硚口区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

硚口区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 与命题“若x ∈A ，则y ∉A ”等价的命题是（ ）
A ．若x ∉A ，则y ∉A
B ．若y ∉A ，则x ∈A
C ．若x ∉A ，则y ∈A
D ．若y ∈A ，则x ∉A 2． 下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（ ） A ．y=x ﹣1
B ．y=lnx
C ．y=x 3
D ．y=|x|
3． 数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123
n a a a a n =，则35a a +等于（ ）
A ．259
B ．2516
C ．6116
D ．3115
4． 独立性检验中，假设H 0：变量X 与变量Y 没有关系．则在H 0成立的情况下，估算概率P （K 2
≥6.635）
≈0.01表示的意义是（ ）
A ．变量X 与变量Y 有关系的概率为1%
B ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99%
C ．变量X 与变量Y 有关系的概率为99%
D ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99.9%
5． 命题“∃x ∈R ，使得x 2
＜1”的否定是（ ）
A ．∀x ∈R ，都有x 2＜1
B ．∃x ∈R ，使得x 2＞1
C ．∃x ∈R ，使得x 2≥1
D ．∀x ∈R ，都有x ≤﹣1或x ≥1
6． 函数的定义域为（ ） A ．{x|1＜x ≤4}
B ．{x|1＜x ≤4，且x ≠2}
C ．{x|1≤x ≤4，且x ≠2}
D ．{x|x ≥4}
7． 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是，，，BH 为AC 边上的高，5BH =，若
2015120aBC bCA cAB ++=，则H 到AB 边的距离为（ ）
A ．2
B ．3 C.1 D ．4 8． 已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 设函数()()21x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数，使得()0f t <，则的 取值范围是（ ） A ．3,12e ⎡⎫-
⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
1111]
10．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=x 的图象是（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
11．给出定义：若
（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即{x}=m
在此基础上给出下列关于函数f （x ）=|x ﹣{x}|的四个命题：
①；②f （3.4）=﹣0.4；
③
；④y=f （x ）的定义域为R ，值域是
；
则其中真命题的序号是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．③④
12．设集合M={（x ，y ）|x 2+y 2=1，x ∈R ，y ∈R}，N={（x ，y ）|x 2﹣y=0，x ∈R ，y ∈R}，则集合M ∩N 中元素的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
13．（x ﹣）6的展开式的常数项是 （应用数字作答）．
14．已知含有三个实数的集合既可表示成}1,,
{a
b
a ，又可表示成}0,,{2
b a a +，则 =+20042003b a .
15．已知A （1，0），
P ，Q 是单位圆上的两动点且满足，则
+
的最大值为 ．
16．设幂函数()f x kx α=的图象经过点()4,2，则k α+= ▲ ．
17．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数()()ln R x
f x x a a x =+-∈，若曲线122e e 1
x x y +=+（e 为自然对数的底数）上存在点()00,x y 使得()()00f f y y =，则实数a 的取值范围为__________.
18．如图，在棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧
面11BCC B 内一点，若1AP 平行于平面
AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是
_________.
三、解答题
19．已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）+1（ω＞0
，﹣＜φ
＜
）的最小正周期为π，图象过点P （0，1）
（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；
（Ⅱ）设函数 g （x ）=f （x ）+cos2x ﹣1，将函数 g （x
）图象上所有的点向右平行移动个单位长度后，所
得的图象在区间（0，m ）内是单调函数，求实数m 的最大值．
20．本小题满分10分选修44-：坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系xoy
中，直线的参数方程为32
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，在极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴中，圆C
的方程为ρθ=． Ⅰ求圆C 的圆心到直线的距离；
Ⅱ设圆C 与直线交于点A B 、，若点P
的坐标为(3,，求PA PB +．
21．已知函数f（x）=．
（1）求f（f（﹣2））；
（2）画出函数f（x）的图象，根据图象写出函数的单调增区间并求出函数f（x）在区间（﹣4，0）上的值域．
22．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：
[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（Ⅰ）求图中x的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；
（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．
23．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点. （1）证明：//PB 平面AEC ；
（2）设1AP =，AD =P ABD -的体积4
V =
，求A 到平面PBC 的距离.
