两圆的公切线 相切在画图中的应用 人教四年制1

两圆的公切线 相切在画图中的应用
一. 本周教学内容
6.14 两圆的公切线（2） 6.15 相切在画图中的应用 二. 重点、难点
了解两圆的外公切线的长相等，两圆的内公切线的长也相等的性质，了解两圆公切线长的求法。

公切线长公式
[例1] 解：当连结O 1∵ A O 1∵ AB 当r R ≠AB A O ⊥1O O O 221>∴ O O 1[例2]
∴ 222114)2(6)(6R R R R EF G O -=+-=+-==
在G O O Rt 21∆中 22112R R R G O -=-= 221212R R R O O +=+= ∵ 22212
21G O G O O O += ∴ 222222)4()2()2(R R R -+-=+ 即 0161622
2=+-R R
∴ 3482-=R )(cm [例3] 如图，已知⊙O 与⊙线交⊙O 于D 。

求证：（1）DF F O =⋅'证明：（1∴ EF CF DF F O ⋅=⋅'（2）∵ A O ='∴ DB O BA O '∠='∠ ∴ D O F O B O '⋅'='2
[例4] 如图，⊙O 1与⊙O 2211且FD 是⊙O 1的直径，延长FE 交BD 于点H 。

（2）解：连结DE 并延长交BC 于点G
∵
5
4
=HB DH ∴ 不妨设k DH 4= k HB 5= ∴ k DB 9= ∵ DF 是⊙O 1的直径 ∴ HF DE ⊥ ︒=∠90DEH
∵ BC EF // ∴ ︒=∠=∠90DEH DGB
9
5
==DB HB DG EG 而︒=∠60DBG ∴ ︒=∠30BDG ∴ 2
992121k
k BD BG ===
k k k BG BD DG 2
3
9)29(
)9(2222=-=-= ∴ k k DG EG 2
3
52399595=⨯==
在BGE Rt ∆中，222239k EG BG BE =+= ∵ BD 是⊙O 1的切线
∴ BA BE BD ⋅=2
∴ BE BD AB 2= ∴ 2713
81392
2222====k
k BD BE BE
BD BE AB BE ∴
27
14
271311=-=-=AB BE AB AE [例5] 如图，⊙O 1与⊙O 2相交，大圆⊙O 1的弦21O O AB ⊥垂足是F 且交⊙2O 于点C ，D ，过B 作⊙2O 的切
线E 为切点，已知DE BE =，m BD =，n BE =，AC 、CE 的长是关于x 的方程02
=++q px x 的两个根。

（1）求证：BD AC =
（2）用含m 、n 的代数式分别表示p 和q
（3）如果关于x 的方程01)(2
2=++-x mp m qx 有两个相等的实数根，且︒=∠30DEB ，求⊙O 2的半径。

（1）证明：∵ AB O O ⊥21（2）解：∵ BE 切⊙O 2又 ECB BED ∠=∠ B ∠∵ DE BE = ∴ CE CB = ∴ m
n CE 2
=
∵ AC 、CE 是方程02=++q px x 的两个根。

∴ m n m m n m CE AC p 222)()(+-=+-=+-= 22
n m n m CE AC q =⋅=⋅= （3） ∵ 方程01)(2
2
=++-x mp m qx 有两个相等实数根，而m
n m p 2
2+-=，
2n q =
∴ q mp m 4)]([2
2
-+-=∆ 22
222
4)]([n m
n m m
m -+--=0424=-=n n 021==n n 23=n 24-=n
∵ 0>n ∴ 取2=n ，连结D O 2，E O 2 又 ∵ ︒=∠30DEB ，︒=∠902BEO ∴ ︒=∠602DEO ∵ E O D O 22= ∴ ED O 2∆是等边三角形 ∴ 22===BE DE E O 即⊙O 2的半径是2
[例6] 如图，已知⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，A 为⊙O 1上一点，直线AC 切⊙O 2于点C ，且交⊙O 1于点B ，AP 的延长线交⊙O 2于点D 。

（1）求证：CPD BPC ∠=∠
（2）若⊙O 1半径是⊙O 2半径的2倍，PD=10，AB=67，求PC 的长
（1）证明：过点P ∵ NC 也是⊙O 2的切线∴ BPN BPC +∠=∠（2）解：连结O 1O 2O 1于G ，连结AE ，GE 、CF ∵ PE 是⊙O 1的直径 ∵ PF 是⊙O 2直径 ∴
∴ DF AE // ∴
PF
PE
PD PA = ∵ ⊙O 1的半径是⊙O 2半径的2倍 ∴
12=PF PE ∴ 1
2
=PD PA ∵ 10=PD ∴ 20=PA ∴ 30=+=PD AP AD ∵ AC 是⊙O 2的切线
∴ 由切割线定理得：AD AP AC ⋅=2
即 30202
⨯=AC
解得 610=AC ∵ 67=AB ∴ 6367610=-=-=AB AC BC 同理可证：PC PG 2= ∴ PC CG 3= 由切割线定理的推论得 CA CB CG CP ⋅=⋅
设 x PC = 则
633⋅=⋅x x 【模拟试题】
1. 如图，ABC Rt ∆中，在AB DF DC AE AC AD ⋅-⋅=2
2. 如图，ABC ∆中，AB= AC ED AD AC AD ⋅=-22
（1）∵ BD 平分CBM ∠ ∴ CBD MBD ∠=∠ 又EBA MBD ∠=∠ ∴ ABD EBC ∠=∠ 又A E ∠=∠ ∴ EBC ∆∽ABD ∆ BC
BE
BD AB = ∴ BE BD BC AB ⋅=⋅ )(BD DE BD BC AB -=⋅
BC AB =⋅BC AB =⋅（2）同（1）5. 证明：延长CE ∴ AC 是⊙O 122CE AC =-又E O FE 12= 6. 证明：（1）∵ ∴ ABE ∆∽∆(2BE AB = 2
2
BE AB ED AE -=⋅
（2）连结BD 、CD ∴ CBD CAE ∠=∠ 又AB =BD ∴ 43∠=∠ ∴ CAE ∆∽CBD ∆ ∴
CD
BC
CE CA = ∴ BC CE CD CA ⋅=⋅ 又DE AE BE CE ⋅=⋅ ∴ DE AE CE CD CA ⋅+=⋅2
∴ )(CE BE CE CD CA +=⋅ ∴ BE CE CE CD CA ⋅+=⋅2
∴ CE AB DC BD ⋅=⋅ 即CE AB BD ⋅=2
（2）解：由切割线定理 AE CE DE ⋅=2
)(2AC CE CE DE +=
AC CE CE DE ⋅+=22 23=AC AB AC AB 23= CE AC BD ⋅=2
3
2 AC ⋅=
2
3
18⎩⎨
⎧+-CE DE CE DE 8. 解：过N FNCD ∴ AM =设AM =24(1x -=22
∴ 2262224-=+-
=BN 或2
2
62224+=--=BN （舍）
2
FB BG AG AB AE ⋅=2 x x 3)33(2⋅= 2327x = 92
=x 3=x 即3=AB
（3）AD=6 2:1:=FB CF ∴ 2=CF 4=FB 3=AB ∴ 5=AF 132322=+=DF 又DFA ∆∽HBG ∆ ∴ BG AF HG AD = 6
5
6=HG 5
36
=
HG 又4=FB 6=BG ∴ 2264+=FG 132=。