黑龙江省海林市朝鲜族中学高中人教a版数学选修1-1课时作业：2.1.1椭圆的标准方程 word版含答案

课时作业(七)
一、选择题
1．已知椭圆方程为x 220＋y 2
11＝1，那么它的焦距为( ) A ．6 B ． 3 C ．331
D.11
解析：由于a 2＝20，b 2＝11，∴c 2＝a 2－b 2＝9， ∴c ＝3,2c ＝6，故选A. 答案：A
2．满足条件a ＝13，c ＝5的椭圆的标准方程为( ) A.x 2169＋y 2
144＝1 B.y 2169＋x 2
144＝1
C.x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2
144＝1 D ．不确定
解析：因焦点位置不确定，应有两个标准方程，只有C 成立． 答案：C
3．(2011年四川安居调研)椭圆2x 2＋y 2＝8的焦点坐标是( ) A ．(±2,0) B ．(0，±2) C ．(±23，0)
D ．(0，±23)
解析：椭圆方程为x 24＋y 2
8＝1， ∴焦点在y 轴上，且c 2＝8－4＝4.
∴焦点坐标为(0，±2)．答案：B
4．设P是椭圆x2
16＋y2
12＝1上一点，P到两焦点F1、F2的距离之
差为2，则△PF1F2是()
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.
又|F1F2|＝2c＝216－12＝4，
∴△PF1F2为直角三角形．
答案：B
5．椭圆x2
12＋y2
3＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上．如果线段
PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的() A．7倍B．5倍
C．4倍D．3倍
解析：不妨设F1(－3,0)，F2(3,0)，由条件知P(3，±
3
2)，即|PF2|
＝
3
2，
由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝43，则|PF1|＝
73
2，即|PF1|＝7|PF2|，故选A. 答案：A
6．(2011年湖南济阳高二期末)“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1”表示焦点在y 轴上的椭圆的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析：椭圆方程为x 21m ＋y 2
1n
＝1.
当m >n >0时，1m <1
n ，∴椭圆焦点在y 轴上． 当椭圆焦点在y 轴上时，有1n >1
m >0，∴0<n <m . ∴前者是后者的充要条件． 答案：C 二、填空题
7．椭圆x 24＋y 2
＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝______.
解析：由椭圆的方程可知F 1的坐标为(－3，0)，
设P (－3，y )，把P (－3，y )代入椭圆的方程中，得|y |＝1
2，即|PF 1|＝12.
根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 故|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－12＝7
2. 答案：72
8．过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同焦点的椭圆方程
是________．
解析：已知椭圆化为标准方程是x 29＋y 2
4＝1，其焦点在x 轴上，且c 2＝9－4＝5.
设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)． 将点(3，－2)代入得9a 2＋4
b 2＝1，又a 2＝b 2＋5， 联立可得a 2＝15，b 2＝10. 所以所求椭圆方程为x 215＋y 2
10＝1. 答案：x 215＋y 2
10＝1
9．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．
解析：方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y
2
1cos α
＝1.
∵椭圆的焦点在y 轴上，∴1cos α>1
sin α>0. 又∵α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，∴sin α>cos α>0，∴π4<α<π
2.
答案：⎝
⎛⎭
⎪⎫
π4，π2
三、解答题
10．已知椭圆8x 281＋y 2
36＝1上一点M 的纵坐标为2. (1)求M 的横坐标；
(2)求过M 且与x 29＋y 2
4＝1共焦点的椭圆的方程．
解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1得8x 281＋4
36＝1，即x 2＝9. ∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3. (2)对于椭圆x 29＋y 2
4＝1，
焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y
2a 2
－5
＝1，
把M 点坐标代入得9a 2＋4
a 2－5＝1，解得a 2＝15.
故所求椭圆的方程为x 215＋y 2
10＝1.
11．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2
＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．
解：两定圆的圆心和半径分别是O 1(－3,0)，r 1＝1，O 2(3,0)，r 2
＝9.
设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件可知， |MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R ， ∴|MO 1|＋|MO 2|＝10.
由椭圆的定义知：M 在以O 1、O 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16，
故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 2
16＝1.
12.已知x 轴上的一定点A (1,0)，Q 为椭圆x 24＋y 2
＝1上的动点，求AQ 中点M 的轨迹方程．
解：设动点M 的坐标为(x ，y )，则Q 的坐标为(2x －1,2y )． 因为点Q 为椭圆x 24＋y 2
＝1上的点， 所以有(2x －1)2
4＋(2y )2＝1， 即(x －12)2
＋4y 2＝1.
所以点M 的轨迹方程是(x －12)2
＋4y 2＝1.
13．已知椭圆y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．
解：(1)依题意知c ＝1，又c 2＝a 2－b 2，且3a 2＝4b 2，所以a 2－34a 2
＝1，即14a 2
＝1.所以a 2＝4.
因此b 2
＝3.从而椭圆方程为y 24＋x 2
3＝1.
(2)由于点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×2＝4， 又|PF 1|－|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝3
2， 又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以由余弦定理得
cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－|F 1F 2|2
2·|PF 1|·|PF 2|＝(52)2＋(32)2－222×52×32
＝3
5.即∠F 1PF 2
的余弦值等于3
5.
[拓展延伸]
14．已知P 是椭圆x 24＋y 2
＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆上的两个焦点．
(1)当∠F 1PF 2＝60°时，求△F 1PF 2的面积；
(2)当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．
解：(1)由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4且F 1(－3，0)，F 2(3，0)．①
在△F 1PF 2中，由余弦定理，得
|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60°.② 由①②得|PF 1|·|PF 2|＝43.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1| |PF 2|sin ∠F 1PF 2＝33.
(2)设点P (x ，y )，由已知∠F 1PF 2为钝角，得PF 1→·PF 2→
<0，即(x ＋3，
y )·(x －3，y )<0，又y 2
＝1－x 2
4，所以34x 2<2，解得－263<x <263.
所以点P 横坐标的范围是：－263<x <263.。