河南省上石桥高中2019届高三上学期12月月考数学(理)试卷 Word版含答案

上石桥高中2019届高三12月份月考
数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x≤3}，B＝{x|2x＞1}，则A∩B＝（）A．[0，3]B．（0，3]C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）2．（5分）已知复数z1对应复平面上的点（﹣1，1），复数z2满足z1z2＝﹣2，则|z2+2i|＝（）
A．B．2C．D．10
3．（5分）若tan（﹣α）＝﹣，则cos2α＝（）
A．B．﹣C．﹣D．
4．（5分）执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的a的值为（）
A．10B．lg99C．2D．lg101
5．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z＝x﹣2y的最小值大于﹣5，则m的取值范围为（）
A．B．C．[﹣3，2）D．（﹣∞，2）6．（5分）福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开．组委会预备在会议期间将A，B，C，D，E，F这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待
工作．若要求A，B必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有（）A．15种B．18种C．20种D．22种
7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）
A．B．C．D．
8．（5分）已知a＝log0.62，b＝log20.6，c＝0.62，则（）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 9．（5分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F点且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点，则该抛物线的方程为（）
A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝16x 10．（5分）我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（）
A．58B．59C．60D．61
11．（5分）函数f（x）＝a sinωx+b cosωx（a，b∈R，ω＞0），满足，
且对任意x∈R，都有，则以下结论正确的是（）
A．f（x）max＝|a|B．f（﹣x）＝f（x）C．D．ω＝3
12．（5分）设函数f（x）＝ae x﹣1﹣1﹣e x ln（x+1）存在零点x0，且x0＞1，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，1+eln2）B．（﹣eln2，+∞）
C．（﹣∞，﹣eln2）D．（1+eln2，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||＝2，|+2|＝2，则||＝．14．（5分）若双曲线C的右焦点F关于其中一条渐近线的对称点P落在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率e＝．
15．（5分）若正三棱台ABC﹣A'B'C'的上、下底面边长分别为和，高为1，则该正三棱台的外接球的表面积为．
16．（5分）设函数f（x）＝|x2﹣2x﹣1|，若a＞b≥1，f（a）＝f（b），则对任意的实数c，（a﹣c）2+（b+c）2的最小值为．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和
演算步骤．
17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若a n＞0，．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和T n．
18．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，，点F是AC上的动点．现将矩形ABCD沿着对角线AC折成二面角D'﹣AC﹣B，使得．
（Ⅰ）求证：当时，D'F⊥BC；
（Ⅱ）试求CF的长，使得二面角A﹣D'F﹣B的大小为．
19．（12分）如图，岛A、C相距海里．上午9点整有一客轮在岛C的北偏西40°且距岛C10海里的D处，沿直线方向匀速开往岛A，在岛A停留10分钟后前往B市．上午9：30测得客轮位于岛C的北偏西70°且距岛C
海里的E处，此时小张从岛C乘坐速度为V海里/小时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市．
（Ⅰ）若V∈（0，30]，问小张能否乘上这班客轮？
（Ⅱ）现测得，．已知速度为V海里/小时（V∈（0，30]）的小艇每小时的总费用为（）元，若小张由岛C直接乘小艇去B市，则至少需要多少费用？
