2023-2024学年河北省石家庄四中高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年河北省石家庄四中高二（上）期中数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．椭圆x 216+y 225=1的长轴长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．10
D ．8 2．数列√3，3，√15，√21，3√3，…，则9是这个数列的第（ ）
A ．12项
B ．13项
C ．14项
D ．15项 3．已知数列{a n }的通项公式是a n =n 3n+1，那么这个数列是（ ）
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．摆动数列
D ．常数列 4．已知双曲线
x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线经过点(√2，√6)，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．√2 C ．3 D ．√3
5．在等差数列{a n }中，若a 2+a 4+a 6+a 8+a 10＝80，则a 6的值为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．16
6．已知A 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝（ ）
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
7．在等比数列{a n }中，a 1+a 2＝10，a 3+a 4＝60，则a 7+a 8＝（ ）
A ．110
B ．160
C ．360
D ．2160
8．我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为（ ）
A ．184斤
B ．176斤
C ．65斤
D ．60斤
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得9分
9．若方程x 23−t +y 2t−1=1所表示的曲线为C ，则下面四个命题中错误的是（ ）
A ．若C 为椭圆，则1＜t ＜3
B ．若
C 为双曲线，则t ＞3或t ＜1 C ．曲线C 可能是圆
D ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则1＜t ＜2
10．下列四个命题中，正确的有（ ）
A ．数列{n+1n }的第k 项为1+1k
B ．已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2−n −50，n ∈N ∗，则﹣8是该数列的第7项
C ．数列3，5，9，17，33…的一个通项公式为a n =2n −1
D ．数列{a n }的通项公式为a n =n n+1
，n ∈N ∗，则数列{a n }是递增数列 11．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论正确的是（ ）
A ．d ＜0
B ．S 6与S 7是S n 的最大值
C ．S 9＞S 5
D ．a 7＝0 12．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线的斜率为√3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A ，B 两点（点A 在第一象限）、与抛物线的准线交于点D ，若|AF |＝4，则以下结论正确的是（ ）
A ．p ＝2
B ．F 为AD 中点
C ．|B
D |＝2|BF | D ．|BF |＝2
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分） 13．√5−1与√5+1的等比中项是 ．
14．已知双曲线E 与双曲线x 24−y 29=1共渐近线且经过点P （2，3√5），则双曲线E 的标准方程为 ，
顶点坐标为 ．
15．已知数列{a n }中，a 1a 2⋯a n =n 2(n ∈N ∗)，则a 9＝ ．
16．设点P 为椭圆C ：x 2a 2+y 24=1(a ＞2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）在数列{a n }中，a n ＝﹣2n 2+9n +3．
（1）﹣107是不是该数列中的某一项？若是，其为几项？
（2）求数列中的最大项．
18．（12分）在等差数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设T n ＝|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |，求T 10．
19．（12分）已知抛物线C 顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点(5，−2√5)，一条斜率为√3的直线过抛物线C 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，
（1）求抛物线方程；
（2）求弦|AB |的长度．
20．（12分）已知椭圆L ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，短轴长为2． （1）求椭圆L 的标准方程；
