2018中考数学圆地最值问题(含问题详解)

合用标准文案
数学组卷圆的最值问题
一．选择题〔共7 小题〕
1．〔 2021 春 ?兴化市月考〕在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为〔 3， 0〕，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点 C 为第一象限内一点，且AC=2 ，设 tan∠ BOC=m ，那么 m 的取值范围是〔〕
A ． m≥0 B．C．D．
2．〔 2021?武汉模拟〕如图∠ BAC=60 °，半径长 1 的⊙ O 与∠ BAC 的两边相切，P 为⊙ O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 交射线 AB 、AC 于 D、 E 两点，连接DE，那么线段DE 长度的最大值为〔〕
A．3B．6C．D．
3．〔 2021?武汉模拟〕如图， P 为⊙ O 内的一个定点， A 为⊙ O 上的一个动点，射线AP 、AO 分别与⊙ O 交于 B 、C 两点．假设⊙ O 的半径长为 3， OP=，那么弦BC的最大值为〔〕
A ． 2
B ． 3C．D．3
4．〔 2021?黄陂区校级模拟〕如图，扇形AOD 中，∠ AOD=90 °，OA=6 ，点 P 为弧 AD 上任意一点〔不与点 A 和 D 重合〕， PQ⊥ OD 于 Q，点 I 为△OPQ 的内心，过 O， I 和 D 三点的圆的半径为 r．那么当点 P
在弧 AD 上运动时， r 的值满足〔〕
A ． 0＜r ＜3
B ．r=3 C．3＜ r＜ 3 D ．r=3
5．〔 2021?苏州〕如图， A 、B 两点的坐标分别为〔2，0〕、〔 0，2〕，⊙ C 的圆心坐标
为〔﹣ 1，0〕，半径为 1．假设 D 是⊙ C 上的一个动点，线
段DA 与 y 轴交于点 E，那么△ ABE
面积的最小值是〔〕
A ． 2B． 1C． D ．
6．〔 2021?市中区模拟〕如图， A 、B 两点的坐标分别为〔8， 0〕、〔0，﹣ 6〕，⊙ C 的
圆心坐标为〔 0，7〕，半径为 5．假设 P 是⊙ C 上的一个动点，线
段PB 与 x 轴交于点 D ，那么
△ ABD 面积的最大值是〔〕
A．63B． 31C． 32D． 30
7．〔 2021?枣庄〕如图，线段 OA 交⊙ O 于点 B，且 OB=AB ，点 P 是⊙ O 上的一个动
点，那么∠ OAP 的最大值是〔〕
A ． 90° B． 60° C． 45° D． 30°
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合用标准文案
二．填空题〔共12 小题〕
8．〔 2021?武汉〕如图， E， F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足AE=DF ．连接 CF 交 BD 于点 G，连接
BE 交 AG 于点 H ．假设正方形的边长为2，那么线段DH 长度的最小值是．
9．〔 2021?黄陂区校级模拟〕如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB=90 °， AC=4 ， BC=3 ，点 D 是平面内的一个动点，且AD=2 ， M 为 BD 的中点，在 D 点运动过程中，线段 CM 长度的取值范围是．
10．〔 2021?宁波〕如图，△ ABC 中，∠ BAC=60 °，∠ ABC=45 °， AB=2， D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径画⊙ O 分别交 AB ， AC 于 E， F，连接 EF，那么线段 EF 长度的最小值
为．
11．〔2021?峨眉山市一模〕如图，直线l 与⊙ O 相离， OA ⊥ l 于点 A ， OA=10 ， OA 与⊙ O 订交于点 P， AB 与⊙ O 相切于点 B，BP 的延长线交直线l 于点 C．假设⊙ O 上存在点 Q，使△ QAC 是以 AC 为底边的等腰三角形，那么半径 r 的取值范围是：．
12．〔 2021?长春模拟〕如图，在△ABC 中，∠ C=90 °，AC=12 ，BC=5 ，经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CA 、CB 分别订交于点 P、Q，那么 PQ 长的最小值为．
13．〔 2021?陕西〕如图， AB 是⊙ O 的一条弦，点 C 是⊙ O 上一动点，且∠ ACB=30 °，点 E、 F 分别是 AC 、 BC 的中点，直线 EF 与⊙ O 交于 G、 H 两点．假设⊙ O 的半径
为7，那么 GE+FH 的最大值为．
14．〔 2021?咸宁〕如图，在 Rt △ AOB 中， OA=OB=3，⊙ O 的半径为1，点 P 是 AB 边上的动点，过点P作⊙O 的一条切线 PQ〔点 Q 为切点〕，那么切线 PQ 的最小值为．