20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2．过
且斜率为k的直线l与椭圆C相交于点M，N．当k＝0时，四边形MNF1F2恰在以MF1为直径，面积为的圆上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若，求直线l的方程．
21．（12分）已知函数f（x）＝ax2+lnx（a∈R）有最大值，g（x）＝x2﹣2x+f （x），且g'（x）是g（x）的导数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：当x1＜x2，g（x1）+g（x2）+3＝0时，．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，M为曲线C1上异于极点的动点，点P在射线OM上，且成等比数列．
（Ⅰ）求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知A（0，3），B是曲线C2上的一点且横坐标为2，直线AB与C1交于D，E两点，试求||AD|﹣|AE||的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知f（x）＝x2+a（a∈R），g（x）＝|x+1|+|x﹣2|
（Ⅰ）若a＝﹣4，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（Ⅱ）若x∈[0，3]时，f（x）＞g（x）的解集为空集，求a的取值范围．
上石桥高中2019届高三12月份月考(理数）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x≤3}，B＝{x|2x＞1}，则A∩B＝（）A．[0，3]B．（0，3]C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）
【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：A＝{x|x2﹣2x≤3}＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，
B＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，
则A∩B＝{x|0＜x≤3}，
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2．（5分）已知复数z1对应复平面上的点（﹣1，1），复数z2满足z1z2＝﹣2，则|z2+2i|＝（）
A．B．2C．D．10
【分析】由已知可得z1，代入z1z2＝﹣2，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z2，再由复数模的计算公式求|z2+2i|．
【解答】解：由题意可得，z1＝﹣1+i，
则由z1z2＝﹣2，得＝1+i，
∴|z2+2i|＝|1+3i|＝．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．（5分）若tan（﹣α）＝﹣，则cos2α＝（）
A．B．﹣C．﹣D．
【分析】由已知利用两角和的正切函数公式可求tanα，利用二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求后即可计算得解．
【解答】解：∵tan（﹣α）＝＝﹣，解得：tanα＝2，
∴cos2α＝＝＝＝﹣．
故选：B．
【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
4．（5分）执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的a的值为（）
A．10B．lg99C．2D．lg101
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，根据对数的运算法则计算即可得解．
【解答】解：由已知中的程序语句可知：
该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a＝lg（1+1）+lg（1+）+lg（1+）
+…+lg（1+）的值，
a＝lg（1+1）+lg（1+）+lg（1+）+…+lg（1+）
＝lg2+lg+lg+…+lg
＝lg2+lg3﹣lg2+lg4﹣lg3+…+lg101﹣lg100
＝lg101．
故选：D．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，
以便得出正确的结论，是基础题．
5．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z＝x﹣2y的最小值大于﹣5，则m的取值范围为（）
A．B．C．[﹣3，2）D．（﹣∞，2）【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最优解，代入求解即可．
