从张量、矢量和标量角度看物理量

从张量、矢量和标量角度看物理量
第28卷第6期
2010年12月
凯里学院
JournalofKailiUniversity
V01.28NO.6
Dee.2010
从张量,矢量和标量角度看物理量
吴位巍
(凯里学院理学院,贵州凯里556011)
摘要:从逻辑学角度定义张量,矢量,标量,统一物理教材中矢量,标量的多种定义,剔除不恰当
的定义,确保物理量的正确运算.
关键词:量;坐标系;协变;逆变;法则
论文编码:Doi:10.3969/j.issn.1673—9329.2010.06.15
根据国际计量局(BIPM),国际电工委员会(IEC),
国际标准化组织(ISO)和国际法制计量组织(OIMI)联
合制定的《国际通用计量学基本名称》,量是"现象,物
体或物质的可以定性区别和定量的确定的属性".量都
具有可测性,可分为三大类:标量,矢量和张量.
1张量,矢量和标量定义
逻辑学指出[]:概念的内涵是反映在概念中的对
象的本质属性.所谓本质属性就是某类对象共同具有
并且仅为该类对象所具有的属性,亦即它是确定某类
对象区别于其他对象的属性.概念的外延是指具有概
念所反映的本质属性的每一个对象.外延和内涵是概
念的两个不同方面,这两个方面具有密切的关系,两者
互相依存,互相制约.概念的定义是用来揭示概念内涵的逻辑方法,应当既揭示它的内涵,又确定它的外延. 设一个量的分量在曲线坐标系32中定义,它们是
坐标.12,,.220的函数.若坐标系容许变换成另一个
新坐标系r,,32=r(l,2,0),则可以定义该量在
新坐标系-r中的分量.
若一个量在坐标系中只有一个分量妒,在新坐
标系z中也只有一个分量,并且在两个坐标系中的
对应点上,与的数值相等,即
j:r1(),(),2F3()J(1,X2,X3)一
p(x,,.)(1)
这个量称为标量[.
在Euclidean空间中一个量可以用3个有序数73i (或另3个有序数)的集合表示,且当坐标转换时,它
们在新坐标系中按以下转换关系转换为另一组3个有序数的集合
)～i
协变转换关系vi一u一(2)
逆变转换关系一"vj一u.(3)
式中一一,届一.该量称为矢量E33,它
d'(正
是具有大小与方向且满足一定规则的实体.
在坐标变换时,矢量本身是不变量,它的分量却是
变量,并按(2),(3)式变换规则变换.
张量是矢量概念的推广,若在坐标变换时,它的分
量按下式变换
一…
筹….㈩
这个量Alli,...,
称为P阶逆变,q阶协变的r阶(r—P+
q)张量.
张量由它的分量的集合所规定,例如一个由9个有
序数组成的集合T(i,)(i,J一1,2,3),在坐标变换
时,这组数按照以下坐标转换关系而变化
丁(i,)一T(k,z),(i,=1,2,3)(5)
则这组有序数的集合就是张量,且是一个二阶张量.
物理教材中,矢量,标量的定义多种多样,但都可
归结为以上的定义,并还可以剔除不恰当的定义,如,
标量是只有大小没有方向的物理量[4].
2运算法则及相互关系
标量计算遵从代数运算法则.矢量和遵从平行四
边形法则,同一空间中两矢量之和仍是该空间的矢量,
它满足交换律,结合律.
矢量乘实数仍是同一空间的矢量,它满足分配律,
结合律.两个矢量A与.B可以点积也可以叉积.如:
A?B—lA1IBIcos(A,B),(6)
C—A×B.(7)
[1lvw]一(1l×v)?w—ll?(×'.,).(8)
收稿日期:2010—10一】2
作者简介:吴位巍(1963一),男.贵州天柱人,凯里学院理学院副教授,研究方向为物理教育
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定义(6)式为矢量A与B的点积,它满足交换律,
分配律,正定性,Schwartz不等式规则;定义(7)式为矢
量A与曰的叉积,它满足分配律,但不满足结合律.定
义(8)式为矢量H,y,W的混合积.
矢量的某一分量既不是矢量,也不是标量.两矢量
的点积结果是标量,A与曰的叉积C是垂直于A,B构成平面的另一个矢量,三矢量的混合积是标量.
张量可以进行代数运算,如相加,标量与张量相
乘,张量与张量并乘,张量的缩并,张量的点积,张量的矢积等.张量计算遵从矩阵运算法则.
张量可分为零阶,一阶,二阶,……,张量的阶等于
变换法则中变换系数的维度,也等于张量的指标的数目.矢量是一阶张量而标量是零阶张量.
3物理量
描述同一空间的物理问题,可以根据需要选择各
原来位形
原来位形
y
种不同的坐标系,同一个物理量在不同坐标系中往往以不同的分量加以定量描述.在物理量中,有些与参考坐标无关,另有一些量,它们的分量却与参考坐标的选择有关,当坐标作容许变换时,这些量的分量服从不同的变换规则——(2),(3),(4),正因为如此,物理量才
分为矢量,标量,张量.
矢量是具有大小与方向且满足一定规则的实体,
例如角位移,它有大小和方向,但在有限转动中,如把一
长方形砖块先绕z轴转90.,然后再绕Y轴转90.,得到的位形图1与先绕Y轴转90.再绕轴转90.得到的位形图2比较,这两个位形迥然不同,它们不满足平行四边形加法所应该遵守的对易律,所以在有限转动中角位移不是矢量.再比如电流J,它虽有大小和方向,但它的计算遵从代数运算法则,故不是矢量,而是标量. X
绕Z轴转9o.后
图1
绕y轴转90.后
图2
刚体的转动惯量,它是用9个实数描写(其中6个
是独立的),而这9个数满足(5)式,它是一个二阶张
量.但刚体作定轴转动时,它的转动惯量J是一个恒量,看起来是一个标量,实际上它是张量的一个分量.
由于在定轴转动中这个分量不变,张量的其他分量又
不出现,可以按标量来对待,但它仍是张量的一个分量,而不是标量.在理论物理中,像这样用一个实数描写,又与转动无关的物理量,如密度,摩擦系数和电阻等,虽然也符合标量的定义,但通常并不称为标量.
4结束语
质量,温度,长度,劲度系数,频率,速率,动能等物
理量与坐标无关是标量;位移,速度,力,电场强度,能
流密度等是矢量;各向异性电介质的极化率,铁磁质的磁介率和弹性体的应力等是张量.明确张量,矢量,标
量定义,掌握各自的运算法则,是划分众多物理量的基y
Z
再绕Y轴转9o.后
再绕z轴转90.后
y
础,是物理量进行正确运算的保证.
参考文献:
[1]中国人民大学哲学系逻辑教研室.逻辑学[M].北京:中国人民大学出版社,2000.
[2]郭日修.弹性力学与张量分析[M].北京:高等教育出版
社,2004.
[3]黄克智,薛明德,陆明万.张量分析[M].北京:清华大学出版社,2003.
[4]苏和.基础物理手册[M].呼和浩特:内蒙古人民出版社,1982.
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[责任编辑:张和平]
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