青海省师大附中2019届高三上学期期中考试数学理试卷Word版含解析

青海省师大附中2019届高三上学期期中考试
数学理试卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．设集合A={ y|y=lg|x|}，B={x|y=}，则A∩B=（）
A．[0，1]B．（0，1）C．（﹣∞，1]D．[0，+∞]
2．已知a，b∈R，则“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若命题p：函数y=x2﹣2x的单调递增区间是[1，+∞），命题q：函数y=x﹣的单调递增区间是[1，+∞），
则（）
A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．非p是真命题D．非q是真命题
4．由直线x=﹣，x=，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）
A．B．1 C．D．
5．方程log2x+x=2的解所在的区间为（）
A．（0.5，1）B．（1，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.5）
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．C．或D．或
7．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为（）
A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数
8．若函数y=sinx+f（x）在[﹣，]内单调递增，则f（x）可以是（）
A．1 B．cosx C．sinx D．﹣cosx
9．已知函数f（x）的图象向右平移a（a＞0）个单位后关于x=a+1对称，当x2＞x1＞1时，
[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0恒成立，设a=f（﹣），b=f（2），c=f（e），则a，b，c的大小关系为（）
A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c
10．函数f（x）=﹣2sin2x+sin2x+1，给出下列四个命题：
①在区间[]上是减函数；
②直线x=是函数图象的一条对称轴；
③函数f（x）的图象可由函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到；
④若x∈[0，]，则f（x）的值域是[0，]．
其中，正确的命题的序号是（）
A．①②B．②③C．①④D．③④
11．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x）且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）
A．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）
B．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）
C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）
D．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）
12．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，
xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上的一点，且
sinθ=﹣，则y=．
=．
14．在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则S
△ABC
15．设函数f（x）=n2x2（1﹣x）n（n为正整数），则f（x）在[0，1]上的最大值为．
16．设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出以下四个命题：①当c=0时，有f（﹣x）=﹣f（x）成立②当b=0，c ＞0时，方程f（x）=0，只有一个实数根③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称④当x＞0时；函数f（x）=x|x|+bx+c，f（x）的最小值是c﹣．其中正确的命题的序号是．
三、解答题（17--21题每小题12分，选做题10分）
17．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）（x∈R）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣f（x+），且tanα=，求g（α）的值．
18．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），
（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
19．（12分）已知函数f（x）=+alnx﹣2（a＞0）．
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（2）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．
20．如图，已知斜三棱柱ABC一A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且BA1⊥AC1．
（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求二面角A﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．
21．（12分）设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有m+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求
实数m的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．
