二元函数的极限与连续性
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证设
limf(x,y)A ,
(x,y) (x 0,y0)
则 0 , 0 ,使得当 P (x,y) U(P 0;)时, 有
|f ( x , y ) A | .
( 1 )
二元函数的极限与连续性
另由存在累次极限之假设, 对任一满足不等式
0 |x x 0 |
的 x, 存在极限
l i m f ( x ,y ) ( x ) .
,
故 lim f(x,y)0. (x,y) (0,0)
注意 不要把上面的估计式错写成：
xyx x 2 2 y y2 2 0xyx 2 2 xy y21 2(x 2y2),
二元函数的极限与连续性
因为 (x,y) (0,0)的过程只要求 (x,y)(0,0),即
x2 y2 0,而并不要求 xy 0.
m (x,yl)i m (0,0)f(x,y)x li m 0f(x,m x)1m 2.
ym x
这说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于原点时, 对应
的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在．
例4 设 1 ， 0 y x 2 , x ,
f(x ,y ) 0 ， 其 余 部 分 .
二元函数的极限与连续性
这说明 f 的两个累次极限都存在而且相等.
例8 设 f(x,y)x2y2xy, 它关于原点的两个 xy
累次极限分别为
二元函数的极限与连续性
x 2 y 2 x y y 2 y
lim lim
lim lim (y 1 ) 1 ,
y 0 x 0 x y
y y 0
y 0
x 2 y 2 x y x 2 x
(证法二) 作极坐标变换 x r c o s,y r s i n .这时
(x,y) (0,0)等价于 r 0 ( 对任何 ). 由于
|
f(x,
y)0|
x2y2 xyx2y2
1r2|sin4|1r2,
4
4
因此， 0 ,只 须 r x 2 y 2 2,对任何
二元函数的极限与连续性
都有
y
x
故按定义知道 (x,y) (0,0)时 f 的重极限存在, 且
limf(x,y)0.
(x,y) (0,0)
二元函数的极限与连续性
下述定理告诉我们: 重极限与累次极限在一定条件
下也是有联系的.
定理 6 若 f (x, y) 的重极限 lim f(x,y)与 (x,y) (x0,y0)
累次极限 limlimf(x, y)都存在, 则两者必定相等. xx0 yy0
(x,y)(0,0) xy x02x (yx)
第二条路径可考虑能使 f(x, y) xy 的分子与 x y
分母化为同阶的无穷小, 导致极限不为 0. 按此思路
的一种有效选择, 是取 y x2 x. 此时得到
x y
x (x 2x )
(x ,y)l im (0 ,0 ) xyx li m 0 x 2
lim (x 1 ) 1 , x 0
则称 f 在 D 上当 P P0 时, 有非正常极限 , 记作 lim f(x ,y) ,
(x ,y) (x 0,y0)
二元函数的极限与连续性
或 limf(P). PP0
仿此可类似地定义：
lim f( P ) 与 lim f( P ) .
P P 0
P P 0
例6
设
f(x,
y)2x2
1 3y2
二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿, 特
别把 f (x, y) 看作点函数 f (P) 时, 相应的证法也相
同, 这里不再一一叙述.
二元函数的极限与连续性
二、累次极限
在上面讨论的 lim f(x,y)中, 自变量 ( x , y ) (x,y) (x0,y0)
是以任何方式趋于 (x0 ,y0)的, 这种极限也称为重 极限. 下面要考察 x 与 y 依一定的先后顺序, 相继趋 于 x 0 与 y 0 时 f 的极限, 这种极限称为累次极限. 定义3 设 f ( x , y ) , ( x , y ) D , D 在 x 轴 、 y 轴 上 的 投 影 分 别 为 X 、 Y ,即
一二元函数的极限二累次极限定义1设二元函数定义在不致产生误解时也可简单地写作为极限记作分别用坐标表示时上式也常写作不妨先限制在点21的方邻域内来讨论于是有注意不要把上面的估计式错写成
§10.2 二元函数的极限与连续性
1、二元函数的极限
与一元函数的极限相类似， 二元函数的极限 同样是二元函数微积分的基础. 但因自变量个数 的增多, 导致多元函数的极限有重极限与累次极 限两种形式, 而累次极限是一元函数情形下所不 会出现的.
