列方程解决平面图形问题

列方程解平面图形问题
一、引入。

同学们，下面这道平面图形问题你会解答吗？
已知图1中平行四边形的面积是48平方厘米，求阴影三角形面积是多少平方厘米？
1．学生尝试解答。

学生可能出现如下两种解法：
①根据平行四边形的面积是48平方厘
米、高是6厘米，可以求出平行四边形的底；
三角形的高和平行四边形相同，底比平行四
边形少5厘米，所以求出平行四边形的底，
就能求三角形的面积。

48÷6=8（厘米）（8- 5）×6÷2=9（平方厘米）
②这个三角形只给出了高，它的面积不能直接计算出来，可先把平行四边形分割成三部分（如图2），因为两边的两个三角形面积是相等的，中间的长方形面积又可求，所以阴影三角形面积等于（48-5×6）÷2=9（平方厘米）2．引导学生用代数方法解决问题。

第一种方法通过逆向思考，先求出平行四边形的底，再求出三角形的面积；第二种方法利用图形的特征，对图形进行巧妙地分割。

解决这个问题还可以用代数方法，设三角形的底为a，根据平行四边形面积为48，高为6，可列出方程：（5+a）×6=48
解方程，求得a=3
所以三角形面积为3×6÷2=9（平方厘米）
这是一道比较简单的问题，用上述三种方法都能解决。

如果是比较复杂的问题，用算术方法解决会非常困难，而代数方法会越来越有优势。

这一单元我们就一起来研究列方程解平面图形问题。

例1：长方形ABFE的宽是8厘米，如果长增加4.5厘米，得到新图形ABCD 的面积是168平方厘米。

如下图，求原长方形的面积。

由于新图形的宽与原长方形相同，学生会逆向思考，求出新长方形的长，用算术方法解决问题。

168÷8=21（厘米）（21-4.5）×8=132（平方厘米）
根据题意，新长方形的长比原长方形的长多4.5厘米，我们可以利用这一关系设未知数，利用新长方形的面积是168平方厘米列方程。

解：设原长方形的长为x厘米，根据题意列方程得：
（x＋4.5）×8=168
x＋4.5=21
x=16.5
16.5×8=132（平方厘米）
答：原长方形的面积为132平方厘米。

由于长方形的长是未知的，用算术方法解决问题需要逆向思考，根据面积求出边长；而代数方法则是用字母表示未知数量，直接应用面积的计算方法列出方程。

在解决复杂问题时，用代数的方法，正向思考会更简单。

例2：在长方形ABCD中，放入6个形状、大小相同的小长方形（如图），求小长方形的宽。

题目中大、小长方形长与宽的关系比较隐蔽，我们必须认真观察图形，找到数量之间的关系。

请同学们认真观察图形，你发现小长方形的长、宽，大长方形长、宽与已知数据之间有哪些关系？
通过观察，引导学生发现：小长方形的长+3个小长方形的宽=大长方形的长=14厘米，小长方形的长+小长方形的宽=大长方形的宽，2个小长方形的宽+6厘米=大长方形的宽。

如果设小长方形的宽为x厘米，根据上面的关系式你能找到相等的关系吗？由小长方形的长+3个小长方形的宽=大长方形的长=14厘米可以表示出小长方形长为14－3x厘米，再根据小长方形的长+小长方形的宽=大长方形的宽，可以表示出大长方形的宽为14－3x＋x=14－2x厘米；根据2个小长方形的宽+6厘米=大长方形的宽，大长方形的宽还可以表示为2x＋6厘米。