15．〔 2021?内江〕在平面直角坐标系xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点A〔 13，0〕，直线 y=kx ﹣ 3k+4 与⊙ O 交于B、 C 两点，那么弦 BC 的长的最小值
为．
16．〔 2021?苏州校级一模〕如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心， 2 为半径
画⊙ O，P 是⊙ O 是一动点且 P 在第一象限内，过P 作⊙ O 切线与 x 轴订交于点 A ，与 y 轴
订交于点 B ．那么线段 AB 的最小值是．
17．〔2021 秋 ?江阴市校级期中〕如图，⊙ O 与正方形 ABCD 的两边 AB 、AD 相切，且 DE
与⊙ O 相切于 E 点．假设正方形 ABCD 的周长为 28，且 DE=4 ，那么 sin∠ ODE=．
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合用标准文案
18．〔 2021 春 ?兴化市校级月考〕以以下图， A 〔 1， y1〕，B 〔2， y2〕为反比率函数 y=图象上的两点，动点P 〔 x， 0〕在 x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段 BP 之差到达最大时，点P 的坐标是．
19．〔 2021?泰兴市二模〕如图，定长弦CD 在以 AB 为直径的⊙ O 上滑动〔点C、D 与点 A 、B 不重合〕， M 是 CD 的中点，过点 C 作 CP⊥ AB 于点 P，假设 CD=3 ， AB=8 ，PM=l ，那么 l 的最大值是．
三．解答题〔共 5 小题〕
20．〔 2021?武汉模拟〕如图，在边长为 1 的等边△ OAB 中，以边 AB 为直径作⊙ D，以 O 为
圆心 OA 长为半径作圆 O，C 为半圆 AB 上不与 A 、B 重合的一动点，射线 AC 交⊙ O 于点 E，
BC=a， AC=b ．
〔 1〕求证： AE=b+a；
〔 2〕求 a+b 的最大值；
22
〔 3〕假设 m 是关于 x 的方程： x +ax=b + ab 的一个根，求
m 的取值范围．
21．〔 2021 春 ?泰兴市校级期中〕如图，E、 F 是正方形ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足AE=DF ．连接 CF 交BD 于 G，连接 BE 交 AG 于 H．正方形ABCD 的边长为4cm，解决以下问题：
〔 1〕求证： BE⊥ AG ；
〔 2〕求线段DH 的长度的最小值．
22．：如图，AB 是⊙ O 的直径，在AB 的两侧有定点 C 和动点 P，AB=5 ， AC=3 ．点 P 在上运动〔点P 不与 A ，B 重合〕， CP 交 AB 于点 D ，过点 C 作 CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q．
〔 1〕求∠ P 的正切值；
〔 2〕当 CP⊥ AB 时，求 CD 和 CQ 的长；
〔 3〕当点 P 运动到什么地址时，CQ 取到最大值？求此时CQ 的长．
23．〔 2021?日照〕问题背景：
合用标准文案
如图〔 a〕，点 A 、B 在直线 l 的同侧，要在直线l 上找一点C，使 AC 与 BC 的距离之和最小，我们可以作出点 B 关于 l 的对称点B′，连接 AB ′与直线 l 交于点 C，那么点 C 即为所求．
〔 1〕实践运用：
如图〔 b〕，，⊙ O 的直径 CD 为 4，点 A 在⊙ O 上，∠ ACD=30 °， B 为弧 AD 的中点， P 为直径 CD 上一动点，
那么 BP+AP 的最小值为．
〔 2〕知识拓展：
如图〔 c〕，在 Rt △ ABC 中， AB=10 ，∠ BAC=45 °，∠ BAC 的均分线交 BC 于点 D ，E、 F 分别是线段 AD 和 AB 上的动点，求 BE+EF 的最小值，并写出解答过程．
24．〔 2021?苏州〕如图，半径为 2 的⊙ O 与直线 l 相切于点 A ，点 P 是直径 AB 左侧
半圆上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 C，PC 与⊙ O 交于点 D，连接PA、 PB，
设 PC 的长为 x〔 2＜x＜ 4〕．
（1〕当 x= 时，求弦 PA、 PB 的长度；
（2〕当 x 为何值时， PD?CD 的值最大？最大值是多少？
25、如图，在等腰Rt△ ABC中，∠ C=90°， AC=BC=4， D 是 AB的中点，
点 E 在 AB 边上运动〔点 E 不与点 A 重合〕，
过 A、D、 E 三点作⊙ O，⊙ O交 AC于另一点 F，在此运动变化的过程中，线段 EF 长度的最小值为．
A
E
F
D
E O
O
26 、如图，线段
B D
C A C B
AB=4， C 为线段 AB 上的一个动点，以
AC、 BC为边作等边△ ACD和等边△ BCE，⊙ O外接于△
CDE，
那么⊙ O半径的最小值为().
A.4
B.23
C.