111]
24．已知f（x）=x3+3ax2+bx在x=﹣1时有极值为0．（1）求常数a，b的值；
（2）求f（x）在[﹣2，﹣]的最值．
硚口区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：由命题和其逆否命题等价，所以根据原命题写出其逆否命题即可． 与命题“若x ∈A ，则y ∉A ”等价的命题是若y ∈A ，则x ∉A ． 故选D ．
2． 【答案】D
【解析】解：选项A ：y=
在（0，+∞）上单调递减，不正确；
选项B ：定义域为（0，+∞），不关于原点对称，故y=lnx 为非奇非偶函数，不正确；
选项C ：记f （x ）=x 3，∵f （﹣x ）=（﹣x ）3=﹣x 3，∴f （﹣x ）=﹣f （x ），故f （x ）是奇函数，又∵y=x 3
区间
（0，+∞）上单调递增，符合条件，正确；
选项D ：记f （x ）=|x|，∵f （﹣x ）=|﹣x|=|x|，∴f （x ）≠﹣f （x ），故y=|x|不是奇函数，不正确． 故选D
3． 【答案】C 【解析】
试题分析：由2
123
n a a a a n =，则2
123
1(1)n a a a a n -=-，两式作商，可得2
2
(1)
n n a n =-，所以2235223561
2416
a a +=+=，故选C ．
考点：数列的通项公式．
4． 【答案】C
【解析】解：∵概率P （K 2
≥6.635）≈0.01， ∴两个变量有关系的可信度是1﹣0.01=99%，
即两个变量有关系的概率是99%，
故选C ． 【点评】本题考查实际推断原理和假设检验的应用，本题解题的关键是理解所求出的概率的意义，本题是一个
基础题．
5． 【答案】D
【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x ∈R ，都有x ≤﹣1或x ≥1，
故选：D ．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
6．【答案】B
【解析】解：要使函数有意义，只须，
即，
解得1＜x≤4且x≠2，
∴函数f（x）的定义域为{x|1＜x≤4且x≠2}．
故选B
7．【答案】D
【解析】
考点：1、向量的几何运算及平面向量基本定理；2、向量相等的性质及勾股定理.
【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理、向量相等的性质及勾股定理，属于难题，平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，注意两个向量的差
+=（D点是AB的中点）,另外，要选好基底
OA OB OD
-=，这是一个易错点，两个向量的和2
OA OB BA
AB AC，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几向量，如本题就要灵活使用向量,
何意义等.
8．【答案】A
【解析】解：由题意可知截取三棱台后的几何体是7面体，左视图中前、后平面是线段，
上、下平面也是线段，轮廓是正方形，AP是虚线，左视图为：
故选A ．
【点评】本题考查简单几何体的三视图的画法，三视图是常考题型，值得重视．
9． 【答案】D 【解析】
考
点：函数导数与不等式．1 【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令()0f x =将函数变为两个函
数()()()21,x
g x e x h x ax a =-=-，将题意中的“存在唯一整数，使得()g t 在直线()h x 的下方”，转化为
存在唯一的整数，使得()g t 在直线()h x ax a =-的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得m 的取值
范围.
10．【答案】D
【解析】解：幂函数y=x 为增函数，且增加的速度比价缓慢，
只有④符合． 故选：D ．
【点评】本题考查了幂函数的图象与性质，属于基础题．
11．【答案】B
【解析】解：①∵﹣1﹣＜﹣≤﹣1+
∴{﹣}=﹣1
∴f （﹣）=|﹣﹣{﹣}|=|﹣+1|= ∴①正确；
②∵3﹣＜3.4≤3+
∴{3.4}=3
∴f （3.4）=|3.4﹣{3.4}|=|3.4﹣3|=0.4 ∴②错误；
③∵0﹣＜﹣≤0+
∴{﹣}=0
∴f （﹣）=|﹣﹣0|=，
∵0﹣＜≤0+
∴{}=0
∴f （）=|﹣0|=，
∴f （﹣）=f （） ∴③正确；
④y=f （x ）的定义域为R ，值域是[0，] ∴④错误． 故选：B ．
【点评】本题主要考查对于新定义的理解与运用，是对学生能力的考查．
12．【答案】B
【解析】解：根据题意，M ∩N={（x ，y ）|x 2+y 2=1，x ∈R ，y ∈R}∩{（x ，y ）|x 2
﹣y=0，x ∈R ，y ∈R}═{（x ，y ）
|} 将x 2﹣y=0代入x 2+y 2
=1， 得y 2
+y ﹣1=0，△=5＞0，
所以方程组有两组解，
因此集合M ∩N 中元素的个数为2个， 故选B ．
【点评】本题既是交集运算，又是函数图形求交点个数问题
二、填空题
13．【答案】 ﹣160
【解析】解：由于（x ﹣）6
展开式的通项公式为 T r+1=
•（﹣2）r •x 6﹣2r ，
令6﹣2r=0，求得r=3，可得（x ﹣）6
展开式的常数项为﹣8
=﹣160，
故答案为：﹣160．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
14．【答案】-1 【解析】
试题分析：由于{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫
=+⎨⎬⎩⎭
，所以只能0b =，1a =-，所以()20032003200411a b +=-=-。

考点：集合相等。

15．【答案】 ．
【解析】解：设=
，则=
=
，
的方向任意．
∴
+
=
=1×
×
≤
，因此最大值为
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．
16．【答案】3
2
【解析】
试题分析：由题意得11,422
k α
α==⇒=∴32k α+=
考点：幂函数定义 17．【答案】1,e
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【解析】结合函数的解析式：1
22e e 1x x y +=+可得：()
()
122
221'1
x x x e e y e +-=+， 令y ′=0，解得：x =0，
当x >0时，y ′>0，当x <0，y ′<0，
则x ∈（-∞，0），函数单调递增，x ∈（0，+∞）时，函数y 单调递减， 则当x =0时，取最大值，最大值为e ， ∴y 0的取值范围（0，e ]，
结合函数的解析式：()()R lnx
f x x a a x =+-∈可得：()22ln 1'x x f x x
-+=， x ∈（0，e ），()'0f x >， 则f （x ）在（0，e ）单调递增， 下面证明f （y 0）=y 0．
假设f （y 0）=c >y 0，则f （f （y 0））=f （c ）>f （y 0）=c >y 0，不满足f （f （y 0））=y 0． 同理假设f （y 0）=c <y 0，则不满足f （f （y 0））=y 0． 综上可得：f （y 0）=y 0．
令函数()ln x
f x x a x x =
+-=． 设()ln x g x x =，求导()2
1ln 'x
g x x -=，
当x ∈（0，e ），g ′（x ）>0， g （x ）在（0，e ）单调递增， 当x =e 时取最大值，最大值为()1g e e
=， 当x →0时，a →-∞， ∴a 的取值范围1,e
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.
