2017届高三数学人教版A版数学高考一轮复习课件：第三章 第八节 正弦定理和余弦定理的应用

试题
解析
∴
DB
＝
AB·sin∠DAB sin∠ADB
＝
53＋ 3·sin 45° sin 105°
＝
sin
53＋ 3·sin 45°cos 60°＋cos
45° 45°sin
60°
＝
5 3 3＋1 3＋1 2
＝10 3(海里)，
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，
BC＝20 3(海里)．第十页，编辑于星期六：一点 十四分。
第八节 正弦定理和余弦定理的应用
第一页，编辑于星期六：一点 十四分。
解三角形及其应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解 决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
第二页，编辑于星期六：一点 十四分。
知识点
知识点
实际应用中的常用术语
术语名称
术语意义
仰角与俯角
在目标视线与水平视线所成的角 中，目标视线在水平视线上方的
于是∠CBD＝120°.
在△BCD 中，由正弦定理，得
sin∠BCD＝BDsinC∠DCBD＝10t1·s0in 31t20°＝12，
得∠BCD＝30°，
又sinC1D20°＝sinBC30°，即10
3t＝ 3
6，得
t＝
6 10 .
所以当缉私船沿东偏北 30°的方向能最快追上走私船，最少要
花 106小时．
试题
解析
在 Rt△ABC 中，AC＝
100 2 m，在△MAC 中，
由 正 弦 定 理 得 siMn 6A0°＝
sinAC45°， 解 得 MA ＝
100 3 m，在 Rt△MNA
中，MN＝MA·sin 60°＝
1即50山m高. MN 为 150 m.
第十四页，编辑于星期六：一点 十四分。
考点二
典题悟法
考点一
典题悟法
演练冲关
试题
解析
(2014·济南调研)如图所示，A， B 是海面上位于东 西 方 向 相 距 5(3 ＋
3)海里的两个观 测点．现位于 A 点 北偏东 45°，B 点北 偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信 号，位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往 营救，其航行速度为 30 海里/小时，该 救援船到达 D 点需要多长时间？
在△DBC 中，由余弦定理得 CD2 ＝ BD2 ＋ BC2 － 2BD·BC·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×10 3×20 3 ×12＝900. ∴CD＝30(海里)． 则需要的时间 t＝3300＝1(小时)．
第十一页，编辑于星期六：一点 十四分。
考点一 典题悟法
演练冲关
求距离问题的两个注意点 (1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角 形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知 量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选 择更便于计算的定理．
考点二 典题悟法
演练冲关
2．要测量底部不能 到达的电视塔 AB 的高度，在 C 点测 得塔顶 A 的仰角是 45°，在 D 点测得塔 顶 A 的仰角是 30°，并测得水平面 上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则
电视塔的高度为( D )
A．10 2 m
B．20 m
C．20 3 m
D．40 m
试题
由题意知 AB＝5(3＋ 3)海 里 ， ∠ DBA ＝ 90°－ 60°＝ 30°， ∠ DAB ＝ 90°－ 45°＝ 45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°) ＝105°， 在△DAB 中，由正弦定理， 得sin∠DBDAB＝sin∠ABADB，
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考点一
解析
设电视塔的高度为 x m， 则 BC＝x，BD＝ 3x.在△BCD 中， 根据余弦定理得 3x2＝x2＋402－ 2×40x×cos 120°， 即 x2－20x－800＝0， 解得 x＝－20(舍去)或 x＝40. 故电视塔的高度为 40 m.
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考点三
典题悟法 演练冲关
第六页，编辑于星期六：一点 十四分。
知识点 知识点
试题
解析
2．江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮 台底部在同一水平面上， 由炮台顶部测得俯角分别 为 45°和 60°，而且两条船 与炮台底部连线成 30°角，
则两条船相距_1__0__3___m.
如图，OM＝AOtan 45° ＝30(m)，
典题悟法 演练冲关
(2014·济南调研)如图所示， A，B 是海面上位于 东西方向相距 5(3 ＋ 3)海里的两个 观测点．现位于 A 点北偏东 45°，B 点 北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求 救信号，位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船 立即前往营救，其航行速度为 30 海 里/小时，该救援船到达 D 点需要多 长时间？
___3_2____n mile/h.
试题
解析
设航速为 v n mile/h，
在△ABS 中 AB＝21v，BS＝
8 2，∠BSA＝45°，
由
正
弦
定
理
得
8 sin
320°＝
1 sin2v45°，则 v＝32.
第八页，编辑于星期六：一点 十四分。
考点一
典题悟法 演练冲关
测量距离问题|
试题
解析
(2014·济南调研)如图所示，A，B 是海面上位于东西方向 相距 5(3＋ 3)海里的两 个观测点．现位于 A 点北 偏东 45°，B 点北偏西 60° 的 D 点有一艘轮船发出 求救信号，位于 B 点南偏西 60°且与 B 点 相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往 营救，其航行速度为 30 海里/小时，该救 援船到达 D 点需要多长时间？
测量角度问题|
在海岸 A 处， 发现北偏东 45°方向、距 离 A 处( 3－1)海里的 B 处有一艘走私船；在 A 处 北偏西 75°方向、距离 A 处 2 海里的 C 处的缉私船 奉命以 10 3海里/小时的 速度追截走私船．同时， 走私船正以 10 海里/小时 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜，问缉私船 沿什么方向能最快追上 走私船？最少要花多少 时间？
考点三
典题悟法 演练冲关
试题
解析
3．如图，位于 A 处的信息中心 在△ABC 中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由 获悉：在其正东方向相距 40 海 余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2
里的 B 处有一艘渔船遇险，在 800⇒BC＝20 7.