32
D. 2 32
27、如图，直角△ AOB中，直角极点 O在半径为 1 的圆心上，斜边与圆相切，延长AO，BO分别与圆交于 C， D．试求四边形 ABCD面积的最小值．
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初中数学组卷圆的最值问题
参照答案与试题解析
一．选择题〔共7 小题〕
1．〔 2021 春 ?兴化市月考〕在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为〔 3， 0〕，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点 C 为第一象限内一点，且AC=2 ，设 tan∠ BOC=m ，那么 m 的取值范围是〔〕
A ． m≥0 B．C．D．
【考点】直线与圆的地址关系；坐标与图形性质；锐角三角函数的定义．
【解析】 C 在以 A 为圆心，以 2 为半径的圆周上，只有当OC 与圆 A 相切〔即到 C 点〕时，∠ BOC 最小，依照勾股定理求出此时的OC，求出∠ BOC= ∠CAO ，依照解直角三角形求出此时的值，依照tan∠ BOC 的增减性，即可求出答案．
【解答】解： C 在以 A 为圆心，以 2 为半径作圆周上，只有当OC 与圆 A 相切〔即到 C 点〕时，∠ BOC 最小，
AC=2 ， OA=3 ，由勾股定理得：OC=，
∵∠ BOA= ∠ ACO=90 °，
∴∠ BOC+ ∠ AOC=90 °，∠ CAO+ ∠ AOC=90 °，
∴∠ BOC= ∠ OAC ，
tan∠ BOC=tan ∠ OAC==，
随着 C 的搬动，∠ BOC 越来越大，
∵C 在第一象限，
∴C 不到x 轴点，
即∠ BOC＜ 90°，
∴tan∠BOC ≥，
应选 B．
【谈论】此题观察认识直角三角形，勾股定理，切线的性质等知识点的应用，能确定∠ BOC 的变化范围是解此题的要点，题型比较好，但是有必然的难度．
2．〔 2021?武汉模拟〕如图∠ BAC=60 °，半径长 1 的⊙ O 与∠ BAC 的两边相切，P 为⊙ O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 交射线 AB 、AC 于 D、 E 两点，连接DE，那么线段DE 长度的最大值为〔〕
A．3B．6C．D．
【考点】切线的性质．
【专题】计算题．
【解析】连接 AO 并延长，与圆O 交于 P 点，当 AF 垂直于 ED 时，线段 DE 长最大，设圆O 与 AB 相切于点 M，连接 OM ， PD，由对称性获取AF 为角均分线，获取∠ FAD 为 30 度，依照切线的性质获取OM 垂直于 AD ，在直角三角形 AOM 中，利用30 度角所对的直角边等于斜边的一半求出AO 的长，由 AO+OP求出 AP 的长，即为圆 P 的半径，由三角形AED 为等边三角形，获取DP 为角均分线，在直角三角形PFD 中，利用30 度所对的直角边等于斜边的一半求出PF 的长，再利用勾股定理求出FD 的长，由 DE=2FD 求出 DE 的长，即为DE 的最大值．
【解答】解：连接 AO 并延长，与ED 交于 F 点，与圆O 交于 P 点，此时线段ED 最大，
连接 OM ， PD，可得 F 为 ED 的中点，
∵∠ BAC=60 °， AE=AD ，
∴△ AED 为等边三角形，
∴ AF 为角均分线，即∠FAD=30 °，
在Rt△AOM 中，OM=1 ，∠OAM=30 °，
∴ OA=2 ，
∴ PD=PA=AO+OP=3 ，
在 Rt△ PDF 中，∠ FDP=30 °， PD=3 ，
∴PF= ，
依照勾股定理得：FD==，
那么 DE=2FD=3．
应选 D
合用标准文案
【谈论】此题观察了切线的性质，等边三角形的判断与性质，勾股定理，含30 度直角三角形的性质，熟练掌握切
线的性质是解此题的要点．
3．〔 2021?武汉模拟〕如图， P 为⊙ O 内的一个定点， A 为⊙ O 上的一个动点，射线AP 、AO 分别与⊙ O 交于 B 、C 两点．假设⊙ O 的半径长为 3， OP=，那么弦BC的最大值为〔〕
A．2 B ．3C．D．3
【考点】垂径定理；三角形中位线定理．
【解析】当 OP⊥ AB 时，弦 BC 最长，依照三角形相似可以确定答案．
【解答】解：当 OP⊥ AC 时，弦 BC 最长，
又∵ AC 是直径，
∴∠ CBA=90 °，因此△APO ∽△ ABC ，
∴，
又∵ OP=，
∴ BC=2．
故答案选 A ．
【谈论】此题观察了直径所对的圆周角是 900
这一性质的应用，以及如何取线段最值问题的做法，用好三角形相似是
解答此题的要点．
4．〔 2021?黄陂区校级模拟〕如图，扇形 AOD 中，∠ AOD=90 °，OA=6 ，点 P 为弧 AD 上任意一点〔不与点 A 和 D 重合〕， PQ⊥ OD 于 Q，点 I 为△OPQ 的内心，过 O， I 和 D 三点的圆的半径为 r．那么当点 P
在弧 AD 上运动时， r 的值满足〔〕
A ． 0＜r ＜3
B ．r=3 C．3＜ r＜ 3 D ．r=3
【考点】三角形的内切圆与内心．
【解析】连 OI，PI，DI ，由△ OPH 的内心为I，可获取∠ PIO=180 °﹣∠ IPO﹣∠ IOP=180 °﹣〔∠ HOP+ ∠ OPH〕=135 °，