PP0 PD
在对 PD不致产生误解时, 也可简单地写作
二元函数的极限与连续性
limf(P)A.
PP0
当 P, P 0 分别用坐标 (x,y),(x0,y0)表示时, 上式也 常写作
lim f(x,y)A .
(x,y) (x0,y0)
例1 依定义验证 lim(x2xyy2)7. (x,y) (2,1)
.
证明
lim f(x,y) .
(x,y) (0,0)
证 此函数的图象见图16 -16.
二元函数的极限与连续性
二元函数的极限与连续性
因 2x 23y24 (x 2y2), 故对 M0,只需取
1,当 0 x 2 y 2 1时 ， 就 有
2M
2M
2x23y2M 1, 即 2x2 13y2M .
这就证得结果．
如图 16-15 所示, 当 (x, y) 沿任何直线趋于原点时, 相应的 f (x, y) 都趋于 0, 但这并不表明此函数在
二元函数的极限与连续性
(x,y) (0,0)时的极限为 0. 因为当(x, y) 沿抛物线
ykx2(0k1)趋于点 O 时, f (x, y)将趋于1. 所
以极限 lim f(x,y)不存在. (x,y)(0,0)
X { x | ( x , y ) D } , Y { y | ( x , y ) D } , x 0 , y 0 分 别 是 X , Y 的 聚 点 . 若 对 每 一 个 y Y ( y y 0 ) ,
二元函数的极限与连续性
存在极限limf(x, y)，它一般与 y 有关, 记作 xx0 (y)limf(x,y); x x0
例5 讨论 f (x, y) xy 在 (x,y) (0,0)时不 x y
存在极限． 解 利用定理 5 的推论 2, 需要找出两条路径, 沿 着此二路径而使 (x,y) (0,0)时, 得到两个相异 的极限．
二元函数的极限与连续性
第一条路径简单地取 yx, 此时有 lim xy limx2 0.
证 因为 x2xyy27 (x 2 4 ) x y 2 (y 2 1 )
二元函数的极限与连续性
|(x2)(x2)(x2)y2(y1)(y1)(y1)| | x 2 | | x y 2 | | y 1 | | y 3 | .
不妨先限制在点(2, 1)的方邻域
( x ,y )|x 2 | 1 ,|y 1 | 1
下面三个例子是它们的应用．
例3 讨论
f (x,
xy y) x2 y2
当 (x,y) (0,0)时是否
存在极限．( 注: 本题结论很重要, 以后常会用到. )
解 当动点 (x, y) 沿着直线 ymx而趋于定点 (0, 0)
二元函数的极限与连续性
时，由于
m f(x,y)f(x,m x)1m 2,
因此有
y y 0
回到不等式(1), 让其中 y y0 , 由 (3) 可得 |( x ) A | .
( 2 ) ( 3 ) ( 4 )
故由 (2), (4) 两式, 证得 lim(x)A, 即 xx0
l i m l i m f ( x ,y ) l i m f ( x ,y ) A .
x x 0 y y 0
0,取 m in(1,),当 |x 2 | ,|y 1 | 14 且 (x,y)(2,1)时, 就有
x 2 x y y 2 7 7 2 1 4 .
这就证得 lim(x2xyy2)7.
