空间向量运算的坐标公式(教案)

空间向量运算的坐标公式
教学目标：
（1）知识目标
通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题.
（2）能力目标
①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法；
②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力. (3）情感目标
通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神.
教学重点：空间向量运算的坐标表示
教学难点：空间向量运算的坐标表示的应用
教学方法：启发诱导、练讲结合
授课类型：新授课
教学过程：
一、复习引入：平面向量的坐标运算：
设12121122(,),(,),(,),(,)a a a b b b A x y B x y ==r r
，则
(1)1122(,)a b a b a b +=++r r 1122(,)a b a b a b -=--r r
12(,)()a a a R λλλλ=∈r 1122a b a b a b ⋅=+r r
(2)//(0)a b b a b λ≠⇔=r r r r r r
即1122,a b a b λλ==
a b ⊥⇔r r 0a b ⋅=r r
⇔11220a b a b +=
(3) ||a =r 2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r
||AB
d AB ==u u u r
cos ,||||a b a b a b ⋅==r r
r r r r 思考：你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗？它们是否成立？为什么？ 二、新授：
（一）空间向量运算的坐标表示：
设123123111222(,,),(,,),(,,),(,,)a a a a b b b b A x y z B x y z ==r r
，则 (1)112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r 112233(,,)a b a b a b a b -=---r r
123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈r 122233a b a b a b a b ⋅=++r r
(2)
//(0)a b a b b λ⇔=≠r r r r r r 即112233,,a b a b a b λλλ=== a b ⊥⇔r r 0a b ⋅=r r
⇔1122330a b a b a b ++=
(3) ||a =r 212121(,,)AB OB OA x x y y z z =-=---u u u r u u u r u u u r
||AB
d AB ==u u u r
cos ,||||a b a b a b ⋅==r r
r r r r （二）应用举例
解：略
例2
（2） 已知向量
),2,4(),3,1,2(x b a -=-=ρρ
，若 a ⊥r b ρ，则 =x ______；
若 //a r b ρ
则 =x ______.
答案： （2）10
,63
x x ==-；
例3．见教材P112
解：略
三、课堂练习：P113 第3,4,5题
例1、（1）求向量(,,)a x y z =r
的模||a r
（2）求两个非零向量111(,,)a x y z =r
，
222(,,)b x y z =r
的夹角的余弦值
1(3,2,5),(1,5,1),_______,3________,
6___________,_____,cos ,______.a b a b a b a a b a b =-=-+=-==⋅=<>=r r r r r r
r r r r r
（）已知
则1
(2,7,4),3(10,1,16),6(18,12,30),2,cos ,117
b a b a a b a b +=--=-=-⋅=<>=r r r r
r r r r r （）a 111222(,,),(,,
)A x y z B x y z 若则
C 1
A 1
C
B
M
练习：如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，点M 是AB 的中点，求1DB 与MC 所成的角的余弦值.
四、课堂总结： 1.知识
（1）空间向量的坐标运算；
（2）利用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题. 2.方法 （1）类比 （2）数形结合 五、作业布置：
课本P114： 习题2 A 组 3,4,6。