并且易证△OPI ≌△ ODI ，获取∠ DIO= ∠ PIO=135 °，因此点 I 在以 OD 为弦，并且所对的圆周角为 135°的一段劣弧上；过 D 、I、O 三点作⊙ O′，如图，连 O′D，O′O，在优弧 AO 取点 P′，连 P′D，P′O，可得∠ DP ′O=180 °﹣ 135°=45 °，
得∠ DO′O=90°，O′O=3．
【解答】解：如图，连OI ，PI ， DI ，
∵△ OPH 的内心为I ，
∴∠ IOP=∠ IOD ，∠ IPO=∠ IPH ，
∴∠ PIO=180 °﹣∠ IPO﹣∠ IOP=180 °﹣〔∠ HOP+∠ OPH〕，
而 PH⊥ OD ，即∠ PHO=90 °，
∴∠ PIO=180 °﹣〔∠ HOP+∠ OPH〕=180°﹣〔180°﹣90°〕=135°，
在△OPI 和△ODI 中，
，
∴△ OPI≌△ ODI 〔 SAS〕，
∴∠ DIO= ∠ PIO=135 °，
因此点 I 在以 OD 为弦，并且所对的圆周角为 135°的一段劣弧上；过
D 、 I、O 三点作⊙ O′，如图，连 O′D，O′O，
在优弧 DO 取点 P′，连 P′D， P′O，
∵∠ DIO=135 °，
∴∠ DP′O=180 °﹣ 135°=45°，
∴∠ DO′O=90°，而 OD=6 ，
∴OO′=DO ′=3 ，
∴ r 的值为 3．
应选： D．
【谈论】此题观察的是三角形的内切圆与内心，依照题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的要点．
5．〔 2021?苏州〕如图， A 、B 两点的坐标分别为〔2，0〕、〔 0，2〕，⊙ C 的圆心坐标为〔﹣1，0〕，半径为1．假设
D 是⊙ C 上的一个动点，线段DA 与 y 轴交于点E，那么△ AB
E 面积的最小值是〔〕
A．2B．1C．D．
【考点】切线的性质；坐标与图形性质；三角形的面积；相似三角形的判断与性质．
【专题】压轴题；动点型．
【解析】由于 OA 的长为定值，假设△ ABE 的面积最小，那么 BE 的长最短，此时 AD 与⊙ O 相切；可连接 CD ，在 Rt△ADC 中，由勾股定理求得 AD 的长，即可获取△ ADC 的面积；易证得△AEO ∽△ ACD ，依照相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ AOE 的面积，进而可得出△ AOB和△AOE的面积差，由此得解．
【解答】解：假设△ ABE 的面积最小，那么AD 与⊙ C 相切，连接C D，那么 CD ⊥AD ；
Rt△ ACD 中， CD=1 ， AC=OC+OA=3 ；
由勾股定理，得：AD=2；
∴ S△ACD = A D ?CD=；
易证得△ AOE ∽△ ADC ，
∴=〔
22
，〕 =〔〕 =
即 S△AOE = S△ADC = ；
∴ S△ABE =S△AOB﹣ S△AOE=×2×2﹣=2﹣；
另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！
应选： C．
【谈论】此题主要观察了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；可以正确的判断出△BE面积最小时 AD 与⊙ C 的地址关系是解答此题的要点．
6．〔2021?市中区模拟〕如图， A 、B 两点的坐标分别为〔 8，0〕、〔 0，﹣ 6〕，⊙ C 的圆心坐标为〔0，7〕，半径为 5．假设 P 是⊙ C 上的一个动点，线段 PB 与 x 轴交于点 D，那么△ ABD 面积的最大值是〔〕
A．63 B．31C．32D．30
【考点】一次函数综合题．
【解析】当直线 BP 与圆相切时，△ABD 的面积最大，易证△OBD ∽△ PBC，依照相似三角形的对应边的比相等即可求
得 OD 的长，那么 AD 的长度可以求得，最后利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：当直线BP 与圆相切时，△ ABD的面积最大．
连接 PC，那么∠ CPB=90 °，
在直角△ BCP 中， BP===12．
∵∠ CPB=90 °．
∴∠ DOB= ∠ CPB=90 °
又∵∠ DBP= ∠ CBP，
∴△ OBD ∽△ PBC ，
∴===，
∴OD= PC= ．
∴AD=OD+OA= +8= ，
∴ S△ABD = AD ?OB=××6=31．
应选 B．
【谈论】此题观察了切线的性质，以及相似三角形的判断与性质，理解△ ADB的面积最大的条件是要点．
7．〔 2021?枣庄〕如图，线段OA 交⊙ O 于点 B，且 OB=AB ，点 P 是⊙ O 上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是〔〕
A ． 90° B． 60° C． 45° D． 30°
【考点】切线的性质；含30 度角的直角三角形．
【解析】当 AP 与⊙ O 相切时，∠ OAP 有最大值，连接OP，依照切线的性质得OP⊥AP ，由 OB=AB 得 OA=2OP ，尔后依照含30 度的直角三角形三边的关系即可获取此时∠OAP 的度数．
【解答】解：当 AP 与⊙ O 相切时，∠ OAP 有最大值，连接 OP，如图，那
么 OP⊥AP，
∵ OB=AB ，
∴ OA=2OP ，
∴∠ PAO=30 °．
应选 D．
【谈论】此题观察了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也观察了含30 度的直角三角形三边的关系．
