新初中数学反比例函数知识点训练(2)

新初中数学反比例函数知识点训练(2)
一、选择题
1．如图，正方形OABC 的边长为6，D 为AB 中点，OB 交CD 于点Q ，Q 是y ＝k x
上一点，k 的值是（ ）
A ．4
B ．8
C ．16
D ．24
【答案】C
【解析】
【分析】 延长根据相似三角形得到:1:2BQ OQ =，再过点Q 作垂线，利用相似三角形的性质求出QF 、OF ，进而确定点Q 的坐标，确定k 的值．
【详解】
解：过点Q 作QF OA ⊥，垂足为F ，
OABC Q 是正方形，
6OA AB BC OC ∴====，90ABC OAB DAE ∠=∠=︒=∠，
D Q 是AB 的中点，
12
BD AB ∴=， //BD OC Q ， OCQ BDQ ∴∆∆∽，
∴
12BQ BD OQ OC ==， 又//QF AB Q ，
OFQ OAB ∴∆∆∽，
∴22213QF OF OQ AB OA OB ====+， 6AB =Q ，
2643QF ∴=⨯=，2643
OF =⨯=， (4,4)Q ∴，
Q 点Q 在反比例函数的图象上，
4416k ∴=⨯=，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q 的坐标是解决问题的关键．
2．如图，点A 在双曲线4y x =
上，点B 在双曲线(0)k y k x
=≠上，AB x P 轴，交y 轴于点C ．若2AB AC =，则k 的值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
【答案】D
【解析】
【分析】 过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，得出四边形ACOD 是矩形，四边形BCOE 是矩形，得出ACOD S 矩形=4，BCOE S k =矩形，根据AB=2AC ，即BC=3AC ，即可求得矩形BCOE 的面积，根据反比例函数系数k 的几何意义即可求得k 的值．
【详解】
过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，
∵AB ∥x 轴，
∴四边形ACOD 是矩形，四边形BCOE 是矩形，
∵AB=2AC ，
∴BC=3AC ，
∵点A 在双曲线4y x
=
上， ∴ACOD S 矩形=4，
同理BCOE S k =矩形，
∴矩形3BCOE ACOD S S =矩形矩形=12，
∴k=12，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数k 的几何意义，作出辅助线，构建矩形是解题的关键．
3．对于反比例函数2y x
=，下列说法不正确的是（ ） A ．点（﹣2，﹣1）在它的图象上 B ．它的图象在第一、三象限
C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大
D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 【答案】C
【解析】
【详解】
由题意分析可知，一个点在函数图像上则代入该点必定满足该函数解析式，点（-2，-1）代入可得，x=-2时，y=-1，所以该点在函数图象上，A 正确；因为2大于0所以该函数图象在第一，三象限，所以B 正确；C 中，因为2大于0，所以该函数在x ＞0时，y 随x 的增大而减小，所以C 错误；D 中，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，正确，
故选C.
考点：反比例函数
【点睛】
本题属于对反比例函数的基本性质以及反比例函数的在各个象限单调性的变化
4．已知点()11,A y -、()22,B y -都在双曲线32m y x +=
上，且12y y >，则m 的取值范围是（ ）
A ．0m <
B ．0m >
C ．32m >-
D ．32m <-
【答案】D
【分析】
根据已知得3+2m ＜0，从而得出m 的取值范围．
【详解】
∵点()11,A y -、()22,B y -两点在双曲线32m y x
+=上，且y 1＞y 2， ∴3+2m ＜0， ∴32
m <-
， 故选：D ．
【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当k ＞0时，该函数图象位于第一、三象限，当k ＜0时，函数图象位于第二、四象限．
5．一次函数y=ax+b 与反比例函数a b y x
-=
，其中ab ＜0，a 、b 为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一次函数的位置确定a 、b 的大小，看是否符合ab<0，计算a-b 确定符号，确定双曲线的位置．
【详解】
A. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y 轴负半轴，则b<0，
∴a−b>0，
∴反比例函数y=a b
x
-
的图象过一、三象限，
所以此选项不正确；
B. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴正半轴，则b>0，满足ab<0，
∴a−b<0，
∴反比例函数y=a b
x
-
的图象过二、四象限，
所以此选项不正确；
C. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，满足ab<0，
∴a−b>0，
∴反比例函数y=a b
x
-
的图象过一、三象限，
所以此选项正确；
D. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab>0，与已知相矛盾
所以此选项不正确；
故选C.