【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z＝x﹣2y 的最小值大于﹣5，可知目标函数经过可行域A时，截距最大，目标函数取得最小值，解得B（﹣1，﹣3），
由可得A（﹣1，m），所以m≥﹣3．并且：﹣1﹣2m＞﹣5，
解得m＜2，
所以m的取值范围为：[﹣3，2）．
故选：C．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，是中档题，易错题．
6．（5分）福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开．组委会预备在会议期间将A，B，C，D，E，F这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求A，B必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有（）A．15种B．18种C．20种D．22种
【分析】根据题意，按分成2个组的人数分3种情况讨论：①、A，B在一组，C，D，E，F都分在另一组，②、C，D，E，F中取出1人，与A、B一组，剩下3人一组，③、C，D，E，F中取出2人，与A、B一组，剩下2人一组，分别求出每一种情况的分配方法数目，由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：
①、A，B在一组，C，D，E，F都分在另一组，将两组全排列，对应两个校区
即可，有A22＝2种分配方法；
②、C，D，E，F中取出1人，与A、B一组，剩下3人一组，再将两组全排列，
对应两个校区，
有C41×A22＝8种分配方法；
③、C，D，E，F中取出2人，与A、B一组，剩下2人一组，再将两组全排列，
对应两个校区，
有C42×A22＝12种分配方法；
故一共有2+8+12＝22种分配方法；
故选：D．
【点评】本题考查排列、组合的应用，关键是依据题意，对其他4人分组，进行分类讨论．
7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）
A．B．C．D．
【分析】由三视图得该几何体是一个半圆锥P﹣ABOD和一个三棱锥P﹣BCD的
组合体，其中半圆的底面半径r＝1，高PO＝，母线长l＝2，三棱锥P﹣
BCD中，高PO＝，BD⊥BC，PB⊥BC，BC＝BD＝2＝PB＝PD＝2，DC ＝PC＝2，由此能求出该几何体的表面积．
【解答】解：由三视图得该几何体是一个半圆锥P﹣ABOD和一个三棱锥P﹣BCD 的组合体，
其中半圆的底面半径r＝1，高PO＝，母线长l＝2，
三棱锥P﹣BCD中，高PO＝，BD⊥BC，PB⊥BC，
BC＝BD＝2＝PB＝PD＝2，DC＝PC＝2，如图，
∴PC＝CD＝＝2，
∴该几何体的表面积：
S＝S半圆锥表面积+S△BDC+S△PBC+S△PCD
＝++
＝++
＝．
故选：A．
【点评】本题是基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题．三视图视图过程中，要注意虚线的出现，意味着有被遮掩的棱．
8．（5分）已知a＝log0.62，b＝log20.6，c＝0.62，则（）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【分析】a＝log0.62＝﹣1，又ab＝1．可得b＝log20.6∈（﹣1，0），而c＞0，即可得出大小关系．
【解答】解：a＝log0.62＝﹣1，又ab＝×＝1．
∴b＝log20.6∈（﹣1，0），
c＝0.62＞0，
则c＞b＞a．
故选：C．
【点评】本题考查了对数运算性质、换底公式、指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．（5分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F点且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点，则该抛物线的方程为（）
A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝16x
【分析】求出直线l的方程，利用抛物线的性质，求出AB中的纵坐标，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求解p即可得到抛物线方程．
【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F点且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，以AB 为直径的圆过点，可知AB的中点的纵坐标为：2，
直线l的方程为：y＝x﹣，
则，可得y2﹣2py﹣p2＝0，则AB中的纵坐标为：＝2，解得p＝2，
该抛物线的方程为：y2＝4x．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．
10．（5分）我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三
人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（）