点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题（2）问时，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
（2）若可导函数f （x ）在指定的区间D 上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f ′（x ）≥0（或f ′（x ）≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 18．
【答案】⎣⎦ 【解析】
考点：点、线、面的距离问题.
【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）+1（ω＞0，﹣＜φ＜）的最小正周期为π，
∴ω
==2，
又由函数f （x ）的图象过点P （0，1）， ∴sin φ=0， ∴φ=0，
∴函数f （x ）=sin2x+1；
（Ⅱ）∵函数 g （x ）=f （x ）+cos2x ﹣
1=sin2x+cos2x=sin （
2x+
），
将函数 g （x
）图象上所有的点向右平行移动个单位长度后， 所得函数的解析式是：h （x ）
=sin[2（x
﹣
）
+
]=
sin （2x
﹣
），
∵x ∈（0，m ）， ∴2x
﹣
∈
（﹣
，2m
﹣
），
又由h （x ）在区间（0，m ）内是单调函数， ∴2m
﹣
≤
，即m
≤
， 即实数m
的最大值为．
【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换，熟练掌握正弦型函数的图象和
性质，是解答的关键．
20．【答案】
【解析】Ⅰ
∵:C ρθ=
∴2:sin C ρθ=
∴22:0C x y +-=，即圆C
的标准方程为22(5x y +=．
直线的普通方程为30x y +=． 所以，圆C
=
．
Ⅱ由22(53
x y y x ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩
，解得12x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
或21x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
所以 21．【答案】
【解析】解：（1）函数f （x ）
=．
f （﹣2）=﹣2+2=0，
||||PA PB +==
f（f（﹣2））=f（0）=0.3分
（2）函数的图象如图：…
单调增区间为（﹣∞，﹣1），（0，+∞）（开区间，闭区间都给分）…
由图可知：
f（﹣4）=﹣2，f（﹣1）=1，
函数f（x）在区间（﹣4，0）上的值域（﹣2，1]．…12分．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由（0.006×3+0.01+0.054+x）×10=1，解得x=0.018，
前三组的人数分别为：（0.006×2+0.01+0.018）×10×50=20，第四组为0.054×10×50=27人，故数学成绩的众数落在第四组，故众数为75分．
（Ⅱ）分数在[40，50）、[90，100]的人数分别是3人，共6人，
∴这2人成绩均不低于90分的概率P==．
【点评】本题考查频率分布直方图及古典概型的问题，前者要熟练掌握直方图的基本性质和如何利用直方图求众数；后者往往和计数原理结合起来考查．
23．【答案】（1）证明见解析；（2.
【解析】
试
题解析：（1）设BD 和AC 交于点O ，连接EO ，因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以//EO PB ，EO ⊂且平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .
（2）1366V PA AB AD AB =
=，由4
V =
，可得32AB =，作A H P B ⊥交PB 于H .由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC AH ⊥，故AH ⊥平面PBC ，又313
PA AB AH PB ==
，所以A 到平面PBC 的距离为
.1 考点：1、棱锥的体积公式；2、直线与平面平行的判定定理. 24．【答案】
【解析】解：（1）∵f （x ）=x 3+3ax 2
+bx ， ∴f'（x ）=3x 2
+6ax+b ，
又∵f （x ）在x=﹣1时有极值0， ∴f'（﹣1）=0且f （﹣1）=0， 即3﹣6a+b=0且﹣1+3a ﹣b=0，
解得：a=，b=1 经检验，合题意．
（2）由（1）得f'（x ）=3x 2
+4x+1，
令f'（x ）=0得x=﹣或x=﹣1，
又∵f （﹣2）=﹣2，f （﹣）=﹣，f （﹣1）=0，f （﹣）=﹣
，
∴f （x ）max =0，f （x ）min =﹣2．。