数列中的放缩法

i1 ai bi 6 2 2 3 3 4
5 1 12 2(n 1)
1 1 ) n n 1
5 . (n 2)
12
当n 1时，有 1 5 也成立． 6 12
练习:
已知数列
{an} 中
an
2n 2n 1
n
, 求证: ai (ai 1) 3 .
i 1
ai (ai
1)
(2i
2i 1)(2i
1 32
1 n2
7 4
(n N)
变式3
求证：1
1 22
1 32
1 n2
5 3
(n N)
例2 (2013广东文19第(3)问)
求证： 1 1 1
1
1 (n N)
13 35 5 7
(2n 1)(2n 1) 2
分析 左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩.
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
(1 3
1) 5
(
n
1 1
n
1 1)
1 1 1 (1 1 1 1 ) 1 1 1 (1 1) 5 (n 3)
4 2 2 3 n n 1
4 22 3 3
当n = 1, 2时，不等式显然也成立.
变式3
求证：1
1 22
1 32
1 n2
5 3
(n N)
分析 变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将
1 32
1 7 n2 4
(n N)
分析 变式2的结论比变式1强，要达目的，须将
变式1放缩的“度”进行修正，如何修正？
思路一 将变式1的通项从第三项才开始放缩.
1 n2
1 n(n 1)
1 n 1
1 n
(n 3)
保留前两项，从 第三项开始放缩
左边
1
1 22
(1 2
1) (1 33
1) 4
( 1 1) n 1 n
n
三种不同“境界”，得到
1 的三个“上界”，其中 5 最接近
k2
k 1
3
1
k2
k 1
2
6
（欧拉常数）.
【方法总结之二】
放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程 中，很多时候要“留一手”， 即采用“有所保留” 的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第 二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放得过 大或缩得过小.
当n = 1时，不等式显然也成立.
（08·辽宁卷）已知：an n(n 1), bn (n 1)2
1
1
15
求证：a1 b1 a2 b2 an bn 12 .
1
1
1 1 (1 1 )
an bn (n 1)(2n 1) 2n(n 1) 2 n n 1
n
故
1 1 1 (1 1 1 1
从第二项开
1 n2
1 n2 1
1( 1 2 n 1
1) n 1
(n
2)
始放缩
左边
1
1 2
(1
1) 3
(
1 2
1) 4
(
n
1 1
n
1 1)
1 1 (1 1 1 1 ) 1 1 (1 1) 7 (n 2)
2 2 n n1
2 24
当n = 1时，不等式显然也成立.
变式3
求证：1
1 22
已知数列
{an }
中
an
2n 2n 1
n
, 求证: ai (ai 1) 3 .
i 1
ai (ai
1)
22i
2i 2 2i
1
1 2i 2
2i 1
1 2i1
2
1 2i 1
(i
2)
故
n i 1
ai (ai
1)
2
1 2
1 22
1 2n
3
1 2n1
3(n
2)
当n 1时，有 2 3 也成立．
牛刀小试（变式练习1）
求证：1 1 1 1 5 (n N*)
证明
32 52
(2n 1)2 4
1 (2n 1)2
1 4n2 4n
1 4n(n 1)
1 4
(1 n 1
1) n
(n
2)
左边
1
1 4
(1
1) 2
(1 2
1) 3
(
1 n 1
1n )
1
1 4
(1
1 n
)
1
1 4
5 4
n 2
3 2n 1
33
开始 放缩
当n = 1时，不等式显然也成立.
评注
放缩法的证明过程就像“秋风扫落叶”一样干脆利落！
对1 n2
放缩方法不同，得到的结果也不同.
显然 5 3
7 4
2，
故后一个结论比前一个结论更强，也就是说如果证明了变式 3，
那么变式 1 和变式 2 就显然成立.