A．58B．59C．60D．61
【分析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20，其中小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿同时回娘家的天数分别为8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是1，由此能求出从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数．
【解答】解：大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家，
当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，
小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20，
小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿同时回娘家的天数分别为8，6，5，
三个女儿同时回娘家的天数是1，
从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有：
33+25+20﹣（8+6+5）+1＝60．
故选：C．
【点评】本题考查有女儿回家的天数的求法，考查分类讨论、集合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
11．（5分）函数f（x）＝a sinωx+b cosωx（a，b∈R，ω＞0），满足，
且对任意x∈R，都有，则以下结论正确的是（）
A．f（x）max＝|a|B．f（﹣x）＝f（x）C．D．ω＝3
【分析】根据题意知函数f（x）关于点（﹣，0）对称，且x＝﹣是f（x）的对称轴，
结合三角函数的图象与性质，对选项中的命题分析、判断正误即可．
【解答】解：函数f（x）满足，
∴f（x）关于点（﹣，0）对称，
且对任意x∈R，都有，
∴x＝﹣是f（x）的对称轴，
令x＝0，得﹣f（0）＝a sin0+b cos0＝b＝f（﹣）＝0，
∴b＝0，f（x）＝a sinωx，A正确；
∴f（x）是定义域R上的奇函数，B错误；
可得a≠0，b＝0，a≠b，C错误；
由题意，ω＝6k+3，k∈Z，∴D错误；
综上，正确的结论是A．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是难题．12．（5分）设函数f（x）＝ae x﹣1﹣1﹣e x ln（x+1）存在零点x0，且x0＞1，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，1+eln2）B．（﹣eln2，+∞）
C．（﹣∞，﹣eln2）D．（1+eln2，+∞）
【分析】令f（x）＝0，可得a＝e1﹣x+eln（x+1），设g（x）＝e1﹣x+eln（x+1），x ＞1，求得导数，构造y＝e x﹣x﹣1，求得导数，判断单调性，即可得到g（x）的单调性，可得g（x）的范围，即可得到所求a的范围．
【解答】解：函数f（x）＝ae x﹣1﹣1﹣e x ln（x+1），
令f（x）＝0，可得a＝e1﹣x+eln（x+1），
设g（x）＝e1﹣x+eln（x+1），x＞1，
则g′（x）＝﹣e1﹣x+＝e•，
由y＝e x﹣x﹣1的导数为y′＝e x﹣1，
当x＞1时，e x﹣1＞e﹣1＞0，
则函数y＝e x﹣x﹣1递增，可得y＝e x﹣x﹣1＞0，
则g（x）在（1，+∞）递增，
可得g（x）＞g（1）＝1+eln2，
则a＞1+eln2，
故选：D．
【点评】本题考查函数的零点问题解法，注意运用转化思想和参数分离，考查构造函数法，以及运用函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||＝2，|+2|＝2，则||＝2．
【分析】根据题意，设||＝t，由数量积的计算公式可得•＝t，又由|+2|＝2，可得（+2）2＝2+4•+42＝4+4t+4t2＝28，变形解可得t的值，有向量模的几何意义即可得答案．
【解答】解：根据题意，设||＝t，
若向量，的夹角为60°，则•＝2t cos60°＝t，
又由|+2|＝2，
则有（+2）2＝2+4•+42＝4+4t+4t2＝28，
即t2+t﹣6＝0，
解可得t＝2或t＝﹣3（舍）；
故t＝2，即||＝2；
故答案为：2
【点评】本题考查向量数量积的计算公式，关键是掌握向量数量积的计算公式．14．（5分）若双曲线C的右焦点F关于其中一条渐近线的对称点P落在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率e＝2．
【分析】设双曲线的左焦点为F（c，0），求出渐近线方程，设F关于y＝x的对称点为（m，﹣m），由中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得2m＝c，代入可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：双曲线C：﹣＝1的左焦点为F（﹣c，0），
渐近线方程为y＝±x，