（2）过椭圆内一点P(1，12)引一条弦，使弦被点P 平分．求此弦所在的直线方程．
21．（12分）S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =12n 2+12n ；
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若b n =2a n −5a n ，求数列{b n }中最小的项．
22．（12分）已知双曲线x 2
a 2−y 2
b 2=1(a ＞0，b ＞0)的实轴长等于2，离心率e ＝2，
（1）求双曲线方程；
（2）过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点，判断k 1•k 2是否为定值？若是，求出定值．若不是，请说明理由．
2023-2024学年河北省石家庄四中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．椭圆x 216+y
225=1的长轴长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．10
D ．8
解：由已知可得椭圆是焦点在y 轴，所以a 2＝25，即a ＝5，所以椭圆的长轴长为2a ＝10， 故选：C ．
2．数列√3，3，√15，√21，3√3，…，则9是这个数列的第（ ）
A ．12项
B ．13项
C ．14项
D ．15项
解：数列√3，3，√15，√21，3√3，…，
可化为：数列√3，√9，√15，√21，√27，…，
则数列的通项公式为：a n =√6n −3
当a n =√6n −3=9时，
6n ﹣3＝81解得：n ＝14，故9是这个数列的第14项
故选：C ．
3．已知数列{a n }的通项公式是a n =n 3n+1，那么这个数列是（ ）
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．摆动数列
D ．常数列
解：a n +1﹣a n =n+13n+4−n 3n+1=1(3n+4)(3n+1)＞0，
∴a n +1＞a n ．
a n ＞0．
数列是递增数列．
故选：A ．
4．已知双曲线x 2a 2−y 2
b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线经过点(√2，√6)，则该双曲线的离心率为（
）
A ．2
B ．√2
C ．3
D ．√3
解：双曲线x
2a 2−y 2
b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y ＝±b a x ，
由题意可得√2b a =√6，即b =√3a ，
即有双曲线的e=c
a
=√1+
b2
a2
=√1+3=2．
故选：A．
5．在等差数列{a n}中，若a2+a4+a6+a8+a10＝80，则a6的值为（）
A．4B．6C．8D．16
解：∵等差数列{a n}中，若a2+a4+a6+a8+a10＝80，
∵a2+a10＝2a6，
a4+a8＝2a6，
∴5a6＝80
∴a6＝16
故选：D．
6．已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p ＝（）
A．2B．3C．6D．9
解：A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，
故有：9+p
2
=12⇒p＝6；
故选：C．
7．在等比数列{a n}中，a1+a2＝10，a3+a4＝60，则a7+a8＝（）
A．110B．160C．360D．2160
解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2＝10，a3+a4＝60，
∴q2（a1+a2）＝10q2＝60，解得：q2＝6．
则a7+a8＝q6（a1+a2）＝10×63＝2160．
故选：D．
8．我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为（）
A．184斤B．176斤C．65斤D．60斤
解：依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，
设该等差数列为{a n }，公差为d ，前n 项和为S n ，第一个孩子所得棉花斤数为a 1，
则由题意得，d =17，S 8=8a 1+
8×72
×17=996，解得a 1＝65， ∴a 8＝a 1+（8﹣1）d ＝184．
故选：A ．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得9分
9．若方程x 23−t +y 2t−1=1所表示的曲线为C ，则下面四个命题中错误的是（ ）
A ．若C 为椭圆，则1＜t ＜3
B ．若
C 为双曲线，则t ＞3或t ＜1 C ．曲线C 可能是圆
D ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则1＜t ＜2 解：方程
x 23−t +y 2t−1=1所表示的曲线为C ，则当t ＝2时，方程表示圆，所以C 是真命题；A 是假命
题； 若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则2＜t ＜3，所以D 是假命题；
若C 为双曲线，可得（3﹣t ）（t ﹣1）＜0解得t ＞3或t ＜1，所以B 是真命题；
故选：AD ．
10．下列四个命题中，正确的有（ ）
A ．数列{n+1n }的第k 项为1+1k