(x,y) (2,1)
二元函数的极限与连续性
例2 设
f(x, y)xyxx22 yy22，(x, y)(0,0),
诉我们, 这个结果是必然的. )
二元函数的极限与连续性
例９ 设 f(x,y)xsin1yysin1x, 它关于原点的两 个累次极限都不存在. 这是因为对任何 y0, 而 当 x0时, f 的第二项不存在极限. 同理, f 的第一
项当 y0时也不存在极限. 但是由于
xsin1ysin1|x||y|,
0,
(x, y)(0,0),
证明 lim f(x,y)0. (x,y) (0,0)
证 (证法一) 0, 由
xyx x2 2 y y2 20x2 2y2
x2y2 x2y2
二元函数的极限与连续性
1x 2y21(x 2y2),
2
2
可知 2 ,当 0 x 2 y 2 时 ,便 有
x2 y2 xy x2 y2 0
PP0 PE
二元函数的极限与连续性
推论1
若
E1D, P0
是 E1 的聚点, 使
lim
P P0
f (P)
PE1
不存在, 则 lim f ( P ) 也不存在． P P0 PD
推论2 若 E 1 ,E 2 D ,P 0是它们的聚点，使得
P l im P 0f(P )A 1与 P l im P 0f(P )A 2
|f ( x ,y ) 0 | 1 r 2 ,即 l i m f ( x ,y ) 0 .
4
( x ,y ) ( 0 ,0 )
下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归
结原则(而且证明方法也相类似).
定理 5 lim f (P) A 的充要条件是：对于 D 的 PP0 PD
任一子集 E,只要 P 0 仍是 E 的聚点,就有 lim f (P) A.
一、二元函数的极限 二、累次极限
二元函数的极限与连续性
一、二元函数的极限
定义1 设二元函数 f 定义在 DR2上, P 0 为 D 的
一个聚点, A 是一实数. 若 0 , 0 ,使得当
P U(P 0;) D 时, 都有
|f(P )A|,
则称 f 在 D 上当 PP0时以 A 为极限, 记作
lim f (P) A.
没有蕴涵关系. 下面三个例子将说明这一点.
例7
设
f
(x,
y)
xy x2 y2
.
由例
3
பைடு நூலகம்知道
f (x, y) 当
(x,y) (0,0)时的重极限不存在. 但当 y 0 时, 有
xy
lim
x0
x2
y2
0,
二元函数的极限与连续性
从而又有
xy lyi m0lxi m0 x2 y2
0.
同理可得
xy lxi m0lyi m0 x2 y2 0.
内来讨论, 于是有 | y3|| y14|| y1|45, |x y 2 | | ( x 2 ) ( y 1 ) 5 | | x 2 | | y 1 | 5 7 .
二元函数的极限与连续性
所以 x 2 x y y 2 7 7 |x 2 | 5 |y 1 |
7 ( | x 2 | | y 1 | ) .
(yx 2 x)
二元函数的极限与连续性
这就达到了预期的目的． 下面再给出当 P (x ,y ) P 0 (x 0 ,y 0 )时, f(x,y) ( 非正常极限 ) 的定义． 定义2 设 D 为二元函数 f 的定义域，P0(x0, y0)是 D
的一个聚点. 若 M 0 , 0 ,使得
P ( x ,y ) U ( P 0 ;)D ,都 有 f ( x , y ) M ,
如果进一步还存在极限
Llim(y), yy0
则称此 L 为 f ( x, y)先对 x(x0)后对 y(y0)的
累次极限, 记作
Llim limf(x,y). y y0x x0
二元函数的极限与连续性
类似地可以定义先对 y 后对 x 的累次极限:
Klim lim f(x,y). x x0y y0
注 累次极限与重极限是两个不同的概念, 两者之间
lim lim
lim lim (x 1 ) 1 .
x 0y 0 x y
x x 0
x 0
当沿斜率不同的直线 y m x ,( x ,y ) ( 0 ,0 )时, 有
x2y2xy 1m
lim
,
(x,y) (0,0)
xy
1m
ymx
因此该函数的重极限不存在. ( 下面的定理 16.6 将告
P E 1
P E 2
都存在，但 A1 A2
,
则
lim
P P0
f (P)
不存在．
PD
二元函数的极限与连续性
推论3 极限 lim f ( P ) 存在的充要条件是：D 中任 P P0 PD
一满足条件 P n P 0 且 n l i m P n P 0 的 点 列 { P n } ,它所 对应的函数列 {f(Pn)}都收敛．
limf(x,y)A ,
(x,y) (x 0,y0)
则 0 , 0 ,使得当 P (x,y) U(P 0;)时, 有
|f ( x , y ) A | .
