
-asin
2
x
·cos （π-2
x
）的最大值为2，试确定常数a 的值. 解 f （x ）=
x
x
cos 4cos 22+asin 2x cos 2x =21cosx+2a sinx=4412a +
sin （x+ϕ）， 其中角ϕ满足sin ϕ=
2
11a +.由已知，有41+4
2a =4.解之得a=±15.
11.已知sin ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+απ24
·sin ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-απ
24
=4
1
,α∈⎪⎭
⎫
⎝⎛2,4π
π,求2sin 2
α+tan α-α
tan 1
-1的值. 解 ∵sin ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+απ24
sin ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-απ
24
=4
1
,∴sin ⎪⎭
⎫
⎝⎛+απ
24
cos ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--αππ24
2
=4
1,
即21sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ42=41,sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ42=21,∴cos4α=21，又∵α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,4ππ,∴4α=
35π,α=12
5π, ∴2sin 2
α+tan α-αtan 1-1=2sin 2α+ααcos sin -ααsin cos -1=2sin 2α-1+α
αααcos sin cos sin 22- =-cos2α+α
α2sin 212cos -=-cos 65π-65sin 65cos 2ππ=23-21232⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⨯=325. 12.已知tan(π+α)=-31,tan(α+β)=α
αα
απ2sin cos 10cos 4)2sin(22-+-.
(1)求tan(α+β)的值；（2）求tan β的值. 解 （1）∵tan(π+α)=-3
1
,∴tan α=-3
1, ∵tan(α+β)=
α
αααπ2sin cos 10cos 4)2sin(22-+-=
α
ααα2sin cos 10cos 42sin 22-+=
α
αααααcos sin 2cos 10cos 4cos sin 222-+
=)sin cos 5(cos 2)cos 2(sin cos 2αααααα-+=ααααααtan 52tan sin cos 5cos 2sin -+=-+,∴tan(α+β)=3152
31+
+-
=165.
(2)∵tan β=tan ［(α+β)-α］=α
βααβαtan )tan(1tan )tan(++-+,∴tan β=
3
1165131165⨯-+
=4331.。