设F关于y＝x的对称点为（m，﹣m），
由题意可得＝﹣，（*）
且（0﹣m）＝•（m﹣c），
可得m＝c，代入（*）可得b2＝3a2，
c2＝a2+b2＝4a2，
则离心率e＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，点关于直线的对称问题的解法，考查运算化简能力，属于中档题．
15．（5分）若正三棱台ABC﹣A'B'C'的上、下底面边长分别为和，高为1，则该正三棱台的外接球的表面积为20π．
【分析】取△A1B1C1的重心E1，取△ABC的重心E，则EE1＝1是正三棱台ABC ﹣A'B'C'的高，AE＝2，A1E1＝1，则球心O在E1E的延长线上，半径R＝OA
＝OA1，即＝，OE＝1，半径R＝，由此能求出该正三棱台的外接球的表面积．
【解答】解：∵正三棱台ABC﹣A'B'C'的上、下底面边长分别为和，高为1，
取△A1B1C1的重心E1，取△ABC的重心E，
则EE1＝1是正三棱台ABC﹣A'B'C'的高，
AE＝＝2，A1E1＝＝1，
则球心O在E1E的延长线上，
半径R＝OA＝OA1，即＝，
解得OE＝1，∴R＝＝，
∴该正三棱台的外接球的表面积S＝4πR2＝4π×5＝20π．
故答案为：20π．
【点评】本题考查正三棱台的外接球的表面积的求法，考查正三棱台及其外接球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
16．（5分）设函数f（x）＝|x2﹣2x﹣1|，若a＞b≥1，f（a）＝f（b），则对任意的实数c，（a﹣c）2+（b+c）2的最小值为8．
【分析】根据题意，分析函数的解析式，作出其简图，分析可得（a﹣c）2+（b+c）2＝2c2+2（b﹣a）c+（a2+b2），将其看成是以c为自变量的二次函数，结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝|x2﹣2x﹣1|＝
，
其图象如图：
（a﹣c）2+（b+c）2＝（a2﹣2ac+c2）+（c2+2bc+b2）
＝2c2+2（b﹣a）c+（a2+b2），
c为任意的实数，
令t＝2c2+2（b﹣a）c+（a2+b2），看成是以c为自变量的二次函数，
其最小值为t（）＝2（）2﹣2（a﹣b）（）+（a2+b2）＝，分析可得：4≤a+b＜2+2，
则有t的最小值为＝8；
故答案为：8．
【点评】本题考查分段函数的应用，涉及函数的最值，关键是求出a+b的范围．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和
演算步骤．
17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若a n＞0，．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和T n．
【分析】解法一：（Ⅰ）利用数列的递推关系式通过a n＝S n﹣S n
求数列{a n}的通
﹣1项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法求解数列的和即可．
解法二：（Ⅰ）同解法一；
（Ⅱ）求出，设
，求出A，B，然后利用拆项法求解数列的和即可．
【解答】解法一：（Ⅰ）∵，∴．…（1分）
当n＝1时，，得a1＝1．…（2分）
当n≥2时，，∴，…（3分）
∴，即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1）＝2（a n+a n﹣1），
∵a n＞0，∴a n﹣a n
＝2．…（4分）
﹣1
∴数列{a n}是等差数列，且首项为a1＝1，公差为2，…（5分）
∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，∴
，
﹣﹣①…（7分）
，﹣﹣②…（8分）
①﹣②得…（9分）
＝，…（10分）
化简得．…（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
设，
∴解得，
∴，…（9分）
∴T n＝b1+b2+…+b n＝
＝．…（12分）
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．
18．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，，点F是AC上的动点．现将矩形ABCD沿着对角线AC折成二面角D'﹣AC﹣B，使得．
（Ⅰ）求证：当时，D'F⊥BC；
（Ⅱ）试求CF的长，使得二面角A﹣D'F﹣B的大小为．
【分析】（Ⅰ）连结DF，BF．通过计算DF2+AF2＝9+3＝DA2，推出DF⊥AC，得到D'F⊥AC，证明BF⊥D'F，然后证明D'F⊥平面ABC．推出D'F⊥BC．（Ⅱ）说明OE，OC，OD'两两垂直，以O为原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面AD'F的一个法向量．平面BD'F的法向量通过向量的数量积求解二面角的平面角的余弦值即可．
【解答】满分（12分）．
（Ⅰ）证明：连结DF，BF．
在矩形ABCD中，，∴，∠DAC＝60°．…
（1分）
