河南省实验中学高三数学上学期第一次月考试题 文(含解析)

河南实验学校高三数学（文）第一次月考
【试卷综析】总体上看，整份试卷的阅读量、运算量和思维量都比较大，难度也稍偏大，区分度不是十分明显。

客观地说试题的设计、考查的要求和复习的导向都比较好，结构稳定。

整套试卷的题型设置，试题总体结构、考点分布、题型题量、赋分权重等方面均与历年考题保持一致，充分体现了稳定的特点。

试题紧紧围绕教材选材，注重基础知识和基本能力的检测。

考查了必要数学基础知识、基本技能、基本数学思想；考查基本的数学能力，以及数学的应用意识、创新意识、科学态度和理性精神等要求落到实处，模拟试卷有模仿性，即紧跟上一年高考试卷的命题，又有预见性，能够预测当年试卷的些微变化，具有一定的前瞻性，对学生有所启发，提高学生的应试备考能力，提升得分。

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
【题文】1
．设函数
则右图中阴影部分表示的集合为
A ．
B ．
C ．
D ．
【知识点】Venn 图表达集合的关系及运算．A1
【答案解析】D 解析：因为函数
，集合
因此阴影部分的表示的集合为A,B 交集在全集中的补集，即为，选D
【思路点拨】首先根据对数函数的定义域和值域化简集合A ，B ；由图知阴影部分表示的集
合为将A ∪B 除去A∩B 后剩余的元素所构成的集合，然后即可借助数轴求出结果. 【题文】2．已知函数的图象是连续不断的，有如下的对应值表：
函数在区间[1,6]上的零点至少有( )
A. 3个
B. 2个
C. 4个
D.5个 【知识点】函数零点存在定理.B9
【答案解析】B 解析：由图可知，，由零点存在定理知在区间
上至少有一个零点，同理可以判断出在区间
上至少有一个零点，所以在区间[1,6]上
的零点至少有两个.
【思路点拨】f （2）＞0，f （3）＜0，由零点存在定理知在区间[2，3]上至少有一个零点，同理可以判断出在区间[4，5]上至少有一个零点．
[]4,5[]
2,3(2)0,(3)0f f ><(,1](0,1)-∞-2
()lg(1)f x x =-()f x ,()x f x ()f x (,1](0,1)-∞-(,1)
[0,1)-∞-(1,0)-[1,0]-2
()lg(1)f x x =-
【题文】3．．已知命题则是（ ） A ． B ． C ．
D ．
【知识点】命题的否定.A2
【答案解析】C 解析：全称命题的否定是特称命题，故选C
【思路点拨】本题所给的命题是一个特称命题，存在性命题的否定是一个全称合理，把存在符号变为任意符号，将结论否定即可 【题文】 4．条件,其中为正常数.若是的必要
不充分条件，则的取值范围 ( )
A. B.(0,5) C. D.(5,+∞) 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2 【答案解析】A ，所以可得，又因为条件
, 其中为正常数. 且是的必要不充分，即，所以.
选A.
【思路点拨】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义，即可得到结论． 【题文】5．在中，若,则是（ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形 【知识点】三角形的形状判断．C8
【答案解析】 A 解析：由，知
所以，故为直角三角形,故选A.
【思路点拨】根据向量的加减运算法则，将已知化简得
=
+
•
，得
•
=0．结
合向量数量积的运算性质，可得 CA ⊥CB ，得△ABC 是直角三角形． 【题文】6，
，，则的大小关系是
A ．
B ．
C ．
D ．
【知识点】不等式比较大小．E1
ABC ∆AC
CB AC CB ⊥⋅⇒=⋅00
)()()()(=+⋅⇒-⋅=⋅⇒-⋅=-BC AB CB BC BC CB AB CA BA BC AC AB AB BC
CA BC BA AC AB AB ⋅-⋅=⋅-2
2
AB AB AC BA BC CA CB
=⋅+⋅+⋅05a <≤q p ⇒q p a :0q x a <<:15p x -<<b a c <<c b a <<b c a <<a b c <<,,a b c log 3
b π=ABC ∆2
AB AB AC BA BC CA CB
=⋅+⋅+⋅ABC ∆[5,)+∞(0,5]a q p a :0q x a <<,sin 1
x R x ∀∈>,sin 1x R x ∃∈>,sin 1
x R x ∀∈≥,sin 1x R x ∃∈≥p ⌝:,sin 1,p x R x ∀∈≤
【答案解析】C 解析：因为根据指数函数以及对数函数的概念和性质，那么
，
，
那么可知a,bc
的大小关系为，选C.
【思路点拨】利用指数函数和对数函数的单调性即可比较出大小．注意与数0,1
的大小比较．
【题文】7．
在中，=3，则与夹角的取值范围是（ ）
A 【知识点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．F2 F3 【答案解析】C 解析：=3，所以
S=
sinB ∈
，所以
，即
所以：这就是夹角的取值范围．故选C ．
【思路点拨】利用向量的数量积求得表达式，根据三角形面积的范围，可以得到B 的范围，然后求题目所求夹角的取值范围．
【题文】8．为了得到函数的图像，需要把函数
有点（ ）
A. B. C. D.
【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C4
【答案解析】D 解析：函数周期为周期为，因此3π2πx y sin =AB BC c b a <<log 3log 1=<=b πππx y sin =CB AB ABC ∆AB BC ABC ∆
横坐标伸长为原来
得
再向左平
移平单位长
度得D.
【思路点拨】根据函数y=Asin （ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．
【题文】9．已知如图是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(|φ
|
图像上的一段，则( )
(A)ωφωφ (C)ω＝2，φω＝2，φ【知识点】由图像求函数的解析式. C4 【
答
案
解
析
】
C
解
析
：
因
为
故选C ．
【思路点拨】由图像求函数的解析式一般步骤：第一步先求出A ，第二
步可求出周期，进而得到第三步根据五点法作图中点确定的值，要注意的取值范围.
【题文】10A 【知识点】三角函数的性质。