二．填空题〔共 12 小题〕
8．〔 2021?武汉〕如图， E， F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足AE=DF ．连接 CF 交 BD 于点 G，连接BE 交 AG 于点 H ．假设正方形的边长为 2，那么线段 DH 长度的最小值是﹣ 1 ．
【考点】正方形的性质．
【专题】压轴题．
【解析】依照正方形的性质可得 AB=AD=CD ，∠ BAD= ∠ CDA ，∠ ADG= ∠CDG ，尔后利用“边角边〞证明△ ABE 和△ DCF 全等，依照全等三角形对应角相等可得∠ 1=∠ 2，利用“SAS 〞证明△ADG 和△ CDG 全等，依照全等三角形对应角相等可得∠ 2=∠ 3，进而获取∠ 1=∠ 3，尔后求出∠ AHB=90 °，取 AB 的中点 O，连接 OH 、OD ，依照直角三
角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH= AB=1 ，利用勾股定理列式求出OD ，尔后依照三角形的三边关系可知
当 O、D 、 H 三点共线时， DH 的长度最小．
【解答】解：在正方形 ABCD 中， AB=AD=CD ，∠ BAD= ∠ CDA ，∠ ADG= ∠ CDG ，在
△ABE 和△ DCF 中，
，
∴△ ABE ≌△ DCF 〔SAS〕，
∴∠ 1=∠ 2，
在△ADG 和△CDG 中，
，
∴△ ADG ≌△ CDG 〔 SAS〕，
∴∠ 2=∠ 3，
∴∠ 1=∠ 3，
∵∠ BAH+ ∠ 3=∠ BAD=90 °，
∴∠ 1+∠ BAH=90 °，
∴∠ AHB=180 °﹣ 90°=90°，
取 AB 的中点 O，连接 OH 、OD，
那么 OH=AO= AB=1 ，
在 Rt△ AOD 中， OD===，
依照三角形的三边关系，OH+DH ＞ OD ，
∴当 O、D 、H 三点共线时， DH 的长度最小，
最小值 =OD ﹣OH=﹣1．
〔解法二：可以理解为点H 是在 Rt△ AHB ， AB 直径的半圆上运动当O、 H、 D 三点共线时， DH 长度最小〕故答案为：﹣ 1．
【谈论】此题观察了正方形的性质，全等三角形的判断与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，
三角形的三边关系，确定出 DH 最小时点 H 的地址是解题要点，也是此题的难点．
9．〔 2021?黄陂区校级模拟〕如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB=90 °， AC=4 ， BC=3 ，点 D 是平面内的一个动点，且AD=2 ， M 为 BD 的中点，在 D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是＜CM＜．
【考点】轨
迹．【解析】作AB 求得CE和的中点 E，连接 EM 、 CE，依照直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理的长，尔后在△ CEM 中依照三边关系即可求解．
【解答】解：作 AB 的中点 E，连接 EM、 CE．
在直角△ ABC 中， AB===5，
∵E 是直角△ ABC 斜边 AB 上的中点，
∴ CE= AB= ．
∵M 是 BD 的中点， E 是 AB 的中点，
∴ ME= AD=1 ．
∴在△CEM 中，﹣1＜CM＜+1，即＜CM＜．
故答案是：＜CM．
【谈论】此题观察了轨迹，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
10．〔 2021?宁波〕如图，△ ABC中，∠ BAC=60°，∠ ABC=45°，AB=2，D 是线段BC上的一个动点，以AD 为
直径画⊙ O 分别交 AB ， AC 于 E， F，连接 EF，那么线段 EF 长度的最小值为．
【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．
【专题】压轴题．
【解析】由垂线段的性质可知，当AD 为△ ABC 的边 BC 上的高时，直径AD 最短，此时线段
EF=2EH=20E ?sin∠ EOH=20E ?sin60°，因此当半径 OE 最短时， EF 最短，连接OE， OF，过 O 点作 OH ⊥ EF，垂足为 H ，在 Rt△ ADB 中，解直角三角形求直径AD ，由圆周角定理可知∠EOH=∠ EOF=∠ BAC=60°，在Rt△ EOH
中，解直角三角形求EH ，由垂径定理可知EF=2EH ．
【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD 为△ ABC 的边 BC 上的高时，直径AD 最短，
如图，连接OE， OF，过 O 点作 OH⊥ EF，垂足为H ，
∵在 Rt△ ADB 中，∠ ABC=45 °， AB=2，
∴AD=BD=2 ，即此时圆的直径为 2，
由圆周角定理可知∠ EOH= ∠ EOF=∠ BAC=60 °，
合用标准文案
∴在 Rt△ EOH 中， EH=OE ?sin ∠EOH=1 ×=，
由垂径定理可知EF=2EH=．
故答案为：．
【谈论】此题观察了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．要点是依照运动变化，找出满足条件的
最小圆，再解直角三角形．