在△ADF中，∵，∴DF2＝DA2+AF2﹣2DA•AF•cos∠DAC＝9，．…（2分）∵DF2+AF2＝9+3＝DA2，∴DF⊥AC，即D'F⊥AC．…（3分）
又在△ABF中，BF2＝AB2+AF2﹣2AB•AF•cos∠CAB＝21，…（4分）
∴在△D'FB中，，∴BF⊥D'F，…（5分）
又∵AC∩FB＝F，
∴D'F⊥平面ABC．
∴D'F⊥BC．…（6分）
（Ⅱ）解：在矩形ABCD中，过D作DE⊥AC于O，并延长交AB于E．沿着对角线AC翻折后，
由（Ⅰ）可知，OE，OC，OD'两两垂直，
以O为原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），E（1，0，0），， (7)
）k AB＝﹣1平面AD'F，∴为平面AD'F的一个法向量．…（8分）
设平面BD'F的法向量为＝（x，y，z），∵F（0，t，0），
∴，
由得
取y＝3，则，∴．…（10分）
∴，即，∴．∴当时，二面角A﹣D'F﹣B的大小是．…（12分）
【点评】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．
19．（12分）如图，岛A、C相距海里．上午9点整有一客轮在岛C的北偏西40°且距岛C10海里的D处，沿直线方向匀速开往岛A，在岛A停留10分钟后前往B市．上午9：30测得客轮位于岛C的北偏西70°且距岛C
海里的E处，此时小张从岛C乘坐速度为V海里/小时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市．
（Ⅰ）若V∈（0，30]，问小张能否乘上这班客轮？
（Ⅱ）现测得，．已知速度为V海里/小时（V∈（0，
30]）的小艇每小时的总费用为（）元，若小张由岛C直接乘小艇去B市，则至少需要多少费用？
【分析】（Ⅰ）在△CDE中，由余弦定理得DE，客轮的航行速度V1＝10×2＝20（海里/小时）．在△ACE中，由余弦定理得，AE＝10，求出客轮从E处到岛A所用的时间，小张到岛A所用的时间．推出结果．
（Ⅱ）求出BC，就是小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用，利用基本不等式求出最值即可．
【解答】满分（12分）．
解：（Ⅰ）如图，根据题意得：CD＝10，，，∠DCE＝70°﹣400＝300．
在△CDE中，由余弦定理得，
＝＝10，…（2分）
所以客轮的航行速度V1＝10×2＝20（海里/小时）．…（3分）
因为CD＝DE，所以∠DEC＝∠DCE＝30°，
所以∠AEC＝180°﹣300＝1500．
在△ACE中，由余弦定理得，AC2＝AE2+CE2﹣2AE•CE•cos∠AEC，
整理得：AE2+30AE﹣400＝0，
解得AE＝10或AE＝﹣40（不合舍去）．…（5分）
所以客轮从E处到岛A所用的时间小时，
小张到岛A所用的时间至少为小时．
由于，
所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮…（6分）
（Ⅱ）在△ABC中，，，
所以∠ACB为锐角，，．…（7分）
所以sin B＝sin[1800﹣（∠BAC+∠ACB）]＝sin（∠BAC+∠ACB）
＝sin∠BAC cos∠ACB+cos∠BAC sin∠ACB＝＝．…（8分）由正弦定理得，，
所以，…（9分）
所以小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为
（V∈（0，30]），…
（10分）
当且仅当，即V＝10时，（元）…（11分）
所以若小张由岛C直接乘小艇去B市，其费用至少需元．…（12分）．【点评】本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2．过
且斜率为k的直线l与椭圆C相交于点M，N．当k＝0时，四边形MNF1F2恰在以MF1为直径，面积为的圆上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若，求直线l的方程．
【分析】（Ⅰ）当k＝0时，直线l∥x轴，推出点M的坐标为，设
，则c＝k．，求出a，b然后求解椭圆C的方程．
（Ⅱ）将与椭圆方程联立得（3+4k2）x2+12kx﹣3＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式，通过，求出k，即可求解直线l的方程．
【解答】满分（12分）．
解：（Ⅰ）当k＝0时，直线l∥x轴，
又四边形MNF1F2恰在以MF1为直径，面积为的圆上，
∴四边形MNF1F2为矩形，且．…（1分）
∴点M的坐标为．…（2分）
又，
∴．…（3分）
设，则c＝k．
在Rt△MF1F2中，，|F1F2|＝2k，
∴，
∴k＝1．
∴，…（5分）
∴椭圆C的方程为．…（6分）
（Ⅱ）将与椭圆方程联立得（3+4k2）x2+12kx﹣3＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），得，．…（7分）
故＝．…（9分）
又，…
（10分）
∴，
即，
解得，
∴直线l的方程为．…（12分）
【点评】本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力．