利用宽相等可以列出方程。

解：设小长方形的宽为x厘米，根据题意列方程为：
14－2x=2x＋6
4x=8
x=2
答：小长方形的宽为2厘米。

题目给的条件比较少，同学们要注意从图中挖掘隐蔽条件，从图形中分析出大长方形的宽可以用14－2x和2x＋6两种方式表示，根据这一等量关系列方程解答。

例3：如图，将一个三角形纸片折叠一下（如下图），原来三角形的面积是现在纸片盖住面积的1.5倍。

如果阴影部分的面积是1平方厘米，那么这个三角形的面积是多少平方厘米？
折叠后图形中出现了重叠部分（四边形DEFG），所以图形的面积变小了。

观察图形，你能发现变化前、后图形面积之间的关系吗？
三角形ABC面积=阴影面积+2个重叠部分的面积，折叠后图形的面积=阴影面积+1个重叠部分的面积。

解：设四边形DEFG的面积为x平方厘米。

X＋x＋1=（x＋1）×1.5
0.5x=0.5
X=1
三角形ABC的面积为：1＋1＋1=3（平方厘米）
答：三角形的面积为3平方厘米。

用代数方法解决问题，发现图形面积之间的关系，寻找到等量关系是解决问题的关键。

而这些关系往往隐藏在图形之中，需要我们认真观察图形，挖掘出隐蔽的数量关系。

例4：在直角三角形中截出一个面积最大的正方形（如图1）。

求这个正方形的面积。

（单位：厘米）
直接观察图形，我们很难发现三角形与正方形之间的关系。

在这种情况下，我们需要考虑添加辅助线，沟通图形之间的联系。

连接BD后，就可以把大三角形分成两部分，即三角形ABD和三角形BDC，这两部分都与正方形有直接联系，正方形的边长是每个三角形的高，只要用字母表示正方形的边长，就能表示出每个三角形的面积。

这样题目的等量关系就显现出来了：三角形ABC的面积等于三角形ABD与三角形BCD的面积和。

解：设正方形的边长为x米。

3x÷2＋7x÷2=3×7÷2
x=2.1
2.1×2.1=4.41（平方厘米）
答：这个正方形的面积是4.41平方厘米。

直接观察图形，我们只知道正方形在三角形之内，他们之间的关系却很难发现。

添加辅助线后，正方形与三角形之间就有了直接联系，等量关系也显现出来。

用代数方法解决比较复杂的平面图形问题，添加辅助线是我们经常采用的方法。

例5：如下图，梯形ABCD的面积是45平方厘米，下底AB长10厘米，高EF长6厘米，三角形DOC的面积为5平方厘米，求三角形ABO的面积是多少平方厘米？
通过分析，学生可能会用算术方法解决问题。

要想求出三角形ABO的面积，需要求出高OF，因为已知梯形的高EF为6
厘米，所以只要求出三角形DOC的高OE即可。

三角形DOC的面积已知，求它的高，需先求出DC的长度，而DC的长度可由梯形的面积公式求出。

45×2÷6=15（厘米）
5×2÷（15-10）=2（厘米）
10×（6-2）÷2=20（平方厘米）
①如果设梯形的上底DC长x厘米，你会列方程解决问题吗？
解：设DC边长x厘米
（x+10）×6÷2=45
解方程得x=5
根据三角形DOC面积为5平方厘米，由三角形面积公式可以求出OE的长：5×2÷5=2（厘米）
所以OF=6－2=4（厘米）
三角形ABO面积=10×4÷2=20（平方厘米）
②如果设三角形ABO的面积为x平方厘米，你会列方程解决问题吗？
整体观察图形可以发现，三角形ABC与三角形ABD是等高同底的三角形，它们的面积必相等。

在这两个三角形中，显然三角形ABO“重叠”一次，如果加上已知的三角形DOC的面积，正好是梯形ABCD的面积又多了一个三角形ABO 的面积。

所以：
三角形ABO面积+梯形ABCD面积=三角形ABD面积＋三角形ABC面积＋三角形DOC面积
解：设三角形ABO的面积为x平方厘米。

X+45=10×6÷2×2+5
X=20
所以，三角形ABO的面积为20平方厘米。

本题用算术方法解答，需要逆向思考，两次运用面积公式计算边的长度，用代数方法解答就可以回避逆向思考带来的麻烦。

我们介绍了两种代数方法，第二种方法更简单，需要我们有整体观察发现图形面积之间关系的能力。

例6：如下图，在三角形ABC中,D为BC边中点,BF= 1
3
AB,已知四边形BDEF 的面积是35cm2。

求三角形ABC的面积。

通过以前的学习，我们知道如果两个三角形的底、高有关系，它们的面积之间就有关系。

为了便于比较图形面积之间的关系，我们连接BE。

通过观察比较，你能发现哪些三角形面积之间的关系？
因为D是BC的中点，所以三角形BDE
的面积=三角形CDE的面积，三角形BDA的
面积=三角形CDA 的面积；因为F 是13 点，所以三角形AEF 的面积=2倍三角形
BEF 的面积。