C3 【答案解析】 A
解
析
：
根
据
题
意
，
由于
知当x A.
【思路点拨】已知等式变形表示出siny ，根据正弦函数的值域确定出sinx 的范围，原式利
sin()y A x ωϕ=+ϕϕωsin()
y A x ωϕ=+2,26πϕ⨯+
用同角三角函数间基本关系变形，利用二次函数的性质求出最小值即可．
【题文】11．已知函数
2
()21
f x x ax
=-+对任意(0,1]
x∈恒有()0
f x≥成立，则实数a的
取值范围是（）
A．[1,)
+∞B．
C．
(,1]
-∞D．
【知识点】二次函数的性质.B5
【答案解析】C 解析：
()0
f x≥在(0,1]
x∈恒成立⇔212
x ax
+≥在(0,1]
x∈恒成立
在
(0,1]
x∈恒成立在(0,1]
x∈恒成立
(0,1]
x ∈恒成立，又因为，所以221
a a
≤∴≤，所以选C；
【思路点拨】运用参数分离，得到2a≤x在x∈（0，1]恒成立，对右边运用基本不等式，求得最小值2，解2a≤2，即可得到．
【题文】12．
设，若函数()有小于零的极值点，则（）
A． B． D．
【知识点】导数的综合应用．B12
【答案解析】B 解析：，令有
，，故故选：B．【思路点拨】利用导数的运算法则可得：y′=ex+3a，令y′=0，可得ex=﹣3a．可得a＜0，由x=ln（﹣3a）＜0，解出即可.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
【题文】13．已知偶函数在区间上单调增加，则x取
值范围是___________________.
【知识点】函数奇偶性的性质．B4
x解析：如图所示：∵f（2x﹣1）＜f（），∴﹣＜2x﹣1＜，
即＜x＜．故答案为：（，）
31
a
∴-<
()
ln30ln1
x a
=-<=
a<
∴
3
x
e a
=-
/0
y=
/3
x
y e a
=+
∞
[0,+)
()
f x
3
a<-
30
a
-<<
x R
∈
3
x
y e ax
=+
a R
∈
【思路点拨】本题采用画图的形式解题比较直观． 【题文】14．已
知，且，＝ .
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；平行向量与共线向量.C2F2
【答案解析】
解析：因为
,所以
【思路点拨】利用向量平行的性质可求得sin α和cos α的关系，进而求得tan α的值，把题设中式子分子分母同时除以cos α，然后把tan α的值代入即可求得答案．
【题文】15． (几何证明选做题) )如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D.过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，
FB ＝1，EF CD 的长为________．
(坐标系与参数方程选做题) 已知直线：（t 为参数）与圆C2：
（为参数）的位置关系不可能是________.
（不等式选做题）不等式
对任意实数恒成立，则正实数的
取值范围 .
【知识点】与圆有关的比例线段．圆的参数方程；直线的参数方程．绝对值不等式的解法．N1 N3 N4
【答案解析】A. B. 相离.
解析：：因为
A ，不存在实数使成立，则
|3||1|x x a
-+-≤x b
a //4a ≥a x 2
|3||1|3x x a a +--≤-θx cos sin y θ
θ=⎧⎨
=⎩x 1t cos sin y t αα=+⎧⎨=⎩
1l b a //)
cos ,(sin ),1,3(αα==b a
实数的取值集合是
对于B,×FC，∴FC=2∵BD∥CF，∴CF:BC=AF:AB，∴
设CD=x
，则AD=4x，∵BD是圆的切线，,∴由切割线定理可得,∴
对于C,由于直线：（t为参数）与圆C2：，可以通过圆心（0，0）到直线的距离于圆的半径的大小1可知，距离小于或者等于半径1，故不可能是相离。

