中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 微专题(二) 全等三角形辅助线作法

在△APC 与△APD 中，
∠1＝∠2，
∠C＝∠D＝40°，
AP＝AP，
∴△APC≌△APD(AAS)， ∴AC＝AD. 即 AQ＋QC＝AB＋BD， ∴BQ＋AQ＝AB＋BP.
类型二：作平行线(平移) 当三角形问题中有相等的角或等腰等条件时，可通过作平行线将相
等的角转换到某一个三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，从而 为证明全等提供条件．
类型三：补全图形 在一些求证三角形问题中，延长某两条线段(边)相交，构成一个封
闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决．
3．如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，BD 为∠ABC 的平分线，若 A 点到直线 BD 的距离 AD 为 2，求 BE 的长．
解：延长 AD，BC 相交于点 F. ∵BD 为∠ABC 的平分线，BD⊥AF， ∴∠ABD＝∠FBD，∠ADB＝∠FDB.又 BD＝BD，
证明：延长 AB 到 D，使 BD＝BP，连接 PD.则∠D＝∠5. ∵AP，BQ 分别是∠BAC，∠ABC 的平分线， 且∠BAC＝60°，∠C＝40°， ∴∠1＝∠2＝30°，∠ABC＝180°－60°－40°＝80°， ∴∠3＝∠4＝40°＝∠C. ∴QB＝QC， 又∠D＋∠5＝∠3＋∠4＝80°，∴∠D＝40°.
类型一：截长补短 一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一
直线上时，通常可以考虑用截长补短的方法，或在长线段上截取一．
1．如图，在△ABC 中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，P，Q 分别在 BC，CA 上，并且 AP，BQ 分别是∠BAC，∠ABC 的平分线．求证：BQ＋AQ＝AB＋BP.
2．如图，在等腰△ABC 中，AB＝AC，在 AB 上截取 BD，在 AC 延长线上截 取 CE，且使 CE＝BD，连接 DE 交 BC 于点 F，求证：DF＝EF.
证明：作 DH∥AE 交 BC 于点 H. ∴∠DHB＝∠ACB.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB. ∴∠DHB＝∠B，∴DH＝BD. ∵CE＝BD，∴DH＝CE. ∵DH∥AE，∴∠HDF＝∠E，∠DFH＝∠EFC.∴△DFH≌△EFC(AAS)， ∴DF＝EF.
微专题(二) 全等三角形 辅助线作法
全等三角形辅助线作法口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线． 也可将图对折看，对称以后关系现． 角平分线平行线，等腰三角形来添． 角平分线加垂线，三线合一试试看． 线段垂直平分线，常向两端把线连． 要证线段倍与半，延长缩短可试验． 三角形中两中点，连接则成中位线． 三角形中有中线，延长中线等中线．
∴△ADB≌△FDB(ASA)． ∴FD＝AD＝2，AF＝4，∠F＝∠BAD.
又∠BAD＋∠ABD＝90°，∠F＋∠FAC＝90°， ∴∠ABD＝∠FAC，∴∠FAC＝∠CBE，
而∠ECB＝∠ACF＝90°，AC＝BC， ∴△ACF≌△BCE(ASA)，∴BE＝AF＝4.
类型四：倍长中线(见“方法技巧突破二”模型四) 类型五：利用角平分线作对称轴构造全等三角形(见“方法技巧突破三” 模型四) 类型六：自旋转型(见“方法技巧突破四”模型五)