高考数学一轮复习 第七章 数列 7.5.2 数列与函数、不等式的综合问题课件

12/11/2021
命题角度2 比较大小 【典例】数列{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且a6=b7, 则有 ( ) A.a3+a9≤b4+b10 B.a3+a9≥b4+b10 C.a3+a9≠b4+b10 D.a3+a9与b4+b10的大小不确定
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【解析】选B.因为a3+a9≥2 a3a9 2 a62 =2a6=2b7=b4+b10,当且仅当a3=a9 时取等号.
A.2 3
B.89
C.6
D.3
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【解析】1.选D.由S7=S17,依据二次函数对称性知当n=12时,Sn最小.
2.选C.因为{an}是正项等比数列,且 为3 a6与a14的等比中项,
所以a6a14=3=a3a17,
则a3+3a17=a3+33· 2
a3
3 a3 3 a3
6，
当且仅当a3=3时,等号成立,
Sn S1
所以Sn=2 1 n .将Sn= 2 1 n 代入an=-2Sn·Sn-1,
1
得an=
2
2 12/11/2021
( n
n
1
2
1 n
）, (
2
n
2）
(2)因为 S 2 n 4 1 n 2 4 n (n 1 1 ） 1 4 (n 1 1 1 n )(n 2 ） ，
S
2 1
1所，以当n≥2时,
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【解后反思】 本题利用均值不等式比较两个式子的大小,恰到好处.利用均值不等式 a b ab
2
时一定要满足其成立的三个条件分别是什么? 提示:(1)a,b均为正数.(2)a,b的和或积必须有一个为定值.(3)a=b时等号成立.
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命题角度3 求取值范围问题
【典例】设数列{an}的通项公式为an=2n-1,记数列
所以a3+3a17的最小值为6.
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【解后反思】 求等差数列前n项和的最值常用的方法有哪些? 提示:(1)利用等差数列的单调性,求出最值; (2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值; (3)将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据二次函 数的性质求最值.
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【变式训练】
已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(1)证明:
{a n
1} 2
是等比数列,并求{an}的通项公式.
(2)证明: 1＋1＋＋1 3.
a1 a2
an 2
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【解析】(1)由an+1=3an+1得an+11+
2
3(an
1 2
).
又a1+1 3,所以
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考点三 数列与函数、不等式的综合应用
命 题 精 解 读
考什么:(1)考查求最值、比较大小、求取值范围等问题. (2)考查数学运算、逻辑推理的核心素养及 函数与方程、转化与化归 等思想方法. 怎么考:以数列为载体,考查利用函数的性质、图象或不等式的性质进 行放缩、比较大小、求范围或最值、证明结论等. 新趋势:与函数、不等式综合问题的考查
即
a
Sn=
a
n=3,所以数列{an}是首项a1=2,公比q=3的等比数列,其前n项和
n 1
2 (1
3=n ）3n-1.
1 3
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3.因为|f(x)|=2,所以 x =kπ+ ,k ∈Z,x=2k+1,k∈Z.
2
2
又因为x>0,所以an=2n-1(n∈N*).
答案:an=2n-1(n∈N*)
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【秒杀绝招】
特例法解T2:由题意(
a0上,所以
a
2 2
-9
a
2 1
=0,因为a1=2,易得
a2=6,所以S2=8.验证四个选项可排除BCD.
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考点二 数列与不等式的综合 【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1= 1 ,an=-2·Sn·Sn-1(n≥2).
41 3
答案: 1 6(4n-1) 12/11/2021 3
【思维多变】
1.将题2改为已知函数f(x)=xα的图象过点(4,2),令an=
f
(n
1 1）
f
(n）,
n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn,则S2 021等于 ( )
A. 2 020 -1
B. 2 021 -1
C. 2 022-1
D.2 5 0 5 +1
1.求最值(或取值范围)问题的解题思路
学 霸 好 方 法
先构造数列对应的函数y=f(x),x∈(0,+∞).再由以下方法求最值: (1)利用函数的单调性 (2)利用均值不等式 (3)利用导数 注意是在正整数内讨论的. 2.交汇问题
12/11/2与021 函数、不等式交汇时,依据函数或不等式的性质求解.
2
排成一列,得到数列{an},n∈N*.数列{an}的通项公式为________. 世纪金榜导学 号 4.已知函数f(x)=log2x,若数列{an}的各项使得2,f(a1),f(a2),…,f(an),2n+4成 等差数列,则数列{an}的前n项和Sn=________. 世纪金榜导学号
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所以 64a1 2qmn2,整a理1 2 ,得m+n=8,
所以 9 1 1 ( m n ） ( 9 1 ） 1 ( 1 0 m 9 n ) 1 ( 1 0 2 m 9 n ) 2 ，
m n 8 m n8 nm 8 n m
当且仅当 m 时9 n取等号,此时m,n∈N*,又m+n=8,所以只有当m=6,n=2时,
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4.设等差数列的公差为d,
则由题意,得2n+4=2+(n+1)d,
解得d=2,
于是log2a1=4,log2a2=6,log2a3=8,…,
从而a1=24,a2=26,a3=28,….
易知数列{an}是等比数列,其公比q=
a a
2 1
=4,
所以Sn=
24
(4n 1）(41n6-1).