21．（12分）已知函数f（x）＝ax2+lnx（a∈R）有最大值，g（x）＝x2﹣2x+f （x），且g'（x）是g（x）的导数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：当x1＜x2，g（x1）+g（x2）+3＝0时，．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，根据函数的单调性问题转化为g（x1）+g（2﹣x1）＜﹣3，设G（x）＝g（x）+g（2﹣x）＝x2﹣2x﹣2+lnx+ln（2﹣x）（其中0＜x＜1），求出导数，证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），．…（1分）
当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，∞）上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去；…（2分）
当a＜0时，令f'（x）＝0，得，
当时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，…（3分）
∴，∴，…（4分）∴．…
（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，∴．
∵，∴g'（x）≥0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增．…（6分）
又∵x1＜x2，g（x1）+g（x2）＝﹣3且，∴0＜x1＜1＜x2．…（7分）∵，∴当x＞1时，g''（x）＞0，g'（x）单调递增，
要证，即g'（x1+x2）＞g'（2），
只要证x1+x2＞2，即x2＞2﹣x1．…（8分）∵x1＜1，∴2﹣x1＞1，
所以只要证g（2﹣x1）＜g（x2）＝﹣3﹣g（x1）⇔g（x1）+g（2﹣x1）＜﹣3﹣﹣﹣﹣（*），…（9分）
设G（x）＝g（x）+g（2﹣x）＝x2﹣2x﹣2+lnx+ln（2﹣x）（其中0＜x＜1），
∴＝＝，
∴G（x）在（0，1）上为增函数，…（11分）
∴G（x）＜G（1）＝﹣3，故（*）式成立，从而．…（12分）【点评】本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，M为曲线C1上异于极点的动点，点P在射线OM上，且成等比数列．
（Ⅰ）求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知A（0，3），B是曲线C2上的一点且横坐标为2，直线AB与C1交于
D，E两点，试求||AD|﹣|AE||的值．
【分析】（1）设P（ρ，θ），M（ρ1，θ），由成等比数列，得ρ•ρ1＝20，．M（ρ1，θ）满足ρ1＝4sinθ，由此能求出点P的轨迹C2的直角坐标方程．
（Ⅱ）得B（2，5），k AB＝1，直线AB倾斜角为，从而直线AB的参数方程为
，代入圆的直角坐标方程x2+（y﹣2）2＝4，得，由
此能求出||AD|﹣|AE||的值．
【解答】解：（1）设P（ρ，θ），M（ρ1，θ），
则由成等比数列，可得|OP|•|OM|＝20，…（1分）
即ρ•ρ1＝20，．…（2分）
又M（ρ1，θ）满足ρ1＝4sinθ，即，…（3分）
∴ρsinθ＝5，…（4分）
化为直角坐标方程为y＝5．
∴点P的轨迹C2的直角坐标方程为y＝5．…（5分）
（Ⅱ）依题意可得B（2，5），故k AB＝1，即直线AB倾斜角为，…（6分）∴直线AB的参数方程为…（7分）
代入圆的直角坐标方程x2+（y﹣2）2＝4，
得，…（8分）
故，t 1t2＝﹣3＜0，…（9分）
∴．…（10分）
【点评】本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知f（x）＝x2+a（a∈R），g（x）＝|x+1|+|x﹣2|
（Ⅰ）若a＝﹣4，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（Ⅱ）若x∈[0，3]时，f（x）＞g（x）的解集为空集，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）通过讨论x的范围，分离参数a，求出a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣4时，f（x）≥g（x）化为x2﹣4≥|x+1|+|x﹣2|，…（1分）
当x≤﹣1，不等式化为x2+2x﹣5≥0，解得或，
故；…（2分）
当﹣1＜x＜2时，不等式化为x2≥7，解得或，
故x∈∅；…（3分）
当x≥2，不等式化为x2﹣2x﹣3≥0，解得x≤﹣1或x≥3
故x≥3；…（4分）
所以f（x）≤x解集为或x≥3}．…（5分）
（Ⅱ）由题意可知，即为x∈[0，3]时，f（x）≤g（x）恒成立．…（6分）
当0≤x≤2时，x2+a≤3，得a≤（3﹣x2）min＝﹣1；…（8分）
当2≤x≤3时，x2+a≤2x﹣1，得a≤（﹣x2+2x﹣1）min＝﹣4，
综上，a≤﹣4．…（10分）
【点评】本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．。