高二数学暑期预科二面角

高二数学暑期预科 直线和平面垂直的性质与二面角
直线和平面垂直的性质
1．直线和平面垂直的性质定理:
如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行 已知：如图，,a b αα⊥⊥ 求证：//a b
2．点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．
3．直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．
例1 已知直线l ⊥平面α，垂足为A ，直线AP l ⊥，求证：AP 在平面α内
例2 已知一条直线l 和一个平面α平行，求证直线l 上各点到平面α的距离相等
例3．已知：a ，b 是两条异面直线，a ⊥α，b ⊥β，α∩β=l ，AB 是a ，b 公垂线，交a 于A ，交b 于B 求证：AB ∥l
二面角
1 二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半
平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--；二面角的图形
表示：
第一种是卧式法，也称为平卧式：
A B C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
第二种是立式法，也称为直立式：
l B'
O'
A'
B O A β
α
2．二面角的平面角：
（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB
∠
D
C
B
A
E
1
A 叫做二面角l αβ--的平面角
（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角
说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；
（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直
例1 在正四面体ABCD 中，求相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小
例2．在棱长为1的正方体1AC 中， （1）求二面角11A B D C -
-的大小；
（2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小
例3．已知：二面角l αβ--且,A A α∈到平面β的距离为A 到l 的距离为4，求二面角l αβ--的大小
例4．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B
AC D --的正弦值
练习 3．设A 在平面BCD 内的射影是直角三角形BCD 的斜边BD 的中点O ，
1,AC BC CD ===求（1）AC 与平面BCD 所成角的大小；
（2）二面角A BC D --的l
B
O
A
β
α
A
B
C
D
E
F
E
D C B
A
β
αP
A
B
C
β
αl
P C
B
图1
A
E
D'
B'
C'
A'
O
D
A
C
B
大小；（3）异面直线AB 和CD 的大小 3 两个平面垂直的定义：
两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面
4．两平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
已知：直线AB ⊂平面α，AB ⊥平面β，垂足为B ， 求证：αβ⊥．（线面垂直⇒面面垂直）
5．两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面
已知：,,,CD AB AB CD αβαβα⊥=⊂⊥于点B ，
求证：AB β⊥．（面面垂直⇒线面垂直）
例1 如图，已知AB 是圆O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B
的任一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC ．
例2．已知,,a αβαγβγ=⊥⊥，求证：a γ⊥．
练习：
1．直角ABC ∆的斜边AB 在平面α内，,AC BC 与α所成角分别为30,45，CD 是斜边
AB 上的高线，求CD 与平面α所成角的正弦值
2．如果二面角l αβ--的平面角是锐角，点P 到,,l αβ的距离分别为22,4,42，求二面角的大小
3．如图，正方体的棱长为1，'B C
BC O '=，求：
（1）AO 与A C ''所成角；
（2）AO 与平面ABCD 所成角的正切值； （3）平面AOB 与平面AOC 所成角。