B ．已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2−n −50，n ∈N ∗，则﹣8是该数列的第7项
C ．数列3，5，9，17，33…的一个通项公式为a n =2n −1
D ．数列{a n }的通项公式为a n =n n+1，n ∈N ∗，则数列{a n }是递增数列
解：对于A ，数列{n+1n }的第k 出项为1+1k ，故A 正确； 对于B ，令n 2﹣n ﹣50＝﹣8，得n ＝7或n ＝﹣6（舍去），故B 正确；
对于C ，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，
设该数列为{b n }，则其通项公式为b n =2n (n ∈N ∗)，
因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为a n =b n +1=2n +1(n ∈N ∗)，故C 错误； 对于D ，a n =n n+1=1−1n+1，则a n+1−a n =1n+1−1n+2=1(n+1)(n+2)＞0，
因此数列{a n }是递增数列，故D 正确．
故选：ABD ．
11．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论正确的是（ ）
A ．d ＜0
B ．S 6与S 7是S n 的最大值
C ．S 9＞S 5
D ．a 7＝0 解：设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，
则由S 5＜S 6得a 1+a 2+a 3+…+a 5＜a 1+a 2+…+a 5+a 6，即a 6＞0，
又∵S 6＝S 7，∴a 1+a 2+…+a 6＝a 1+a 2+…+a 6+a 7，
∴a 7＝0，故D 正确；
同理由S 7＞S 8，得a 8＜0，∵d ＝a 7﹣a 6＜0，故A 正确；
而C 选项S 9＞S 5，即a 6+a 7+a 8+a 9＞0，可得2（a 7+a 8）＞0，由结论a 7＝0，a 8＜0，显然C 是错误的． ∵S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，∴S 6与S 7均为S n 的最大值，故B 正确；
故选：ABD ．
12．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线的斜率为√3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A ，B 两点（点A 在第一象限）、与抛物线的准线交于点D ，若|AF |＝4，则以下结论正确的是（ ）
A ．p ＝2
B ．F 为AD 中点
C ．|B
D |＝2|BF | D ．|BF |＝2
解：如图，
F （p 2，0），直线l 的斜率为√3，则直线方程为y =√3(x −p 2)， 联立{y 2=2px y =√3(x −p 2
)，得12x 2﹣20px +3p 2＝0．解得：x A =32p ，x B =16p ， 由|AF |=32p +p 2
=2p =4，得p ＝2． ∴抛物线方程为y 2＝4x ．
x B =16p =13，则|BF |=
13+1=43； |BD |=|BF|cos60°=4312=83，∴|BD |＝2|BF |，
|BD |+|BF |=43+83
=4，则F 为AD 中点． ∴运算结论正确的是A ，B ，C ．
故选：ABC ．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分） 13．√5−1与√5+1的等比中项是 ﹣2或2 ．
解：令√5−1与√5+1的等比中项是m ，则m 2=(√5−1)(√5+1)=4，故m ＝±2．
故答案为：﹣2或2．
14．已知双曲线E 与双曲线
x 24−y 29=1共渐近线且经过点P （2，3√5），则双曲线E 的标准方程为 y 236−x 216=1 ，顶点坐标为 （0，±6） ．
解：根据题意，要求双曲线与双曲线
x 24−y 29=1共渐近线， 设要求双曲线的方程为双曲线x 24−y 29=λ，（λ≠0）
又由双曲线经过点P （2，3√5），则有44−
459=λ，即λ＝﹣4， 即双曲线的方程为x 24−y 29=−4，其标准方程为：y 236−x 216=1；
顶点坐标为：（0，±6）
故答案为：y 236−x 216=1；（0，±6）．
15．已知数列{a n }中，a 1a 2⋯a n =n 2(n ∈N ∗)，则a 9＝
8164 ． 解：当n ＝8时，有a 1•a 2•...•a 8＝64 ①，
当n ＝9时，有a 1•a 2•...•a 9＝81 ②，
由①÷②，可得a 9=8164．
故答案为：8164
16．设点P 为椭圆C ：x 2a 2+y 24=1(a ＞2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为 4√33
． 解：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，
根据椭圆的定义可得，m +n ＝2a ，
在△PF 1F 2中，设|F 1F 2|＝2c ，
由余弦定理可得，4c 2=m 2+n 2−2mncos∠F 1PF 2=m 2+n 2−mn =(m +n)2−3mn ，
所以4c 2=m 2+n 2−2mncos∠F 1PF 2=m 2+n 2−mn =4a 2−3mn ，
所以3mn ＝4a 2﹣4c 2＝4b 2，
所以mn =163，
所以S △PF 1F 2=12mnsin∠F 1PF 2=4√33．