【思路点拨】(A) 由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，(B) 先把直线l1与圆C2的参数方程化为普通方程，再利用点到直线的公式求出圆心到直线的距离，再与半径1比较即可．(C) 先去绝对值符号确定|x+3|﹣|x﹣1|的取值范围，然后让a2﹣3a大于它的最大值即可．
【题文】16．如图，平行四边形的两条对角线相交于点，点是的中点.
，且，则 .
【知识点】平面向量数量积的运算．F3
【答案解析解析：由题意不难求得，则
===故答案为：．
x cos
sin
y
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
x1t cos
sin
y t
α
α
=+
⎧
⎨
=
⎩
1
l
a
min
(|3||1|)2
a x x
<-+-=
AP CP
⋅=
60
BAD
∠=︒
1
AD=
2
AB=
MD
P
M
ABCD
【思路点拨】通过图形，分别表示，然后进行向量数量积的运算即可．
三、解答题:本大题共6小题，共70分． 【题文】17．在△中，是角对应的边，向量
,，且
（1）求角；
（2）、，求的单调递减区间．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．C7 F3C3
【答案解析】（1（2 解析：（1）因为，所以
5分
（2分
、，所以的最小正周期为,
分
1=ωπ=T )(x f 0x )(x f 0x C ()c b a n -+=,),(c b a m +=C
B A ,,c b a ,,ABC
所以的单调递减区间为
12分
【思路点拨】（1）利用平面向量的坐标运算及余弦定理可求得角C ；（2）利用三角恒等变换可求得f （x ）=sin （2ωx+），由相邻两个极值的横坐标分别为x0﹣、x0，可求得其周
期，继而可得ω=1，从而可得函数解析式，利用正弦函数的单调性即可求得答案．
【题文】18
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2时，求函数的单调区间；
（3）在（2，若对于
[1，2]，
[0，1]，使
成立，求实数的取值范围．
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【来.源：全,品…中&高*考*网】B11B12 【答案解析】（1）；（2）单调增区间为
;单调减区间为
；（3）
b 解析：函数
的定义域为
， 1分
分
（1）当时，
，
， 3分
， 4分
在处的切线方程为. 5分
()()0,12+∞，，
()
1,22y =-2y =-1x =()
f x ∴()'10f ∴=()12
f ∴=-()ln 1f x x x =--1a =()0+∞，
()
f x )(x f b ()()
12f x g x ≥2x ∃∈1x ∀∈()f x 1x =()
f x 1a =
当,或时,
; 6分
当时,
. 7分
当
函数的单调增区间为;单调减区间为. 8分
(如果把单调减区间写为
,该步骤不得分)
（32）可知函数)(x f 在
)21，（上为增函数， ∴函数)(x f 在[1，2]分
若对于∈∀1x [1，2]，]1,0[2∈∃x )(1x f ≥)(2x g 成立⇔)(x g 在]1,0[上的最小值不大于
)(x f 在[1，2]上的最小值（） 10分
，]1,0[∈x
当0<b 时，)(x g 在]1,0[上为增函数，
11分
当10≤≤b 时，
及10≤≤b
分
③当1>b 时，)(x g 在]1,0[上为减函数，
及得. 13分
综上，b 分
1b >1b >()()0,12+⋃∞，
()()0,12+∞，，()1,2()f x ∴()'0
f x >12x <<()'0
f x <2x >01x <<∴
【思路点拨】(1)
当时，首先求出函数的定义域.
再通过求导再求出导函数当时的导函数的的值即为切线的斜率.又因为过点
则可求出在的切线方程.本小题主要考查对数的求导问题.
（2x 值.由于定义域是x 大于
零.所以可以根据导函数的正负值判断函数的单调性.
（3）由于在（2）的条件下，若对于
[1，2]，
[0，1]，使
成立.等价于在上的最小值要大于或等于在上的最小值.由于是递增的所以易求出最小值.再对中的b 进行讨论从而得到要求的结论.
【题文】19.在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c （1 （2）若，ABC ∆周长为5，求b 的长
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理．C8 【答案解析】（1）2；（2）2
解析：（1即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-， 化简可得sin()2sin().A B B C +=+ 又A B C π++=， 所以sin 2sin C A =
()g x ()f x [0,1]x ∈()
g x [1,2]x ∈()f x ()()
12f x g x ≥2
x ∃∈1x ∀∈1x =(1,(1))f 1x =1a =
（2
2.c a =
所以2.b a = 又5,a b c ++= 从而1,a = 因此b=2。