【点睛】
此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定a、b的大小
6．如图，直线y1＝x+b与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y2＝﹣5
x
（x＜
0）的图象交于C，D两点，点C的横坐标为﹣1，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF ⊥x轴于点F．下列说法正确的是（）
A．b＝5
B．BC＝AD
C．五边形CDFOE的面积为35
D．当x＜﹣2时，y1＞y2
【答案】B
【分析】
根据函数值与相应自变量的关系，可得C 点坐标，根据待定系数法，可得一次函数解析式，可判断A 选项；
根据解方程组，可得C 、D 点的坐标，根据全等三角形的判定与性质，可判断B 选项； 根据图形的分割，可得梯形、矩形，根据面积的和差，可判断C 选项；
根据函数与不等式的关系：函数图象在上方的函数值大，可判断D 选项．
【详解】
解：由反比例函数y 2＝﹣5
x （x ＜0）经过C ，点C 的横坐标为﹣1，得 y ＝﹣51
-＝5，即C （﹣1，5）． 反比例函数与一次函数交于C 、D 点，
5＝﹣1+b ，
解得b ＝6，故A 错误；
CE ⊥y 轴于E 点，E （0，﹣5），BE ＝6﹣5＝1．
反比例函数与一次函数交于C 、D 点，联立65y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩
， x 2+6x +5＝0
解得x 1＝﹣5，x 2＝﹣1，
当x ＝﹣5时，y ＝﹣5+6＝1，
即D （﹣5，1），即DF ＝1，
在△ADF 和△CBE 中，
DAF BCE AFD CEB DF BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
△ADF ≌△CBE （AAS ），
AD ＝BC ，故B 正确；
作CG ⊥x 轴，
S △CDFOE ＝S 梯形DFGC +S 矩形CGOE
＝()(15)4
22
DF CG FG
OG CG
++⨯
+g+1×5＝17，故C错误；
由一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，
得﹣5＜x＜﹣1，
即当﹣5＜x＜﹣1时，y1＞y2，故D错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数综合题，利用了自变量与函数值的对应关系，点的坐标与函数解析式的关系，全等三角形的判定与性质，图形分割法求图形的面积，函数图象与不等式的关系．
7．函数
k
y
x
=与y kx k
=-（0
k≠）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分k>0和k<0两种情况确定正确的选项即可.
【详解】
当k:>0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交 y轴于负半轴，y 随着x的增大而增大，A选项错误，C选项符合；
当k<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y轴于正半轴，y 随着x的增大而增减小，B. D均错误，
故选：C.
【点睛】
此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，熟记函数的性质是解题的关键.
8．使关于x的分式方程=2的解为非负数，且使反比例函数y=图象过第一、三象限时满足条件的所有整数k的和为（）.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
试题分析：分别根据题意确定k的值，然后相加即可．∵关于x的分式方程=2的解为
非负数，∴x=≥0，解得：k≥-1，∵反比例函数y=图象过第一、三象限，∴3﹣k ＞0，解得：k ＜3，∴-1≤k ＜3，整数为-1,0,1，2，∵x ≠0或1，∴和为-1+2=1，故选，B ． 考点：反比例函数的性质．
9．如图，是反比例函数3y x =和7y x
=-在x 轴上方的图象，x 轴的平行线AB 分别与这两个函数图象相交于点,A B ，点P 在x 轴上．则点P 从左到右的运动过程中，APB △的面积是（ ）
A ．10
B ．4
C ．5
D ．从小变大再变小
【答案】C
【解析】
【分析】 连接AO 、BO ，由AB ∥x 轴，得ABP ABO S S =V V ，结合反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．
【详解】
连接AO 、BO ，设AB 与y 轴交于点C ．
∵AB ∥x 轴，
∴ABP ABO S S =V V ，AB ⊥y 轴，
∵73522
ABO BOC AOC S S S -=+=
+=V V V ， ∴APB △的面积是：5．
故选C ．
【点睛】
本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数图象上的点与原点的连线，反比例函数图象上的点垂直于坐标轴的垂线段以及坐标轴所围成的三角形面积等于反比例函数比例系数绝对值的一半，是解题的关键．
10．下列函数：①y=-x；②y=2x；③
1
y
x
=-；④y=x2．当x<0时，y随x的增大而减小