原地等待营救．信息中心立即 把消息告知在其南偏西 30°、相
试题
思路点拨
[思路点拨] (1)利用三角 形中的余弦定理，将航行 距离表示为时间 t 的函数， 将原题转化为函数最值问 题．(2)注意 t 的取值范围．
演练冲关
求解高度问题应注意 (1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角 都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角． (2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图． (3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解 问题的答案，注意方程思想的运用．
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试题
解析
如图，设缉私船 t 小时后在 D 处追上走私船，则有 CD＝10 3t， BD＝10t.
在△ABC 中，AB＝ 3－1，AC ＝2，∠BAC＝120°.
利用余弦定理可得 BC＝ 6sin∠BAC＝
2× 6
23＝
22，
∴∠ABC＝45°，因此 BC 与正北方向垂直．
速度沿北偏东 75°方向直线航 120°＝4 900，
行，下午 1 时到达 B 处．然后以
所以 AC＝70(海里)． 故 A、C 两岛之间的距离是 70 海里．
同样的速度沿北偏东 15°方向直 线航行，下午 4 时到达 C 岛．
(2)在△ ABC 中 ，由正弦定理，得 sin∠BCBAC＝
sin∠ACABC，
ON ＝ AOtan
30°＝
3 3
×30＝10 3(m)，
在△MON 中，由余弦定理得，
MN
＝
900＋300－2×30×10
3×
3 2
＝ 300＝10 3(m)．
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知识点 知识点
3．如图，一艘船上午 9：30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北 偏东 30°的方向，之后它 继续沿正北方向匀速航 行，上午 10：00 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°的方向，且与它 相距 8 2n mile.此船的航速是
叫作_____，目标仰视角线在水平视
线下方的叫作俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方 向到目标方向线之间的水平夹角叫 作方位角．方位角的范围是
____________ (0°，360°)
图形表示
第三页，编辑于星期六：一点 十四分。
知识点
知识点
术语名称
方向角
术语意义
图形表示
正北或正南方向线与目标方向线所
第十七页，编辑于星期六：一点 十四分。
考点三 典题悟法
演练冲关
解决测量角度问题的三个注意点 (1)明确方位角的含义． (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画 出示意图，这是最关键、最重要的一步． (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后， 注意正、余弦定理的“联袂”使用．
第十八页，编辑于星期六：一点 十四分。
由正弦定理，得sin∠ABACB＝sin∠BCBAC⇒sin∠ACB＝
距 20 海里的 C 处的乙船，现乙 船朝北偏东 θ 的方向沿直线 CB
ABBC·sin∠BAC＝
721.
前往 B 处救援，求 cos θ 的值．由∠BAC＝120°，知∠ACB 为锐角，则 cos∠ACB＝
2 7 7.
由 θ＝∠ACB＋30°，得 cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos
∠ACBcos
30°－sin∠ACBsin
30°＝
21 14 .
第十九页，编辑于星期六：一点 十四分。
思想方法系列 12.函数思想在解三角形中的应用
【典例】 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正 在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/小时 的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向 以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相 遇． (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的 大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时，试设 计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小 艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
所以
sin
∠
BAC
＝
BC·sin∠ABC AC
＝
30sin70120°＝
33 (1)求 A、C 两岛之间的距离； 14 .
(2)求∠BAC 的正弦值．
故∠BAC 的正弦值是3143第. 十三页，编辑于星期六：一点 十四分。
考点二
典题悟法 演练冲关
测量高度问题|
如图，为 测量山高 MN，选 择 A 和另一座山 的山顶 C 为测量观测点．从 A 点测 得 M 点的仰角∠MAN＝60°，C 点的 仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°； 从 C 点测得∠MCA＝60°，已知山高 BC＝100 m，则山高 MN＝_1_5_0___m.
第五页，编辑于星期六：一点 十四分。
知识点 知识点
[自测练习]
试题
解析
1．若点 A 在点 C 的北偏东 30°， 点 B 在点 C 的南偏东 60°，且 AC ＝BC，则点 A 在点 B 的( B ) A．北偏东 15° B．北偏西 15° C．北偏东 10° D．北偏西 10°
如图所示，∠ ACB＝90°， 又 AC＝BC， ∴∠CBA＝45°， 而 β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点 A 在点 B 的北偏西 15°.
成的锐角，通常表达为北(南)偏东( 西)××度
例：(1)北偏东 m°： (2)南偏 西 n°：
坡角 坡度
坡面与水平面的夹角
坡面的垂直高度h和水平宽度l的 比
设坡角为 α，坡度为 i，则 i
＝hl ＝ tan α
第四页，编辑于星期六：一点 十四分。
知识点
知识点
易误提醒 易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北 方向与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北 或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
第十二页，编辑于星期六：一点 十四分。
考点一
典题悟法
演练冲关
试题
解析
1．如图，A、C 两岛之间有一片 (1)在△ABC 中，由已知，得
暗礁，一艘小船于某日上午 8 时
AB＝10×5＝50(海里)，BC＝10×3＝30(海里)， ∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，
从 A 岛出发，以 10 海里/小时的 由余弦定理，得 AC2＝502＋302－2×50×30cos