【思路点拨】（1）利用正弦定理化简等式的右边，然后整理，利用两角和的正弦函数求出的值．（2）利用（1）可知c=2a ，结合余弦定理，三角形的周长，即可求出b 的值．
【题文】20.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为如图所示，点C
在以O 为圆心的圆弧AB 错误！未指定书签。

错误！未指定书签。

上运动。

若
OB y OA x OC +=，其中R y x ∈,,求x+y 的最大值
【知识点】平面向量的基本定理及其意义．F2 【答案解析】2 解析：由已知条件知：
=1=（x
+y
）2=x2﹣xy+y2=（x+y ）2﹣3xy ；
∴（x+y ）2﹣1=3xy ，根据向量加法的平行四边形法则，容易判断出x ，y ＞0，
∴x+y≥2，∴xy≤；
∴（x+y ）2﹣1≤（x+y ）2，∴（x+y ）2≤4，∴x+y≤2，即x+y 的最大值为2． 【思路点拨】对
=x
+y
，两边平方并根据已知条件可得到：x2﹣xy+y2=（x+y ）2﹣3xy=1，
所以（x+y ）2﹣1=3xy ，因为根据向量加法的平行四边形法则可知其最大值． 【题文】21．已知函数，，.
a ∈R ()g x ax =()ln f x x a
=+
（1
）若,，求的极大值；
（2）设函数，讨论的单调性.
请从以下三题任选一题解答。