的函数有（）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】B
【解析】
【分析】
分别根据一次函数、反比例函数及二次函数的性质进行逐一判断即可．
【详解】
一次函数y＝－x中k＜0，∴y随x的增大而减小，故本选项正确；
∵正比例函数y＝2x中，k＝2，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，故本选项错误；
∵反比例函数
1
y
x
-
＝中，k＝－1＜0，∴当x＜0时函数的图像在第二象限，此时y随x的
增大而增大，故本选项错误；
∵二次函数y＝x2，中a＝1＞0，∴此抛物线开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，故本选项正确．
故选B．
【点睛】
本题考查的是一次函数、反比例函数及二次函数的性质，解题关键是根据题意判断出各函
数的增减性．
11．函数y=1-k
x
与y=2x的图象没有交点,则k的取值范围是()
A．k<0 B．k<1 C．k>0 D．k>1
【答案】D
【解析】
【分析】
由于两个函数没有交点，那么联立两函数解析式所得的方程无解．由此可求出k的取值范围．
【详解】
令1-k
x
=2x，化简得：x2=
1-
2
k
；由于两函数无交点，因此
1-
2
k
＜0，即k＞1．
故选D．
【点睛】
函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．如果两函数无交点，那么联立两函数解析式所得的方程（组）无解．
12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两
点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y
k
x
（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD
的面积为25，则k的值为（）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为4，2，可得出横坐标，即可求得AE，BE的长，根据菱形的面积为5，求得AE的长，在Rt△AEB 中，即可得出k的值．
【详解】
过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，
∵A ，B 两点在反比例函数y k x =（x ＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2， ∴A （4k ，4），B （2k ，2）， ∴AE ＝2，BE 12=k 14
-k 14=k ， ∵菱形ABCD 的面积为25，
∴BC×AE ＝25，即BC 5=
， ∴AB ＝BC 5=，
在Rt △AEB 中，BE 22AB AE =
-=1 ∴
14
k ＝1， ∴k ＝4．
故选：C ．
【点睛】 本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．
13．如图，已知在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，AOB V 是直角三角形，90AOB ∠=︒，2OB OA =，点B 在反比例函数2y x =
上，若点A 在反比例函数k y x
=上，则k 的值为( )
A ．12
B ．12-
C ．14
D ．14
- 【答案】B
【解析】
【分析】 通过添加辅助线构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质可求得1,2x A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，然后由点的坐标即可求得答案．
【详解】
解：过点B 作BE x ⊥于点E ，过点A 作AF x ⊥于点F ，如图：
∵点B 在反比例函数2y x
=上 ∴设2,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∴OE x =，2BE x =
∵90AOB ∠=︒
∴90AOD BOD ∠+∠=︒
∴90BOE AOF ∠+∠=︒
∵BE x ⊥，AF x ⊥
∴90BEO OFA ∠=∠=︒
∴90OAF AOF ∠+∠=︒
∴BOE OAF ∠=∠
∴BOE OAF V V ∽
∵2OB OA = ∴12
OF AF OA BE OE BO === ∴121122OF BE x x =⋅
=⋅=，11222x AF OE x =⋅=⋅= ∴1,2x A x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭ ∵点A 在反比例函数k y x
=上
∴12x
k x
=- ∴12k =-
． 故选：B
【点睛】
本题考查了反比例函数与相似三角形的综合应用，点在函数图象上则点的坐标就满足函数解析式，结合已知条件能根据相似三角形的性质求得点A 的坐标是解决问题的关键．
14．如图，若直线2y x n =-+与y 轴交于点B ，与双曲线()20y x x
=-<交于点(),1A m ，则AOB V 的面积为（ ）
A ．6
B ．5
C ．3
D ．1.5
【答案】C
【解析】
【分析】 先根据题意求出A 点坐标，再求出一次函数解析式，从而求出B 点坐标，则问题可解.