( 1 )
二元函数的极限与连续性
另由存在累次极限之假设, 对任一满足不等式
0 |x x 0 |
的 x, 存在极限
l i m f ( x ,y ) ( x ) .
,
故 lim f(x,y)0. (x,y) (0,0)
注意 不要把上面的估计式错写成：
xyx x 2 2 y y2 2 0xyx 2 2 xy y21 2(x 2y2),
二元函数的极限与连续性
因为 (x,y) (0,0)的过程只要求 (x,y)(0,0),即
x2 y2 0,而并不要求 xy 0.
m (x,yl)i m (0,0)f(x,y)x li m 0f(x,m x)1m 2.
ym x
这说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于原点时, 对应
的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在．
例4 设 1 ， 0 y x 2 , x ,
f(x ,y ) 0 ， 其 余 部 分 .
二元函数的极限与连续性
这说明 f 的两个累次极限都存在而且相等.
例8 设 f(x,y)x2y2xy, 它关于原点的两个 xy
累次极限分别为
二元函数的极限与连续性
x 2 y 2 x y y 2 y
lim lim
lim lim (y 1 ) 1 ,
y 0 x 0 x y
y y 0
y 0
x 2 y 2 x y x 2 x
(证法二) 作极坐标变换 x r c o s,y r s i n .这时
(x,y) (0,0)等价于 r 0 ( 对任何 ). 由于
|
f(x,
y)0|
x2y2 xyx2y2
1r2|sin4|1r2,
4
4
因此， 0 ,只 须 r x 2 y 2 2,对任何
二元函数的极限与连续性
都有
y
x
故按定义知道 (x,y) (0,0)时 f 的重极限存在, 且
limf(x,y)0.
(x,y) (0,0)
二元函数的极限与连续性
下述定理告诉我们: 重极限与累次极限在一定条件
下也是有联系的.
定理 6 若 f (x, y) 的重极限 lim f(x,y)与 (x,y) (x0,y0)
累次极限 limlimf(x, y)都存在, 则两者必定相等. xx0 yy0
(x,y)(0,0) xy x02x (yx)
第二条路径可考虑能使 f(x, y) xy 的分子与 x y
分母化为同阶的无穷小, 导致极限不为 0. 按此思路
的一种有效选择, 是取 y x2 x. 此时得到
x y
x (x 2x )
(x ,y)l im (0 ,0 ) xyx li m 0 x 2
lim (x 1 ) 1 , x 0
则称 f 在 D 上当 P P0 时, 有非正常极限 , 记作 lim f(x ,y) ,
(x ,y) (x 0,y0)
二元函数的极限与连续性
或 limf(P). PP0
仿此可类似地定义：
lim f( P ) 与 lim f( P ) .
P P 0
P P 0
例6
设
f(x,
y)2x2
1 3y2
二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿, 特
别把 f (x, y) 看作点函数 f (P) 时, 相应的证法也相
同, 这里不再一一叙述.
二元函数的极限与连续性
二、累次极限
在上面讨论的 lim f(x,y)中, 自变量 ( x , y ) (x,y) (x0,y0)
是以任何方式趋于 (x0 ,y0)的, 这种极限也称为重 极限. 下面要考察 x 与 y 依一定的先后顺序, 相继趋 于 x 0 与 y 0 时 f 的极限, 这种极限称为累次极限. 定义3 设 f ( x , y ) , ( x , y ) D , D 在 x 轴 、 y 轴 上 的 投 影 分 别 为 X 、 Y ,即
一二元函数的极限二累次极限定义1设二元函数定义在不致产生误解时也可简单地写作为极限记作分别用坐标表示时上式也常写作不妨先限制在点21的方邻域内来讨论于是有注意不要把上面的估计式错写成
§10.2 二元函数的极限与连续性
1、二元函数的极限
与一元函数的极限相类似， 二元函数的极限 同样是二元函数微积分的基础. 但因自变量个数 的增多, 导致多元函数的极限有重极限与累次极 限两种形式, 而累次极限是一元函数情形下所不 会出现的.