故答案为：4√33．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）在数列{a n }中，a n ＝﹣2n 2+9n +3．
（1）﹣107是不是该数列中的某一项？若是，其为几项？
（2）求数列中的最大项．
解：（1）假设﹣107＝a n ＝﹣2n 2+9n +3，
化为2n 2﹣9n ﹣110＝0，解得n ＝10 （−112舍）．
∴﹣107是该数列中的第10项．
（2）a n ＝﹣2（n −94）2+1058，
∴当n ＝2时，a n 取得最大值13．
即该数列的最大项是第2项，为13．
18．（12分）在等差数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设T n ＝|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |，求T 10．
解：（1）设差数列{a n }的公差为d ，
则有{a 1=8a 1+3d =2
，解得d ＝﹣2， 所以a n ＝8﹣2（n ﹣1）＝﹣2n +10．
（2）因为n ≤5时，a n ≥0；n ≥6时，a n ＜0；
所以T 10＝|a 1|+|a 2|+⋯+|a 10|＝a 1+a 2+a 3+a 4+a 5﹣（a 6+a 7+⋯+a 10）
＝8+6+4+2+0+（2+4+6+8+10）＝50．
19．（12分）已知抛物线C 顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点(5，−2√5)，一条斜率为√3的直线过抛物线C 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，
（1）求抛物线方程；
（2）求弦|AB |的长度．
解：（1）由题意，可设抛物线为y 2＝2px ，
又抛物线经过点(5，−2√5)，
所以10p ＝20⇒p ＝2，
则抛物线方程为y 2＝4x ；
（2）由（1）知：抛物线焦点为（1，0），则直线AB ：y =√3(x −1)，
代入抛物线消去y ，得3（x ﹣1）2＝4x ，
则3x 2﹣10x +3＝0，显然Δ＞0，
所以x A +x B =103，x A x B ＝1，
则|AB|=√1+3⋅√(x A +x B )2−4x A x B =2×√1009−4=163．
20．（12分）已知椭圆L ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，短轴长为2． （1）求椭圆L 的标准方程；
（2）过椭圆内一点P(1，12
)引一条弦，使弦被点P 平分．求此弦所在的直线方程．
解：（1）因为椭圆L ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，短轴长为2， 所以{e =c a =√322b =2
，①
又a 2＝b 2+c 2，②
联立①②，
解得a ＝2，b ＝1，
则椭圆L 的标准方程x 24+y 2=1；
（2）不妨令过椭圆内一点P(1，12)的直线交椭圆于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
此时{x 124+y 12=1x 224
+y 22=1， 两式作差得
x 12−x 224+y 12−y 22=0， 此时y 1−y 2
x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)，
因为x 1+x 2＝2×1＝2，y 1+y 2=2×12=1，
则直线AB 斜率为k =y 1−y 2x 1−x 2
=−12， 所以直线AB 为y −
12=−12(x −1)， 即x +2y ﹣2＝0．
21．（12分）S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =12n 2+12n ；
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若b n =2a n −5a n ，求数列{b n }中最小的项．
解：（1）当n ≥2时，a n =S n −S n−1=12n 2+12n −[12(n −1)2+12(n −1)]=n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，也满足上式，
所以a n =n ，n ∈N ∗；
（2）因为b n =2n −5n ，
所以b n+1−b n =[2n+1−5(n +1)]−(2n −5n)=2n −5，
当n ≤2时，b n +1﹣b n ＜0，即b n +1＜b n ，所以b 1＞b 2＞b 3；
当n ≥3时，b n +1﹣b n ＞0，即b n +1＞b n ，所以b 3＜b 4＜b 5＜⋯；
所以列{b n }中最小的项为b 3=23−15=−7．
22．（12分）已知双曲线x 2
a 2−y 2
b 2=1(a ＞0，b ＞0)的实轴长等于2，离心率e ＝2，
（1）求双曲线方程；
（2）过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点，判断k 1•k 2是否为定值？若是，求出定值．若不是，请说明理由．
解：（1）由题可得{2a =2c a =2
a 2+
b 2=
c 2，解得a =1，b =√3，c =2， 所以双曲线方程为x 2−y 23=1．
（2）k 1•k 2是定值3，理由如下：
设A （m ，n ），B （﹣m ，﹣n ），M （x ，y ），x ≠±m ，
则k 1⋅k 2=y−n x−m ×y+n x+m =y 2−n 2x 2−m 2=3x 2−3−3m 2+3x 2−m 2
=3．。