山东省胶州市高考数学二轮复习第5讲数列的通项与求和学案(无答案)文(2021年整理)

山东省胶州市2018届高考数学二轮复习第5讲数列的通项与求和学案（无答案）文
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第5讲数列的通项与求和
学习目标【目标分解一】求数列通项常用的四种方法
【目标分解二】掌握等差（比)数列求和公式及方法、裂项相消求和。

【目标分解三】掌握数列分组求和、错位相减求和的方法.
重点裂项相消求和、错位相减求和
【课前自主复习区】
■核心知识储备
1．数列｛a n}中，a n与S n的关系:
a n＝错误!提醒：在利用a n＝S n－S n－1n≥2求通项公式时,务必验证n＝1时的情形2．递推公式求通项常用的方法和技巧
（1)归纳猜想法:已知数列的前几项,求数列的通项公式，可采用归纳猜想法．
（2)已知S n与a n的关系，利用a n＝错误!求a n.
(3）累加法a n＋1＝a n＋f（n)，把原递推公式转化为a n＋1－a n＝f（n)．
（4）累乘法a n＋1＝f(n)a n，把原递推公式转化为错误!＝f(n）．
（5)构造法a n＋1＝qa n＋p（其中p，q均为常数，pq（q－1)≠0），把原递推公式转化为a n＋1－t＝q(a n－t),
其中t＝
1p
q
，再利用构造法转化为等比数列求解．
3．数列求和常用的方法
(1)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n＝a n＋b n形式的数列求和问题的方法，其中{a n}与｛b n}是等差（比)数列或一些可以直接求和的数列．
（2）裂项相消法:将数列的通项分成两个代数式子的差，即a n＝f(n＋1）－f（n)的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如错误!(其中｛a n｝是各项均不为0的等差数列，c为常数)的数列等．
（3)错位相减法：形如｛a n·b n}（其中｛a n｝为等差数列，｛b n}为等比数列）的数列求和，一般分三步:①巧拆分;②构差式;③求和．
(4)倒序求和法:距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：①求通项公式;②定和值；③倒序相加；④求和;⑤回顾反思．
易错提醒
（1)公比为字母的等比数列求和时，需注意分类讨论．
(2）错位相减法求和时，易漏掉减数式的最后一项.
(3）在裂项变形时，务必注意裂项前的系数.
［高考真题回访］
1。

a n与a n＋1的关系
（2014·全国卷Ⅱ)数列{a n｝满足a n＋1＝错误!，a8＝2,则a1＝________。

2．数列求和
(2012·全国卷)数列｛a n}满足a n＋1＋（－1）n a n＝2n－1，则｛a n｝的前60项和为（) A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830
3。

（2013·全国卷Ⅰ改编）已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3＝0，S5＝－5。

则(1）｛a n｝的通项公式为__________；(2）数列错误!的前n项和为__________．
4．（2014·全国卷Ⅰ改编）已知｛a n}是递增的等差数列，a2,a4是方程x2－5x＋6＝0的根，则
(1）{a n}的通项公式为__________；（2）数列错误!的前n项和为__________．
【课堂互动探究区】
【目标分解一】由递推关系求a n ，S n
【例1】（考查已知a n与S n的递推关系求S n)已知数列{a n｝满足a n＋1＝3a n＋2.若首项a1＝2，则数列{a n}的前n项和S n＝________。

【例2】(考查已知a n与S n的递推关系求a n）数列｛a n｝中，a1＝1,S n为数列{a n｝的前n项和，且满足错误!＝1（n≥2）．求数列｛a n｝的通项公式．
【我会做】1．已知数列{a n}满足a n＋1＝错误!，若a1＝错误!，则a2 018＝( ）
A．－1 B．错误! C．1 D．2
2．已知数列｛a n}前n项和为S n，若S n＝2a n－2n，则S n＝__________. 【我能做对】
1。

(2017·郑州模拟）设数列{a n｝的前n项和为S n。

若S2＝4，a n＋1＝2S n＋1，n∈N＊,则a1＝________,S5＝________。

【目标分解二】裂项相消法求和
【例3】(本小题满分12分）(2015·全国Ⅰ卷）S n为数列{a n}的前n项和．已知a n＞0,错误!.①(1）求｛a n}的通项公式；(2)设错误!，②求数列｛b n}的前n项和.
裂项相消法的基本思想就是把通项a n分拆成a n＝b n＋k－b n k≥1，k∈N*的形式,常见的裂
项方式有：
提醒:在裂项变形时，务必注意裂项前的系数.
【我能做对】
（2017·郑州第三次质量预测)已知数列｛a n｝的前n项和为S n，a1＝－2，且满足S n＝错误!a n n＋1（n∈N＊)．
＋1＋
（1）求数列｛a n}的通项公式;(2)若b n＝log3（－a n＋1）,设数列错误!的前n项和为T n，求证：T n＜错误!.
【目标分解三】错位相减求和
【例4】设数列{a n}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝错误!,n∈N＊。

（1）求数列{a n}的通项公式；（2)设b n＝错误!，求数列｛b n｝的前n项和S n.
用错位相减法求和时，应注意:
1要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.
2在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“S n－qS n"的表达式.
3应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况进行讨论，这在以前的高考中经常考查.
【我会做】
1.已知等比数列{a n｝的前n项和为S n，公比q＞0，S2＝2a2－2，S3＝a4－2。

（1）求数列{a n}的通项公式；（2)设b n＝错误!，求{b n｝的前n项和T n.
【课后作业】：专题限时集训（二)
1.已知等比数列｛a n｝中,a2·a8＝4a5，等差数列{b n｝中，b4＋b6＝a5，则数列{b n}的前9项和S9等于( ）
A．9 B．18 C．36 D．72
2．(2017·全国Ⅱ卷)等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝3,S4＝10,则＝________. 3．(2015·全国Ⅱ卷)设S n是数列｛a n}的前n项和,且a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋1,则S n＝________.
4.(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n｝满足a1＝1，a错误!－（2a n＋1－1)a n－2a n＋1＝0
（1）求a2，a3；(2)求｛a n｝的通项公式．
5.（2016·全国Ⅱ卷)S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记b n＝［lg a n］,其中[x］表示不超过x的最大整数，如［0。

9］＝0，[lg 99］＝1。

(1)求b1，b11，b101；（2）求数列｛b n}的前1 000项和．
7。

【2017课标3，文17】设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++
+-=.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和.
8．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝15。

(1）求{a n }的通项公式；（2)设b n ＝错误!,求数列｛b n ｝的前n 项和T n .
★★9.已知函数f (x ）＝x 2
＋bx 为偶函数，数列{a n ｝满足a n ＋1＝2f (a n －1)＋1，且a 1＝3，a n >1. （1)设b n ＝log 2(a n －1)，证明：数列{b n ＋1｝为等比数列；(2）设c n ＝nb n ，求数列｛c n }的前
n项和S n.
★★★10．（2017·全国Ⅰ卷）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码"的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1,2，1,2,4,1,2,4,8，1,2，4，8，16，…,其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22,依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（)
A．440 B．330 C．220 D．110。