PP0 PD
在对 PD不致产生误解时, 也可简单地写作
二元函数的极限与连续性
limf(P)A.
PP0
当 P, P 0 分别用坐标 (x,y),(x0,y0)表示时, 上式也 常写作
lim f(x,y)A .
(x,y) (x0,y0)
例1 依定义验证 lim(x2xyy2)7. (x,y) (2,1)
.
证明
lim f(x,y) .
(x,y) (0,0)
证 此函数的图象见图16 -16.
二元函数的极限与连续性
二元函数的极限与连续性
因 2x 23y24 (x 2y2), 故对 M0,只需取
1,当 0 x 2 y 2 1时 ， 就 有
2M
2M
2x23y2M 1, 即 2x2 13y2M .
这就证得结果．
如图 16-15 所示, 当 (x, y) 沿任何直线趋于原点时, 相应的 f (x, y) 都趋于 0, 但这并不表明此函数在
二元函数的极限与连续性
(x,y) (0,0)时的极限为 0. 因为当(x, y) 沿抛物线
ykx2(0k1)趋于点 O 时, f (x, y)将趋于1. 所
以极限 lim f(x,y)不存在. (x,y)(0,0)
X { x | ( x , y ) D } , Y { y | ( x , y ) D } , x 0 , y 0 分 别 是 X , Y 的 聚 点 . 若 对 每 一 个 y Y ( y y 0 ) ,
二元函数的极限与连续性
存在极限limf(x, y)，它一般与 y 有关, 记作 xx0 (y)limf(x,y); x x0
例5 讨论 f (x, y) xy 在 (x,y) (0,0)时不 x y
存在极限． 解 利用定理 5 的推论 2, 需要找出两条路径, 沿 着此二路径而使 (x,y) (0,0)时, 得到两个相异 的极限．
二元函数的极限与连续性
第一条路径简单地取 yx, 此时有 lim xy limx2 0.
证 因为 x2xyy27 (x 2 4 ) x y 2 (y 2 1 )
二元函数的极限与连续性
|(x2)(x2)(x2)y2(y1)(y1)(y1)| | x 2 | | x y 2 | | y 1 | | y 3 | .
不妨先限制在点(2, 1)的方邻域
( x ,y )|x 2 | 1 ,|y 1 | 1
下面三个例子是它们的应用．
例3 讨论
f (x,
xy y) x2 y2
当 (x,y) (0,0)时是否
存在极限．( 注: 本题结论很重要, 以后常会用到. )
解 当动点 (x, y) 沿着直线 ymx而趋于定点 (0, 0)
二元函数的极限与连续性
时，由于
m f(x,y)f(x,m x)1m 2,
因此有
y y 0
回到不等式(1), 让其中 y y0 , 由 (3) 可得 |( x ) A | .
( 2 ) ( 3 ) ( 4 )
故由 (2), (4) 两式, 证得 lim(x)A, 即 xx0
l i m l i m f ( x ,y ) l i m f ( x ,y ) A .
x x 0 y y 0
0,取 m in(1,),当 |x 2 | ,|y 1 | 14 且 (x,y)(2,1)时, 就有
x 2 x y y 2 7 7 2 1 4 .
这就证得 lim(x2xyy2)7.