11．〔2021?峨眉山市一模〕如图，直线l 与⊙ O 相离， OA ⊥ l 于点 A ， OA=10 ， OA 与⊙ O 订交于点 P， AB 与⊙ O 相切于点B，BP 的延长线交直线l 于点 C．假设⊙ O 上存在点 Q，使△ QAC 是以 AC 为底边的等腰三角形，那么半径 r 的取值范围是：2≤r＜10．
【考点】直线与圆的地址关系．
【解析】第一证明 AB=AC ，再依照得出 Q 在 AC 的垂直均分线上，作出线段 AC 的垂直均分线 MN ，作 OE⊥MN ，求出 OE ＜ r，求出 r 范围即可．
【解答】解：连接 OB．如图 1，
∵AB 切⊙ O 于 B，OA ⊥AC ，
∴∠ OBA= ∠ OAC=90 °，
∴∠ OBP+ ∠ABP=90 °，∠ ACP+ ∠ APC=90 °，
∵ OP=OB ，
∴∠ OBP= ∠OPB，
∵∠ OPB= ∠APC ，
∴∠ ACP= ∠ABC ，
∴ AB=AC ，
作出线段 AC 的垂直均分线MN ，作 OE⊥MN ，如图 2，
∴ OE= AC= AB=，
又∵圆 O 与直线 MN 有交点，
∴ OE=≤r，
∴≤2r，
22
即： 100﹣ r ≤4r ，
合用标准文案
∴r 2
≥20，
∴r≥2 ．
∵OA=10 ，直线 l 与⊙ O 相离，
∴ r＜10，
∴ 2 ≤r＜ 10．
故答案为： 2≤r＜10．
【谈论】此题观察了等腰三角形的性质和判断，相似三角形的性质和判断，切线的性质，勾股定理，直线与圆的
地址关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．此题综合性比较强，有必然的难度．
12．〔 2021?长春模拟〕如图，在△ABC中，∠ C=90°，AC=12，BC=5，经过点C且与边AB相切的动圆与CA 、CB
分别订交于点P、Q，那么 PQ 长的最小值为．
【考点】切线的性质；垂线段最短；勾股定理．
【解析】过 C 作 CD⊥ AB 于 D，在△ABC 中，由勾股定理求出AB=13 ，由三角形面积公式求出CD=，当CD为过 C 点的圆的直径时，此时圆的直径最短，是，求出PQ为圆的直径即可．
【解答】解：过 C 作 CD⊥AB 于 D，
在△ ABC 中，∠ C=90°， AC=12 ，BC=5 ，由勾股定理得：AB=13 ，
由三角形面积公式得：S= AC ×BC=AB ×CD ，
CD=，
合用标准文案
当 CD 为过 C 点的圆的直径时，此时圆的直径最短，是，
∵∠ BCA=90 °，
∴ PQ 为圆的直径，
即此时 PQ 的长是，
故答案为：．
【谈论】此题观察了勾股定理，三角形面积，圆周角定理，垂线段最短等知识点的应用，要点是求出圆的直径．
13．〔 2021?陕西〕如图， AB 是⊙ O 的一条弦，点 C 是⊙ O 上一动点，且∠ ACB=30 °，点 E、 F 分别是 AC 、 BC 的中点，直线 EF 与⊙ O 交于 G、 H 两点．假设⊙ O 的半径为 7，那么 GE+FH 的最大值为 10.5 ．
【考点】圆周角定理；三角形中位线定理．
【专题】压轴题．
【解析】由点 E、 F 分别是 AC 、 BC 的中点，依照三角形中位线定理得出EF= AB=3.5 为定值，那么 GE+FH=GH ﹣
EF=GH ﹣，因此当 GH 取最大值时， GE+FH 有最大值．而直径是圆中最长的弦，故当GH为⊙ O的直径时，GE+FH 有最大值14﹣．
【解答】解：当 GH 为⊙ O 的直径时， GE+FH 有最大值．
当 GH 为直径时， E 点与 O 点重合，
∴ AC 也是直径， AC=14 ．
∵∠ ABC 是直径上的圆周角，
∴∠ ABC=90 °，
∵∠ C=30°，
∴ AB=AC=7 ．
∵点 E、 F 分别为 AC 、 BC 的中点，
∴ EF= AB=3.5 ，
∴ GE+FH=GH ﹣ EF=14﹣．
故答案为：．
【谈论】此题结合动点观察了圆周角定理，三角形中位线定理，有必然难度．确定GH 的地址是解题的要点．
14．〔 2021?咸宁〕如图，在Rt △ AOB 中， OA=OB=3，⊙ O的半径为1，点 P 是 AB 边上的动点，过点P 作⊙ O 的一条切线PQ〔点 Q 为切点〕，那么切线 PQ 的最小值为2．
【考点】 切线的性质；等腰直角三角形．
【专题】 压轴题．
【解析】 第一连接 OP 、OQ ，依照勾股定理知定理即可求得答案．
【解答】 解：连接 OP 、OQ ．
∵ PQ 是⊙ O 的切线， ∴ OQ ⊥ PQ ；
依照勾股定理知 PQ 2 =OP 2﹣ OQ 2， ∴当 PO ⊥ AB 时，线段 PQ 最短，
∵在 Rt △ AOB 中， OA=OB=3 ，
∴ AB=OA=6 ， ∴ OP= =3，
∴ PQ= = =2 ．
故答案为： 2
．
合用标准文案
2 2 2
，可适合 OP ⊥ AB 时，即线段 PQ 最短，尔后由勾股
PQ =OP ﹣ OQ
【谈论】 此题观察了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意获适合 PO ⊥ AB 时，线段 PQ 最短是要点．
15．〔 2021?内江〕在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点
A 〔 13，0〕，直线 y=kx ﹣ 3k+4 与⊙ O 交于
B 、
C 两点，那么弦 BC 的长的最小值为 24 ．
【考点】 一次函数综合题． 【专题】 压轴题．