（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x﹣1）f（x）≥0．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（10分）已知某圆的极坐标方程是ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0
求：
（1）求圆的普通方程和一个参数方程；
（2）圆上所有点（x，y）中xy的最大值和最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|2x﹣m|+4x．
（I）当m=2时，解不等式：f（x）≤1；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤2的解集为{x|x≤﹣2}，求m的值．
青海省师大附中2019届高三上学期期中考试
数学理试卷参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．设集合A={ y|y=lg|x|}，B={x|y=}，则A∩B=（）
A．[0，1]B．（0，1）C．（﹣∞，1]D．[0，+∞]
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合．
【分析】求出A中y的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由A中y=lg|x|∈R，得到A=R，
由B中y=，得到1﹣x≥0，
解得：x≤1，即B=（﹣∞，1]，
则A∩B=（﹣∞，1]，
故选：C．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．已知a，b∈R，则“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数与对数函数的关系．
【专题】计算题．
【分析】根据对数函数的性质由“log3a＞log3b”可得a＞b＞0，然后根据指数函数的性质由“（）a＜（）b，可得a＞b，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．
【解答】解：∵a，b∈R，则“log3a＞log3b”
∴a＞b＞0，
∵“（）a＜（）b，
∴a＞b，
∴“log3a＞log3b”⇒“（）a＜（）b，
反之则不成立，
∴“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b的充分不必要条件，
故选A．
【点评】此题主要考查对数函数和指数函数的性质与其定义域，另外还考查了必要条件、充分条件和充要条件的定义．
3．若命题p：函数y=x2﹣2x的单调递增区间是[1，+∞），命题q：函数y=x﹣的单调递增区间是[1，+∞），
则（）
A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．非p是真命题 D．非q是真命题
【考点】复合命题的真假．
【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．
【分析】先判断命题p为真命题，q为假命题，再根据复合命题的真假性判断选项是否正确．
【解答】解：∵函数y=x2﹣2x的单调递增区间是[1，+∞），∴命题p为真命题；
∵函数y=x﹣的单调递增区间是（﹣∞，0）和（0，+∞），∴命题q为假命题；
∴p∧q是假命题，A错误；
p∨q是真命题，B错误；
非p是假命题，C错误；
非q是真命题，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了复合命题的真假性问题，是基础题目．
4．由直线x=﹣，x=，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）
A．B．1 C．D．
【考点】定积分在求面积中的应用．
【专题】计算题．
【分析】为了求得与x轴所围成的不规则的封闭图形的面积，可利用定积分求解，积分的上下限分别为与，cosx即为被积函数．
【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积
S=cosxdx==﹣（﹣）=，
所以围成的封闭图形的面积是．
故选D．
【点评】本小题主要考查定积分的简单应用、定积分、导数的应用等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想、考查数形结合思想，属于基础题．
5．方程log2x+x=2的解所在的区间为（）
A．（0.5，1）B．（1，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.5）
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】判断f（x）=log2x+x﹣2，在（0，+∞）上单调递增．根据函数的零点存在性定理得出：f（1）•f （1.5）＜0，可得出f（x）的零点在（1，1.5）区间内，即可得出答案．
【解答】解：设f（x）=log2x+x﹣2，在（0，+∞）上单调递增．
∵f（1）
=0+1﹣2=﹣1＜0，
f（1.5）=log21.5﹣0.5=log21.5﹣log2＞0
∴根据函数的零点存在性定理得出：f（x）的零点在（1，1.5）区间内
∴方程log2x+x=2的解所在的区间为（1，1.5）
故选：B．
【点评】本题考查了函数的单调性，函数零点的判断，方程解所在的区间，属于中档题，但是难度不大，常规题目．
6．（2008•福建）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）
A．B．C．或D．或
【考点】余弦定理的应用．
【专题】计算题．
【分析】通过余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形内，进而求出B．【解答】解：由
∴，即
∴，又在△中所以B为或
故选D
【点评】本题主要考查余弦定理及三角中的切化弦．很多人会考虑对于角B的取舍问题，而此题两种都可以，因为我们的过程是恒等变形．条件中也没有其它的限制条件，所以有的同学就多虑了．虽然此题没有涉及到取舍问题，但在平时的练习过程中一定要注意此点
7．（2013•湖北）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为（）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数