【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．B12 【答案解析】（1）极大值；（2）当时，的增区间为， 当时，的增区间为
）当时，，定义域为，
分 令 ，列表： 4分
当时，取得极大值. 7分 （2），∴ 9分
若，，在上递增； 11分
若，当
时，，单调递增； 时，，单调递减． 14分 ∴当时，的增区间为，
当时，的增区间为 16分 【思路点拨】（1）函数求极值分三步：①对函数求导；②令导函数为零求根，判断根是否为极值点；③求出极值；（2）先求导函数，然后利用导数求单调性，在其中要注意对a 的分类讨论．
【题文】22．如图所示，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D. (1)证明：DB ＝DC ；
(2)设圆的半径为1，BC CE 交AB 于点F ，
()G x 0a >(0,)+∞()G x 0a ≤(1)1F =()G x 0a >(0,)+∞()G x 0a ≤()G x '()0G x <()G x '()0G x >0a >(0,)+∞()G x ()0G x '
>0a ≤()ln (0)
G x x a ax x =+->(1)1F =()F x 1x =()01
F x x '
==得(0,)x ∈+∞1a =()G x ()()()G x f x g x =-()F x 1a =
求△BCF 外接圆的半径． 【知识点】几何证明.N1
【答案解析】(1) 见解析
解析：(1)连接，交于点. 由弦切角定理得，.而，故，
.
又，所以为直径，则，
由勾股定理可得. (2)由(1)知，，，
故是的中垂线，所以
设的中点为，连接，则.
从而，
所以，故外接圆的半径等于【思路点拨】(1) 根据弦切角定理及为的平分线可得 ,可
以根据勾股定理证得 .也可以证得 .(2)可以
证得,所以外接圆的圆心为中点,即为外接圆的直径. 【题文】23．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为θθρsin 8cos 6+=．现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若圆C 上的动点P 的直角坐标为),(y x ，求x y +的最大值，并写出y x +取得最大值时点P 的直角坐标．
【知识点】简单曲线的极坐标方程．N3
【答案解析】（Ⅰ）08622=--+y x y x ，即2225)4()3(=-+-y x ．
Rt BCF ∆CF BF ⊥30
ABE BCE CBE ∠=∠=∠=60BOG ∠=BO O DE BC DG DB DC =CDE BDE
∠=∠DB DC =90DCE ∠=DE DB BE ⊥BE CE =CBE BCE
∠=∠ABE CBE
∠=∠ABE BCE
∠=∠G BC DE BC BC BCF ∆CF BF ⊥DB DC =DCB DBC
∠=∠DB DC =CBE BCE ∠=∠ABC ∠BE
（Ⅱ）y x +取得最大值为P
解析：（Ⅰ）由θθρsin 8cos 6+=，得
θρθρρsin 8cos 62
+=， 所以圆C 的直角坐标方程为0862
2=--+y x y x ，
即2
225)4()3(=-+-y x ． 3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆C 的参数方程为⎩
⎨
⎧+=+=θθsin 54,
cos 53y x （θ为参数）.
5分
，Z ∈k 时，y x +取得最大值为
且当y x +取得最大值时点P
7分
【思路点拨】（Ⅰ） θθρsin 8cos 6+=
，两端同乘以，并将极坐标与直角坐标的互化公式代入即得.（Ⅱ）将圆C 的方程化为参数方程将y x +表示成三角函数式，确定得到y x +的最大值及点P 的直角坐标.
【题文】24．设函数，．
（1）解不等式：；
（2的定义域为，求实数的取值范围．
【知识点】绝对值不等式的解法.N4
【答案解析】（1（2）
解析：（1
（2R ，则f （x ）+m ≠0恒成立，即f （x ）+m=0在R 上
2m <-ρm R ()5f x ≤x R ∈()|21||23|f x x x =-+-
无解，又f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2，f（x）的最小值为2，所以m＞-2．【思路点拨】（1）对不等式分三种情况进行讨论，转化为一元一次不等式求解，把求的结果
求并集，就是原不等式的解集．（2
R，转化为则f（x）+m≠0
恒成立，即f（x）+m=0在R上无解，求函数f（x）的最小值．。