所以Tn= 1 2 ( 1 1 3 1 3 1 5 2 n 1 1 2 n 1 1 ) 1 2 ( 1 2 n 1 1 ) 1 2 , 又4Tn<a2-a, 所以2≤a2-a,解得a≤-1或a≥2, 即实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[2,+∞). 答案:(-∞,-1]∪[2,+∞)
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2.数列{an}的通项an= n(cos2nsin2n)，其前n项和为Sn,则S40为( )
4
4
A.10
B.15
C.20
D.25
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【解析】选C.由题意得,an=
n(cos2
nsin2 4
n) 4
=ncosn ,
2
则a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,…,
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2.在各项都为正数的数列{an}中,首项a1=2,且点( a2n，an21 )在直线x-9y=0上,
则数列{an}的前n项和Sn等于 ( )
A.3n-1
C. 1 3 n
2
B. 1 ( 3 ）n
2
D. 3 n 2 n
2
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3.已知f(x)=2sin x,集合M={x||f(x)|=2,x>0},把M中的元素从小到大依次
2
(1)求数列{an}的通项公式an. (2)求证: S1 2＋ S2 2＋ ＋ S2 n1 241n.
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【解题导思】
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【解析】(1)因为an=-2Sn·Sn-1(n≥2),
所以Sn-Sn-1=-2Sn·Sn-1.
两所所边 以 以同 数1 除 列 以+{1 S(1Snn是n} -·1以)S·n-d1S,1=得1 =2 2S+a11n为12(首nS=1n-项211 (),n=以≥2dn2=,),2为公差的等差数列,
于是a2n-1=0,a2n=(-1)n·2n,
则S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+a6+…+a40)
=-2+4-…+40=20.
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【规律方法】 数列与函数综合问题的主要类型及求解策略 (1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象研究数 列问题. (2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要利用数列的通项公式、 前n项和公式、求和方法等对式子化简变形. 注意数列与函数的不同,数列只能看作是自变量为正整数的一类函数,在解决问 题时要注意这一特殊性.
第二课时 数列与函数、 不等式的综合问题
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内容索引
核心考点·精准研析 核心素养测评
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考点一 数列与函数的综合
【题组练透】
1.设{an}是等比数列,函数y=x2-x-2 021的两个零点是a2,a3,则a1a4 等于 ( )
A.2 021
B.1
C.-1
D.-2 021
命题角度1 求最值问题
【典例】1.在等差数列{an}中,若a1<0,Sn为其前n项和且S7=S17,则Sn最小时的n的 值为 ( )
A.12或13
B.11或12
C.11
D.12
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2.在正项等比数列{an}中, 3 为a6与a14的等比中项,则a3+3a17的最小值为 世纪 金榜导学号( )
22
{ a n是 首12 } 项为
,公比3 为3的等比数列.所以an+
2
1 3n ， 22
因此{an}的通项公式为an=3 n 1 .
2
(2)由(1)知
1 an
.因2 为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以
3n 1
1
1
3n 1 23n1 .
于是 a 1 1 a 1 2 ＋ ＋ a 1 n 1 ＋ 1 3 ＋ ＋ 3 1 n 1 2 3 ( 1 3 1 n ) 3 2 . 所 以 a 1 1 ＋ a 1 2 ＋ ＋ a 1 n 3 2 .
【解析】1.选D.由题意a2,a3是x2-x-2 021=0的两根.
由根与系数的关系得a2a3=-2 021.
又a1a4=a2a3,所以a1a4=-2 021.
2.选A.由点( a2n，)a在n21直线x-9y=0上,得
-9a
2 n
=0a 2n,即1 (an+3an-1)(an-
3an-1)=0,又数列{an}各项均为正数,且a1=2,所以an+3an-1>0,所以an-3an-1=0,
{
a
n
1 an
＋
1
}
的前n项和为Tn,若对
任意的n∈N*,不等式4Tn<a2-a恒成立,则实数a的取值范围为________.
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【解析】因为an=2n-1, 所以 1 1 1 ( 11),
a n a n ＋ 1 (2 n 1 ） (2 n 1 ） 22 n 12 n 1
4
S1 2＋ S2 2＋ ＋ S2 n
1 ＋ 1 ＋ ＋ 1 1 ＋ 1 ( 1 1 ) ＋ ＋ 1 ( 1 1 ) 1 1 ； 4 4 2 24 n n 4 4 2 4 n 1 n 2 4 n
当n=1时,S12
1 4
1 1 . 2 41
综上, S1 2＋ S2 2＋ ＋ S2 n1 241n.
nm
9 取1 得最小值是2.
mn
答案:2
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2.已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn+3)(n∈N*)在函数y=3×2x的图象上,等
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【题组通关】 【变式巩固·练】 1.已知正项等比数列{an}满足2a5+a4=a3,若存在两项am,an,使得8 a m a n =a1, 则 9 1 的最小值为________.
mn
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【解析】因为正项等比数列{an}满足2a5+a4=a3,
所以2a1q4+a1q3=a1q2,整理,得2q2+q-1=0,又q>0,解得12 ,q= , 因为存在两项am,an使得8 a m a=n a1,
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【解析】选C.由f(4)=2可得4α=2,解得α= 1 ,
2
则f(x)= x .12所以an=
1 1 n 1 n , f(n 1 ） f(n ） n 1 n
S2 021=a1+a2+a3+…+a2 0(212 =1 ） (3 2 ） (4 3 ）
( 2 0 2 1 2 0 2 0 ） ( 2 0 2 2 2 0 2 1 ） 2 0 2 2 1 .
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【规律方法】数列与不等式的综合问题 (1)判断数列问题的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小或借助数列 对应的函数的单调性比较大小. (2)以数列为载体,考查不等式恒成立的问题,此类问题可转化为函数的最值. (3)考查与数列有关的不等式证明问题,此类问题一般采用放缩法进行证明,有 时也可通过构造函数进行证明.