(x,y) (2,1)
二元函数的极限与连续性
例2 设
f(x, y)xyxx22 yy22，(x, y)(0,0),
诉我们, 这个结果是必然的. )
二元函数的极限与连续性
例９ 设 f(x,y)xsin1yysin1x, 它关于原点的两 个累次极限都不存在. 这是因为对任何 y0, 而 当 x0时, f 的第二项不存在极限. 同理, f 的第一
项当 y0时也不存在极限. 但是由于
xsin1ysin1|x||y|,
0,
(x, y)(0,0),
证明 lim f(x,y)0. (x,y) (0,0)
证 (证法一) 0, 由
xyx x2 2 y y2 20x2 2y2
x2y2 x2y2
二元函数的极限与连续性
1x 2y21(x 2y2),
2
2
可知 2 ,当 0 x 2 y 2 时 ,便 有
x2 y2 xy x2 y2 0
PP0 PE
二元函数的极限与连续性
推论1
若
E1D, P0
是 E1 的聚点, 使
lim
P P0
f (P)
PE1
不存在, 则 lim f ( P ) 也不存在． P P0 PD
推论2 若 E 1 ,E 2 D ,P 0是它们的聚点，使得
P l im P 0f(P )A 1与 P l im P 0f(P )A 2
|f ( x ,y ) 0 | 1 r 2 ,即 l i m f ( x ,y ) 0 .
4
( x ,y ) ( 0 ,0 )
下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归
结原则(而且证明方法也相类似).
定理 5 lim f (P) A 的充要条件是：对于 D 的 PP0 PD
任一子集 E,只要 P 0 仍是 E 的聚点,就有 lim f (P) A.
一、二元函数的极限 二、累次极限
二元函数的极限与连续性
一、二元函数的极限
定义1 设二元函数 f 定义在 DR2上, P 0 为 D 的
一个聚点, A 是一实数. 若 0 , 0 ,使得当
P U(P 0;) D 时, 都有
|f(P )A|,
则称 f 在 D 上当 PP0时以 A 为极限, 记作
lim f (P) A.
没有蕴涵关系. 下面三个例子将说明这一点.
例7
设
f
(x,
y)
xy x2 y2
.
由例
3
பைடு நூலகம்知道
f (x, y) 当
(x,y) (0,0)时的重极限不存在. 但当 y 0 时, 有
xy
lim
x0
x2
y2
0,
二元函数的极限与连续性
从而又有
xy lyi m0lxi m0 x2 y2
0.
同理可得
xy lxi m0lyi m0 x2 y2 0.
内来讨论, 于是有 | y3|| y14|| y1|45, |x y 2 | | ( x 2 ) ( y 1 ) 5 | | x 2 | | y 1 | 5 7 .
二元函数的极限与连续性
所以 x 2 x y y 2 7 7 |x 2 | 5 |y 1 |
7 ( | x 2 | | y 1 | ) .
(yx 2 x)
二元函数的极限与连续性
这就达到了预期的目的． 下面再给出当 P (x ,y ) P 0 (x 0 ,y 0 )时, f(x,y) ( 非正常极限 ) 的定义． 定义2 设 D 为二元函数 f 的定义域，P0(x0, y0)是 D
的一个聚点. 若 M 0 , 0 ,使得
P ( x ,y ) U ( P 0 ;)D ,都 有 f ( x , y ) M ,
如果进一步还存在极限
Llim(y), yy0
则称此 L 为 f ( x, y)先对 x(x0)后对 y(y0)的
累次极限, 记作
Llim limf(x,y). y y0x x0
二元函数的极限与连续性
类似地可以定义先对 y 后对 x 的累次极限:
Klim lim f(x,y). x x0y y0
注 累次极限与重极限是两个不同的概念, 两者之间
lim lim
lim lim (x 1 ) 1 .
x 0y 0 x y
x x 0
x 0
当沿斜率不同的直线 y m x ,( x ,y ) ( 0 ,0 )时, 有
x2y2xy 1m
lim
,
(x,y) (0,0)
xy
1m
ymx
因此该函数的重极限不存在. ( 下面的定理 16.6 将告
P E 1
P E 2
都存在，但 A1 A2
,
则
lim
P P0
f (P)
不存在．
PD
二元函数的极限与连续性
推论3 极限 lim f ( P ) 存在的充要条件是：D 中任 P P0 PD
一满足条件 P n P 0 且 n l i m P n P 0 的 点 列 { P n } ,它所 对应的函数列 {f(Pn)}都收敛．