【解析】依照直线y=kx ﹣ 3k+4 必过点 D 〔 3， 4〕，求出最短的弦 CB 是过点 D 且与该圆直径垂直的弦，再求出OD
的长，再依照以原点 O 为圆心的圆过点 A 〔 13，0〕，求出 OB 的长，再利用勾股定理求出 BD ，即可得出答案．【解答】解：∵直线 y=kx ﹣ 3k+4=k 〔 x﹣3〕 +4，
∴k〔 x﹣ 3〕 =y ﹣ 4，
∵ k 有无数个值，
∴x﹣ 3=0 ，y﹣ 4=0 ，解得 x=3， y=4 ，
∴直线必过点 D〔 3， 4〕，
∴最短的弦 CB 是过点 D 且与该圆直径垂直的弦，∵
点 D 的坐标是〔 3， 4〕，
∴OD=5 ，
∵以原点 O 为圆心的圆过点 A 〔 13， 0〕，
∴圆的半径为13，
∴OB=13 ，
∴BD=12 ，
∴BC 的长的最小值为 24；故
答案为： 24．
【谈论】此题观察了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，要点是求出BC 最短时的地址．
16．〔 2021?苏州校级一模〕如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心， 2 为半径画⊙ O， P 是⊙ O 是一动
点且 P 在第一象限内，过P 作⊙ O 切线与 x 轴订交于点 A ，与 y 轴订交于点B．那么线段AB 的最小值是4．．
【考点】切线的性质；坐标与图形性质．
【解析】如图，设 AB 的中点为 C，连接 OP，由于 AB 是圆的切线，故△OPC是直角三角形，有OP＜ OC，因此当
OC 与 OP 重合时， OC 最短；
【解答】解：〔 1〕线段 AB 长度的最小值为4，
原由以下：
∴OP⊥AB ，
取 AB 的中点 C，
∴ AB=2OC ；
当 OC=OP 时， OC 最短，
即AB 最短，
此时 AB=4 ．
故答案为： 4．
【谈论】此题利用了切线的性质，等腰直角三角形的性质求解，属于基础性题目．
17．〔 2021 秋 ?江阴市校级期中〕如图，⊙O 与正方形ABCD 的两边 AB 、 AD 相切，且DE 与⊙ O 相切于 E 点．假设
正方形 ABCD 的周长为 28，且 DE=4 ，那么 sin∠ ODE=．
【考点】切线的性质；正方形的性质．
【解析】先证得四边形ANOM 是正方形，求出AM 长，依照勾股定理求得OD 的长，依照解直角三角形求出即可．【解答】解：设切线AD 的切点为M ，切线 AB 的切点为N，连接 OM 、 ON、 OE，
∵四边形 ABCD 是正方形，正方形ABCD 的周长为28，
∴AD=AB=7 ，∠ A=90 °，
∵圆 O 与正方形ABCD 的两边 AB 、 AD 相切，
∴∠ OMA= ∠ONA=90 °=∠ A ，
∵OM=ON ，
∴四边形 ANOM是正方形，
∵AD 和DE 与圆O相切，
∴OE⊥DE ，DM=DE=4 ，
∴ AM=7 ﹣ 4=3 ，
∴ OM=ON=OE=3 ，
在 RT△ ODM 中， OD==5，
∵OE=OM=5 ，
∴sin∠ODE= = ．
故答案为．
【谈论】此题观察了正方形的性质和判断，切线的性质，切线长定理等知识点的应用，要点是求出AM 长和得出DE=DM ．
18．〔 2021 春 ?兴化市校级月考〕以以下图， A 〔 1， y1〕，B 〔2， y2〕为反比率函数y= 图象上的两点，动点 P 〔 x， 0〕在 x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段 BP 之差到达最大时，点 P 的坐标是〔3， 0〕．
【考点】反比率函数图象上点的坐标特色；待定系数法求一次函数解析式；三角形三边关系．
【专题】计算题．
【解析】先依照反比率函数图象上点的坐标特色确定 A 点坐标为〔 1， 1〕， B 点坐标为〔 2，〕，再利用待定系数
法确定直线AB 的解析式为y= ﹣x+，尔后依照三角形三边的关系获取|PA﹣ PB|≤AB ，当点 P 为直线 AB 与 x 轴
的交点时，取等号，那么线段AP 与线段 BP 之差到达最大，尔后确定直线y=﹣x+与x轴的交点坐标即可．
【解答】解：把 A 〔 1， y1〕， B〔 2， y2〕代入 y=得y1=1，y2=，那么A点坐标为〔1，1〕，B点坐标为〔2，〕，
设直线 AB 的解析式为y=kx+b ，
把 A 〔 1， 1〕， B〔 2，〕代入得，解得，
因此直线 AB 的解析式为y= ﹣x+，
由于 |PA﹣ PB|≤AB ，
因此当点 P 为直线 AB 与 x 轴的交点时，线段AP 与线段 BP 之差到达最大，
把 y=0 代入 y= ﹣x+得﹣x+ =0，解得 x=3 ，
因此 P 点坐标为〔 3， 0〕．
故答案为〔 3， 0〕．
【谈论】此题观察了反比率函数图象上点的坐标特色：反比率函数y=〔k为常数，k≠0〕的图象是双曲线，图象上
19．〔 2021?泰兴市二模〕如图，定长弦 CD 在以 AB 为直径的⊙ O 上滑动〔点 C、D 与点 A 、B 不重合〕， M 是 CD 的中点，过点 C 作 CP⊥ AB 于点 P，假设 CD=3 ， AB=8 ，PM=l ，那么 l 的最大值是 4 ．
【考点】垂径定理；三角形中位线定理．
【解析】当 CD ∥ AB 时， PM 长最大，连接 OM ， OC，得出矩形 CPOM ，推出 PM=OC ，求出 OC 长即可．【解
答】解：法①：如图：当 CD ∥ AB 时， PM 长最大，连接 OM ， OC，
∵CD∥AB ，CP⊥CD，
∴ CP⊥AB ，