【考点】函数的周期性；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
【专题】计算题；新定义．
【分析】依题意，可求得f（x+1）=f（x），由函数的周期性可得答案．
【解答】解：∵f（x）=x﹣[x]，
∴f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=x+1﹣[x]﹣1=x﹣[x]=f（x），
∴f（x）=x﹣[x]在R上为周期是1的函数．
故选：D．
【点评】本题考查函数的周期性，理解题意，得到f（x+1）=f（x）是关键，属于基础题．
8．（2012•阳谷县校级模拟）若函数y=sinx+f（x）在[﹣，]内单调递增，则f（x）可以是（）
A．1 B．cosx C．sinx D．﹣cosx
【考点】正弦函数的单调性；余弦函数的单调性．
【专题】计算题．
【分析】A、C在[﹣，]内单调递增是不正确的；对于B，y=sinx+cosx，化简判断单调性即可判断正误；y=sinx﹣cosx=sin（x﹣），求解即可．
【解答】解：由题意可知A、C显然不满足题意，排除；对于B，y=sinx+cosx=sin（x+），在[﹣，
]内不是单调递增，所以不正确；
对于D：y=sinx﹣cosx=sin（x﹣），﹣≤x﹣≤，满足题意，所以f（x）可以是﹣cosx．
故选D
【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的单调性的应用，考查计算能力，常考题型．9．已知函数f（x）的图象向右平移a（a＞0）个单位后关于x=a+1对称，当x2＞x1＞1时，
[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0恒成立，设a=f（﹣），b=f（2），c=f（e），则a，b，c的大小关系为（）
A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c
【考点】不等关系与不等式；函数的图象与图象变化．
【专题】作图题．
【分析】由函数f（x）的图象向右平移a（a＞0）个单位后关于x=a+1对称，知f（x）的图象关于x=1对称，由此可得f（﹣）=f（），由x2＞x1＞1时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0恒成立，知f（x）在（1，+∞）上单调递减，根据1＜2＜＜e，可得结论．
【解答】解：∵函数f（x）的图象向右平移a（a＞0）个单位后关于x=a+1对称，
∴函数f（x）的图象关于x=1对称，则有f（x）=f（2﹣x），
∴f（﹣）=f[2﹣（﹣）]=f（），
由x2＞x1＞1时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0恒成立，知f（x）在（1，+∞）上单调递减，
又1＜2＜＜e，∴f（2）＞f（）＞f（e），即b＞a＞c，
故选D．
【点评】本题考查函数的图象与图象平移变换、函数的单调性及其应用，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．
10．（2016•陕西校级模拟）函数f（x）=﹣2sin2x+sin2x+1，给出下列四个命题：
①在区间[]上是减函数；
②直线x=是函数图象的一条对称轴；
③函数f（x）的图象可由函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到；
④若x∈[0，]，则f（x）的值域是[0，]．
其中，正确的命题的序号是（）
A．①②B．②③C．①④D．③④
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【专题】函数思想；分析法；三角函数的图像与性质．
【分析】将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数y=f（x）图象的单调区间、对称轴、平移、值域．
【解答】解：
①求函数的单调减区间：
∴，∴①正确；
②求函数的对称轴为：2x=∴∴②正确；
③由y=向左平移个单位后得到，∴③不正确；
④当时，∴∴
∴④不正确．
故正确的是①②，故选：A．
【点评】本题考查了三角函数图象和性质，属于易考题．
11．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x）且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）
A．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）
B．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）
C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）
D．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】常规题型；综合法；导数的概念及应用．
【分析】结合函数图形，对x分区间讨论f（x）与0大小关系，从而推导出f（x）在区间上的单调性即可；【解答】解：由图形推导可知：
当x＜﹣2时，y＞0，1﹣x＞0⇒f'（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增；
当﹣2＜x＜1时：y＜0，1﹣x＞0⇒f'（x）＜0，故f（x）在（﹣2，1）上单调递减；
当1＜x＜2时：y＞0，1﹣x＜0⇒f'（x）＜0，故f（x）在（1，2）上单调递减；
当x＞2时：y＜0，1﹣x＜0⇒f'（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上单调递增；
故函数f（x）在x=﹣2时取得极大值，在x=2时取得极小值；
故选：A．
【点评】本题主要考查了导函数与原函数图形的关系，以及数学结合与分析推理等知识点，属中等题．
12．（2015•新课标II）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【专题】创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f