对1 n2
的 3 种放缩方法体现了
问题中一些常见的放缩类型及方法，破解其思维过程，揭
开其神秘的面纱，领略和感受放缩法的无限魅力！
常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，
其基本结构形式有如下 4 种：
n
n
①形如 ai k （ k 为常数）；②形如 ai f (n) ；
i 1
i 1
n
n
③形如 ai f (n) ；④形如 ai k （ k 为常数）.
3n 2 14
分析 左边不能直接求和，能否仿照例4的方法将通项
也放缩为等比模型后求和？
∵
3n 2 =3n (1 2 ) 3n
3n
(1
2 32
)
7
3n2
(n 2)
∴
1 an
1 7
1 3n2
(n 2)
保留第一项，从 第二项开始放缩
左边 1 1 (1 1 73
1 3n2
)
1
3 14
(1
2n
2n
【方法总结之一】
n
放缩法证明与数列求和有关的不等式，若 ai 可直 i 1
接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要
先将通项 an 放缩后再求和.
问题是将通项 an 放缩为可以求和且“不大不小”的 什么样的 bn 才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不
多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项
1 3n1
)
1 3 17 (n 2) 14 14
当n = 1时，不等式显然也成立.
【方法总结之三】
一般地，形如 an an bn 或 an an b (这里 a b 1)的
数列，在证明 1 1 1 k （ k 为常数）时都可以提取
a1 a2
an
出 an 利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型.
n
（二）形如 a f (n) i
例5 (1985全国) i1
求证：n(n 1) 1 2 23 n(n 1) n(n 2) (n N)
n n1
18 2( 101 1) 1 1 1 23
S的整数部分是18
1 1 2( 100 1) 19
100
右边保留
第一项
例4 (2012广东理19第(3)问)
求证： 1 1 1 1 3 (n N)
3 2 32 22 33 23
3n 2n 2
分析 思路
左边不能直接求和，考虑将通项放缩为等比模型 后求和, 哪个等比数列的和接近 3 ?
1 1 1 1 (n 2) n2 n(n 1) n 1 n
保留第一项， 从第二项开
始放缩
左边 1 (1 1) (1 1) ( 1 1)
2 23
n 1 n
11 1 2 (n 2) n
当n = 1时，不等式显然也成立.
变式2 (2013广东理19第(3)问)
求证：1
1 22
2 1 22 2 23 3
2n n
例1
求证：1 2
1 22
1 23
1 2n
1
(n N)
分析 不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.
左边
1 (1 1 ) 2 2n
1 1
1
1 2n
1
2
表面是证数列不等式，
实质是数列求和
变式1
求证：1 2
2 22
3 23
n 2n
2
(n N)
分析 不等式左边可用“错位相减法”求和.
1 32
1 n2
5 3
(n N)
分析 变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将
变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？
思路一 将变式2思路二中通项从第三项才开始放缩.
1 n2
1 n2 1
1( 1 1 ) 2 n 1 n 1
(n 3)
保留前两项， 从第三项开
始放缩
左边
1
1 22
1 2
( 12
1) 4
i 1
i 1
一. 放缩目标模型——可求和
n
（一）形如 a k (k为常数） i
i 1
例1 求证：1 1 1 1 1 (n N)
2 22 23
2n
变式1
求证：1 2
2 22
3 23
n 2n
2
(n N)
变式2
求证： 2
1
1
1 22
1
1 23
1
1 2n
1
1
(n N)
变式3 求证： 1 2 3 n 2 (n N)
11
1 2n
(1 2 2n
1 1
)
1
1 2n
1
2
变式3
求证： 2
1
1
22
2
2
23
3
3
n 2n n
2
(n N)
分析 左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求
和，如何放缩？
注意到 n n
2n n 2n
将通项放缩为 错 位相减模型
左边 1 2 3 n 2 n 2 2
2 22 23
变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？
思路二 将通项放得比变式2思路二更小一点.