∵M为CD中点，OM过O，
∴OM ⊥CD，
∴∠ OMC= ∠ PCD= ∠ CPO=90°，
∴四边形 CPOM 是矩形，
∴PM=OC ，
∵⊙ O 直径 AB=8 ，
∴半径 OC=4 ，
即 PM=4 ，
故答案为： 4．
法②：连接 CO，MO ，依照∠ CPO= ∠CM0=90 °，因此 C，M ，O，P，四点共圆，且 CO 为直径．连接 PM，那么 PM 为⊙ E 的一条弦，当 PM 为直径时 PM 最大，因此 PM=CO=4 时 PM 最大．即 PM max=4
【谈论】此题观察了矩形的判断和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，要点是找出吻合条件的CD 的地址，题
目比较好，但是有必然的难度．
三．解答题〔共 5 小题〕
20．〔 2021?武汉模拟〕如图，在边长为 1 的等边△OAB 中，以边 AB 为直径作⊙ D，以 O 为圆心 OA 长为半径作圆
O， C 为半圆 AB 上不与 A 、B 重合的一动点，射线AC 交⊙ O 于点 E， BC=a ， AC=b ．
〔 1〕求证： AE=b+a；
〔 2〕求 a+b 的最大值；
22
〔 3〕假设 m 是关于 x 的方程： x +ax=b + ab 的一个根，求
m 的取值范围．
【考点】 圆的综合题．
【解析】〔 1〕第一连接 BE ，由 △OAB 为等边三角形，可得∠ AOB=60 °，又由圆周角定理，可求得∠ E 的度数，又
由 AB 为⊙ D 的直径，可求得
CE 的长，既而求得 AE=b+
a ；
（
2〕第一过点 C 作 CH ⊥ AB 于 H ，在 Rt △ ABC 中， BC=a ， AC=b ，AB=1 ，可得〔 a+b 〕 2 2 2
=a +b +2ab=1+2ab=1+2CH ?AB=1+2CH ≤1+2AD=1+AB=2 ，即可求得答案；
〔 3〕由 x 2
+ ax=b 2 + ab ，可得〔 x ﹣ b 〕〔 x+b+ a 〕 =0 ，那么可求得 x 的值，既而可求得
m 的取值范围．
【解答】 解：〔 1〕连接 BE ，
∵△ OAB 为等边三角形， ∴∠ AOB=60 °， ∴∠ AEB=30 °， ∵ AB 为直径，
∴∠ ACB= ∠ BCE=90 °， ∵ BC=a ，
∴ BE=2a ， CE= a ， ∵ AC=b ，
∴ AE=b+a ；
〔 2〕过点 C 作 CH ⊥ AB 于 H ，在 Rt △ABC 中， BC=a ， AC=b ， AB=1 ，
2
2
∴ a +b =1，
∵ S △ABC = AC ?BC= AB ?CH ，
∴ AC ?BC=AB ?CH ，
∴〔 a+b 〕 2
2
2
=a +b +2ab=1+2ab=1+2CH ?AB=1+2CH ≤1+2AD=1+AB=2 ， ∴ a+b ≤ ，
故 a+b 的最大值为
，
2
2
ab ，
〔 3〕∵ x + ax=b + ∴ x 2﹣ b 2+ ax ﹣ ab=0，
∴〔 x+b 〕〔x ﹣ b 〕 + a 〔 x ﹣b 〕 =0，
∴〔 x ﹣ b 〕〔 x+b+ a 〕 =0 ， ∴ x=b 或 x=﹣〔 b+ a 〕，
当 m=b 时， m=b=AC ＜AB=1 ，
∴ 0＜ m ＜ 1， 当 m=﹣〔 b+
a 〕时，由〔 1〕知 AE= ﹣ m ，
又∵ AB ＜ AE ≤2AO=2 ，
∴ 1＜﹣ m ≤2，∴﹣
∴ m 的取值范围为0＜ m＜ 1 或﹣ 2≤m＜﹣ 1．
【谈论】此题观察了圆周角定理、等边三角形的性质、完好平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度
较大，注意掌握数形结合思想与分类谈论思想的应用．
21．〔 2021 春 ?泰兴市校级期中〕如图，E、 F 是正方形ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足AE=DF ．连接 CF 交BD 于 G，连接 BE 交 AG 于 H．正方形ABCD 的边长为4cm，解决以下问题：
〔 1〕求证： BE⊥ AG ；
〔 2〕求线段DH 的长度的最小值．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判断与性质．
【解析】〔 1〕依照正方形的性质可得AB=AD=CD ，∠ BAD= ∠ CDA ，∠ ADG= ∠ CDG ，尔后利用“边角边〞证明△ABE 和△ DCF 全等，依照全等三角形对应角相等可得∠ 1=∠ 2，利用“边角边〞证明△ ADG 和△ CDG 全等，依照全等三
角形对应角相等可得∠ 2=∠ 3，进而获取∠ 1=∠ 3，尔后求出∠ AHB=90 °，再依照垂直的定义证明即可；
〔 2〕依照直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取AB 的中点 O，连接 OH 、 OD，尔后求出OH= AB=1 ，利用勾股定理列式求出OD ，尔后依照三角形的三边关系可知当O、D 、H 三点共线时， DH 的长度最小．
【解答】〔 1〕证明：在正方形 ABCD 中， AB=AD=CD ，∠ BAD= ∠CDA ，∠ ADG= ∠ CDG ，在
△ABE 和△ DCF 中，
，
∴△ ABE ≌△ DCF 〔SAS〕，
∴∠ 1=∠ 2，
在△ADG 和△CDG 中，
，
∴△ ADG ≌△ CDG 〔 SAS〕，
∴∠ 2=∠ 3，
∴∠ 1=∠ 3，。