（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．
【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，
∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，
即当x＞0时，g′（x）恒小于0，
∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，
又∵g（﹣x）====g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（﹣1）==0，
∴函数g（x）的图象性质类似如图：
数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0
⇔或，
⇔0＜x＜1或x＜﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上的一点，且
sinθ=﹣，则y=﹣8．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】三角函数的求值．
【分析】根据三角函数的第二定义，我们可得sinθ=（r表示点P到原点的距离），结合p（4，y）是角θ终边上的一点，且，我们可以构造出一个关于y的方程，解方程即可求出y值．
【解答】解：若P（4，y）是角θ终边上的一点，
则点P到原点的距离r=
则=，则y=﹣8
故答案为：﹣8
【点评】本题考查的知识点是任意角的三角函数的定义，其中根据三角函数的第二定义将已知条件转化为一个关于y的方程是解答本题的关键．
=．14．（2012•浦东新区二模）在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则S
△ABC
【考点】正弦定理的应用．
【专题】解三角形．
【分析】由正弦定理求出sinB的值，可得B的值，再由三角形的内角和公式求出A的值，再由
=，
S
△ABC
运算求得结果．
【解答】解：由于在△ABC中，若b=1，，，由正弦定理可得=，∴sinB=．
再由大边对大角可得B=＜A，∴A=π﹣B﹣C=．
==，
∴则S
△ABC
故答案为．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，大边对大角，属于中档题．
15．设函数f（x）=n2x2（1﹣x）n（n为正整数），则f（x）在[0，1]上的最大值为．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】计算题．
【分析】对函数求导，令导数f′（x）=0，解得x的值，分析导函数的符号，确定函数在点x=取极大值，即函数的最大值，代入函数解析式即可求得结果．
【解答】解：f′（x）=2n2x（1﹣x）n﹣n×n2x2（1﹣x）n﹣1
=n2x（1﹣x）n﹣1（2﹣2x﹣nx）=﹣n2x（1﹣x）n﹣1[（n+2）x﹣2]=0
得x=0，或x=1，或x=
f（x）在[0，1]上是x的变化情况如下：
∴f（x）在[0，1]上的最大值为
故答案为：
【点评】此题考查利用函数的导数研究函数的最值问题，注意导数的运算法则的应用是正确解题的关键，考查运算能力，属中档题．
16．设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出以下四个命题：①当c=0时，有f（﹣x）=﹣f（x）成立②当b=0，c ＞0时，方程f（x）=0，只有一个实数根③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称④当x＞0时；函数f（x）=x|x|+bx+c，f（x）的最小值是c﹣．其中正确的命题的序号是①②③．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用．
【分析】分不同情况画出函数图象，利用图象即可解答．
【解答】解：对于①，当c=0时，函数f（x）=x|x|+bx是奇函数，故①正确；
对于②，当b=0，c＞0时，f（x）=x|x|+c，画出f（x）=x|x+c的图象，图象与横轴只有一个交点，方程f （x）=0，只有一个实数根，故②正确；
对于③，∵f（x）+f（﹣x）=2c，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称，故③正确；
对于④，当x＞0时；函数f（x）=x2+bx+c，f（x）的最小值有无要b而定，故④错﹣
故答案：①②③
【点评】本题考查了分段函数的图象及性质，属于中档题．
三、解答题（17--21题每小题12分，选做题10分）
17．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）（x∈R）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣f（x+），且tanα=，求g（α）的值．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换及化简求值．
【专题】计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（Ⅰ）通过函数的图象求出振幅和周期，求出ω，利用特殊点求解φ，即可求解f（x）的解析式；（Ⅱ）利用，求出表达式，转化g（α）为tanα的形式，然后求解g（α）的值．【解答】解：（Ⅰ）由图象可得A=1，，T=π，ω==2．
又图象经过（，0），∴sin（）=1，
∵|φ|＜，∴φ=，
所以f（x）的解析式f（x）=sin（2x+）；
（Ⅱ）设=sin（2x+）+sin（2x﹣）=2sin2x，
所以g（α）=2sin2α==，
∵，
所以g（α）==．
【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的值的求法，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．
18．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），
（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20
根据平均数值公式求解即可．
（2）X～B（3，），根据二项分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=，P（X=3），列出分布列，