【详解】
解：由已知直线2y x n =-+与y 轴交于点B ，与双曲线()20y x x =-
<交于点(),1A m ∴21m
=-则m=-2 把A （-2,1）代入到2y x n =-+，得
()122n =-⨯-+
∴n=-3
∴23y x =--
则点B （0，-3）
∴AOB V 的面积为
132=32
⨯⨯ 故应选：C
【点睛】
本题考查的是反比例函数与一次函数的综合问题，解题关键是根据题意应用数形结合思
想．
15．反比例函数21k y x
+=的图象上有两点()11,A a y -，()21,B a y +，若12y y <，则a 的取值范围（ ）
A ．1a <-
B ．1a >
C ．11a -<<
D ．这样的a 值不存在
【答案】C
【解析】
【分析】
由210k +>得出在同一分支上，反比例函数y 随x 的增大而减小，然后结合反比例函数的图象进行求解．
【详解】 210k +>Q ，
∴在同一分支上，反比例函数y 随x 的增大而减小，
11a a -<+Q ，12y y <，
∴点A ，B 不可能在同一分支上，只能为位于不同的两支上，
10a ∴-<且10a +>，
11a ∴-<<，
故选C ．
【点睛】
本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，注意反比例函数的图象有两个分支．
16．如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，反比例函数(0)k y k x
=
≠的图象过D 点和边BC 的中点E ，连接DE ，若△CDE 的面积是1，则k 的值是（ ）
A ．3
B ．4
C ．25
D ．6
【答案】B
【解析】
【分析】 设E 的坐标是m n k mn =（，），， 则C 的坐标是2m n （，）
，求得D 的坐标，然后根据三角
形的面积公式求得mn 的值，即k 的值．
【详解】
设E 的坐标是m n k mn =（，），，
， 则C 的坐标是（m ，2n ）， 在mn y x = 中，令2y n =，解得：2
m x =， ∵1CDE S =V ， ∴111,12222
m m n m n -=⨯=g 即 ∴4mn =
∴4k =
故选：B
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数的解析式，利用mn 表示出三角形的面积是关键．
17．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，△AOB 的两边分别与函数12,y y x x
=-=的图象交于B 、A 两点，则等于（ ）
A ．22
B ．12
C ．14
D 3【答案】A
【解析】
【分析】
过点A,B 作AC ⊥x 轴,BD ⊥x 轴,垂足分别为C,D.根据条件得到△ACO ∽△ODB.根据反比例函
数比例系数k 的几何意义得出2()S OBD OB S AOC OA ∆=∆＝121
＝12利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出
2OB OA =【详解】 ∵∠AOB ＝90°，
∴∠AOC +∠BOD ＝∠AOC +∠CAO ＝90°，
∠CAO ＝∠BOD ，
∴△ACO ∽△BDO ， ∴2()S OBD OB S AOC OA ∆=∆ , ∵S △AOC ＝12 ×2＝1，S △BOD ＝12×1＝12
， ∴2()OB OA ＝121
＝12 ， ∴2OB OA =， 故选A ．
【点睛】
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定与性质，解题关键在于做辅助线，然后得到相似三角形再进行求解
18．若点A （﹣4，y 1）、B （﹣2，y 2）、C （2，y 3）都在反比例函数1y x =-
的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( )
A ．y 1＞y 2＞y 3
B ．y 3＞y 2＞y 1
C ．y 2＞y 1＞y 3
D ．y 1＞y 3＞y 2 【答案】C
【解析】
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y 1、y 2、y 3的值，比较后即可得出结论.
【详解】
∵点A(﹣4，y 1)、B(﹣2，y 2)、C(2，y 3)都在反比例函数1y x =-
的图象上， ∴11144y =-
=-，21122y =-=-，312y =-， 又∵﹣12＜14＜12
， ∴y 3＜y 1＜y 2，
故选C.
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数值的大小比较，熟知反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数的解析式是解题的关键.
19．如图，A 、C 是函数1y x
=的图象上任意两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为B ，过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ．记Rt AOB ∆的面积为1S ，Rt COD ∆的面积为2S ，则1S 和2S 的大小关系是（ ）
A ．12S S >
B ．12S S <
C ．12=S S
D ．由A 、C 两点的位置确定
【答案】C
【解析】
【分析】 根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=
12k|． 【详解】
由题意得：S 1=S 2=
12|k|=12． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了反比例函数y ＝k x
中k 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=
12|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想．
20．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB （顶点为网格线交点）绕原点O 顺时针旋转90°，得到△OA ′B ′，若反比例函数y=k x
的图象经过点A 的对应点A′，则k 的值为（ ）
A．6 B．﹣3 C．3 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用旋转的性质得出A′点坐标，再利用反比例函数的性质得出答案．
【详解】
如图所示：
∵将△OAB（顶点为网格线交点）绕原点O顺时针旋转90°，得到△OA′B′，反比例函数
y=k
x
的图象经过点A的对应点A′，
∴A′（3，1），
则把A′代入y=k
x
，
解得：k=3．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出A′点坐标是解题关键．。