1 4 n2 4n2
4
1
1
2( )
4n2 1 2n 1 2n 1
(n 2)
保留 第一
左边
1
2
(13
1) 5
(
1 5
1 7
)
(
1 2n 1
1 2n
1)
项， 从第 二项
1 2(1 1 ) 1 2 1 5 (n 2)
2121212121212121将通项放缩为错位相减模型201319133557212120131911152013191335572121表面是证数列不等式实质是数列求和1111233521212212保留第一项从第二项开始放缩111112013191111111201319保留第一项从第二项开始放缩保留前两项从第三项开始放缩1115355721211115保留数列的第一项或前两项从数列的第二项或第三项开始放缩35210808abnn2121212211112121212121右边保留第一项200920121001193232323214保留第一项从第二项开始放缩1221985nnnnnnnnnnnn122311111314732nn可求积可求积可放缩为裂项相消模型指数型可放缩为等比模型奇偶型放缩为可求积再见再见谢谢谢谢
用放缩法证明 数列中的不等式
放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容，在近几
年的广东高考数列试题中都有考查.放缩法灵活多变，技 巧性要求较高，所谓“放大一点点就太大，缩小一点点又 太小”，这就让同学们找不到头绪，摸不着规律，总觉得 高不可攀！高考命题专家说：“放缩是一种能力.” 如何 把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩 法的精髓和关键所在！其实，任何事物都有其内在规律， 放缩法也是“有法可依”的，本节课我们一起来研究数列
1 2n 1
2 n(n 1)
2(1 n
1) n 1
(n 3)
5. 2( n 1 n)
2
1 2
2
2( n n 1)
n n 1 n 2 n n n 1
2n
2n
2n
2n 1
1
1
6.
(n 2)
(2n 1)2 (2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n 2) (2n 1)(2n1 1) 2n1 1 2n 1
2.
1 n2
4 4n2
4
4
4n2 1 (2n 1)(2n 1)
2 1 1 2n 1 2n 1
3.
1 1 n n1
1 n(n 1)
1 n2
1 1 1 1 n n n(n 1) n 1 n
4.
2n
1
(1 1) n
1
(Cn0
Cn1
Cn2
)
1
Cn1
Cn2
n(n 1) 2
2
利用指数函数的单调性放缩为等比模型
∵ 3n 2n 3n[1 ( 2)n ] 3n[1 ( 2)1] 3n1
∴
1
1
3
(n N*)
3
3n 2n 3n1
左边
1
1 3
1 32
1 3n1
1
1 3n
3
1 1 2
3
例4 变式
求证： 1 1 1 1 17 (n N )
3 2 32 2 33 2
左边 1 [(1 1) (1 1) ( 1 1 )]
2 3 35
2n 1 2n 1
1 (1 1 ) 1 表面是证数列不等式， 2 2n 1 2 实质是数列求和
变式1 求证：1 1 1 1 2 (n N)
22 32
n2
分析 左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消
模型后求和.
1)
(2i
2i 1)(2i
2)
2i1
1
1
(2i
1)(2i 1
1)
2i1
1
2i
(i 1
2)
n
11
1
1
1
i 1
ai
(ai
1)
2
(
2
1
22
) 1
(
2n1
1
2n
) 1
3
2n
1
3(n
2)
当n 1时，有 2 3 也成立．
常见的裂项放缩技巧：
1.
1 n2
1 n2 1
(n
1 1)(n
1)
1 1 1 2 n 1 n 1
由错位相减法得
12 3
2 22 23
n 2n2 2
2n
2n
表面是证数列不等式， 实质是数列求和
变式2
求证： 2
1
1
1 22
1
1 23
1
1 2n
1
1
(n N)
分析 左边不能直接求和，须先将其通项放缩后 求和，如何放缩？
注意到 1 1 2n 1 2n
将通项放缩为 等比数列
左边 1 1 1 2 22 23
例3 (2009珠海二模理20第(2)问)
求S 1 1 1 1 的整数部分.
23