求解数学期望即可．
【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1
解得a=0.03；
又由最高矩形中点的横坐标为20，
可估计盒子中小球重量的众数约为20，
而50个样本小球重量的平均值为：
=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）
故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．
（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；
则X～B（3，），
X=0，1，2，3；
P（X=0）=×（）3=；
P（X=1）=×（）2×=；
P（X=2）=×（）×（）2=；
P（X=3）=×（）3=，
即E（X）=0×=．
【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力
19．（12分）已知函数f（x）=+alnx﹣2（a＞0）．
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（2）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．
【专题】综合题．
【分析】（I）先求出函数f（x）的定义域和导函数f′（x），再由f′（1）=﹣1求出a的值，代入f′（x），由f′（x）＞0和f′（x）＜0进行求解，即判断出函数的单调区间；
（II）由（I）和题意求出g（x）的解析式，求出g′（x），由g′（x）＞0和g′（x）＜0进行求解，即判断出函数的单调区间，再由条件和函数零点的几何意义列出不等式组，求出b的范围．
【解答】解：（I）由题意得，f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f′（x）=，∴f′（1）=﹣2+a，
∵直线y=x+2的斜率为1，∴﹣2+a=﹣1，解得a=1，
所以f（x）=，∴f′（x）=，
由f′（x）＞0解得x＞2；由f′（x）＜0解得0＜x＜2．
∴f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）
（II）依题得g（x）=，则=．
由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1．
∴函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又∵函数g（x）在区间[，e]上有两个零点，∴，
解得1＜b≤，∴b的取值范围是（1，]．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及几何意义、函数零点等基础知识，注意求出函数的定义域，考查计算能力和分析问题的能力．
20．如图，已知斜三棱柱ABC一A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且BA1⊥AC1．
（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求二面角A﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【专题】证明题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】（1）推导出BC⊥AC，BC⊥AC1，BA1⊥AC1，由此能证明AC1⊥平面A1BC．
（2）推导出平面A1AB⊥平面BCF，过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A1AB，求出CH=，过H作
HG⊥A1B于G，连CG，则CG⊥A1B，从而∠CGH为二面角A﹣A1B﹣C的平面角，由此能求出二面角A ﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．
【解答】证明：（1）因为A1D⊥平面ABC，
所以，平面AA1C1C⊥平面ABC，
又BC⊥AC，
所以，BC⊥平面AA1C1C，得BC⊥AC1，
又BA1⊥AC1，
所以，AC1⊥平面A1BC．
解：（2）因为AC1⊥A1C，所以四边形AA1C1C为菱形，故AA1=AC=2，
又D为AC中点，知∠A1AC=60°，
取AA1的中点F，则AA1⊥平面BCF，
从而，平面A1AB⊥平面BCF，
过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A1AB，
在Rt△BCF，BC=2，CF=，故CH=，
过H作HG⊥A1B于G，连CG，则CG⊥A1B，
从而∠CGH为二面角A﹣A1B﹣C的平面角，
在Rt△A1BC中，A1C=BC=2，所以，CG=，
在Rt△CGH中，sin∠CGH=，
cosCGH==．
故二面角A﹣A1B﹣C的平面角的余弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
21．（12分）设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有m+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求
实数m的取值范围．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）确定函数的定义域，利用导数的正负，确定函数的单调性，从而可求函数的极值；
（Ⅱ）求导函数f′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（3，4）时，f（x）在[1，2]上单调递减，从而可得
对任意a∈（3，4），恒有，等价于m＞，求出右边函数的值域，即可求得结论．
【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）
当a=1时，f（x）=x﹣lnx，则f′（x）=
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；
∴x=1时，函数f（x）取得极小值为1；
（Ⅱ）f′（x）=
当，即a=2时，，f（x）在（0，+∞）上是减函数；
当，即a＞2时，令f′（x）＜0，得或x＞1；令f′（x）＞0，得
当，即1＜a＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＞；令f′（x）＞0，得
综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；
当a＞2时，f（x）在（0，）和（1，+∞）上单调递减，在（，1）上单调递增；
当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和（，+∞）上单调递减，在（1，）上单调递增；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（3，4）时，f（x）在[1，2]上单调递减
∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值
∴
∴对任意a∈（3，4），恒有
∴m＞
构造函数，则
∵a∈（3，4），∴
∴函数在（3，4）上单调增
∴g（a）∈（0，）
∴m≥．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，分离参数是关键．
22．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．
（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x﹣1）f（x）≥0．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得，从而xf′（x）
≤x2+ax+1可转化为lnx﹣x≤a，令g（x）=lnx﹣x，求出函数的最值，即可求得a的取值范围；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=﹣1，即lnx﹣x+1≤0，可证0＜x＜1时，f（x）≤0；x≥1时，f（x）≥0，从而可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得，…（2分）
∴xf′（x）=xlnx+1，
题设xf′（x）≤x2+ax+1等价于lnx﹣x≤a，
令g（x）=lnx﹣x，则g′（x）=．…（4分）
当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x≥1时，g′（x）≤0，
∴x=1是g（x）的最大值点，
∴g（x）≤g（1）=﹣1．…（6分）
综上，a的取值范围是[﹣1，+∞）．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=﹣1，即lnx﹣x+1≤0；
当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x+1=xlnx+（lnx﹣x+1）≤0；…（10分）
当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）=lnx+x（lnx+﹣1）≥0
所以（x﹣1）f（x）≥0…（13分）
【点评】本题考查导数知识的运用，考查分离参数法求参数的范围，考查不等式的证明，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（10分）（2014•西藏一模）已知某圆的极坐标方程是ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0
求：
（1）求圆的普通方程和一个参数方程；
（2）圆上所有点（x，y）中xy的最大值和最小值．
【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
【专题】直线与圆．
【分析】（1）圆的极坐标方程是，化为直角坐标方程即x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，
从而进一步得到其参数方程．
（2）因为xy=（2+cosθ）（2+sinθ）=4+2（sinθ+cosθ）+2sinθcosθ，再令sinθ+cosθ=t∈[﹣，]，则xy=t2+2t+3，根据二次函数的最值，求得其最大值和最小值．
【解答】解：（1）普通方程：x2+y2﹣4x﹣4y+6=0…（2分）；
参数方程：（θ为参数）…（4分）
（2）xy=（2+cosθ）（2+sinθ）=4+2（sinθ+cosθ）+2sinθcosθ…
令sinθ+cosθ=t∈[﹣，]，2sinθcosθ=t2﹣1
，则xy=t2+2t+3…（6分）
当t=﹣时，最小值是1；…（8分）
当t=时，最大值是9；…（10分）
【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，两角和的正弦公式，圆的参数方程，得到圆的参数方程，是解题的关键．
[选修4-5：不等式选讲]
24．（2012•顺河区校级一模）设函数f（x）=|2x﹣m|+4x．
（I）当m=2时，解不等式：f（x）≤1；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤2的解集为{x|x≤﹣2}，求m的值．
【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式的解法．
【专题】计算题；不等式的解法及应用．
【分析】（I）当m=2时，函数f（x）=|2x﹣2|+4x，由不等式f（x）≤1 可得①，或②，分别求出①②的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由f（x）=，可得连续函数f（x）在R上是增函数，故有f（﹣2）=2，分当≥﹣2和当＜﹣2两种情况，分别求出m的值，即为所求．
【解答】解：（I）当m=2时，函数f（x）=|2x﹣2|+4x，由不等式f（x）≤1 可得①，或②．
解①可得x∈∅，解②可得x≤﹣，故不等式的解集为{x|x≤﹣}．
（Ⅱ）∵f（x）=，连续函数f（x）在R上是增函数，由于f（x）≤2的解集为{x|x
≤﹣2}，
故f（﹣2）=2，当≥﹣2时，有2×（﹣2）+m=2，解得m=6．
当＜﹣2时，则有6×（﹣2）﹣m=2，解得m=﹣14．
综上可得，当m=6或m=﹣14 时，f（x）≤2的解集为{x|x≤﹣2}．
【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。