连接BE ，设三角形BDE 的面积为a ，设三角形BFE 的面积为b 。

因为BF= 13
AB ，所以S △AEF =2S △BEF =2b 因为D 为BC 边中点，所以S △BDE =S △CDE =a
S △BDA =S △CDA =a ＋3b
S △BAE =S △CAE （等量减等量差相等）
设三角形ABC 的面积为 “1”
思路一：2b+3b=2（2a+b ）
5b=4a+2b
3b=4a
S △ABC =10a
∴a= 110 b= 215
∴a+b=
730 ∴35÷730
=150cm 2
按照思路一也可以列出如下方程组
思路二：（2a+b ）×3=（3b+a ）×2
按照思路二也可以列出如下方程组
答：三角形ABC 的面积为 150平方厘米。

在本题的分析中，通过添加辅助线，观察、比较图形的面积，我们发现了很多面积之间的关系，用代数的方法能够清楚地表示这些关系。

在比较中我们主要应用了两个三角形高相同时，它们面积间的关系与底之间的关系相同。

练习应用。

1．把一个正方形的两组对边分别减少5厘米和8厘米后，得到一个长方形，已知长方形的面积比正方形的面积少220平方厘米（如下图）。

求正方形的面积多少？
2．如下图所示，有9张相同的小长方形卡片摆成一个大长方形.已知每个小
长方形的周长为18厘米，短边长为4厘米，求大长方形面积是多少平方厘米？
3．下图中，梯形ABCD 的面积为24平方厘米，AD=5厘米，BC=7厘米，求三角形ABD 的面积是多少平方厘米？
4．如图，直角三角形ABC 内有一个正方形BDEF 。

已知AB=3厘米，BC=4厘米，AC=5厘米，EG 垂直于AC ，且EG=0.3厘米，求正方形BDEF 的面积。

5．六张大、小不同的正方形纸片A 、B 、C 、D 、E 、F ，拼成如右图所示的图形。

已知正方形F （阴影部分）面积是256平方厘米，正方形A 的面积是多少平方厘米？
6．如下图，正方形ABCD 的面积是1，BF=41AB ，EC=3
1BC 。

求阴影部分的面积。

四、趣味驿站。

完美长方形
C D
一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形。

下面长方形是由9个小正方形组成的完美长方形。

已知正方形A和B的边长分别是7和4，你能算出这个完美长方形的面积吗？
观察图形可以知道，完美长方形中相邻正方形的边长之间有着紧密的联系，若能用两种不同的形式表示同一个正方形的边长，或表示出完美长方形的长或宽，即可顺利列方程求解。

为了叙述方便,我们将图中各个小正方形分别用字母表示(如下图)。

设最小的正方形边长为X，
因为小正方形A的边长为7，小正方形B的边长为4，所以
小正方形C的边长可以表示为7＋X
小正方形D的边长可以表示为7＋X＋X=7＋2X
小正方形E的边长可以表示为7－X＋4=11－X
小正方形F的边长可以表示为11－X＋4=15－X
小正方形G的边长可以表示为15－X＋4=19－X
小正方形H的边长可以表示为7＋X＋7=14＋X
观察大长方形可知：小正方形D、C、H的边长之和等于小正方形F、G的边长之和，可以列方程为：
（7＋2X）＋（7＋X）＋（14＋X）=（15－X）＋（19－X）
解得X=1
从而可得小正方形C、D、E、F、G、H的边长分别为8、9、10、14、18、15。

大长方形的长为：18＋15=33，宽为：14＋18=32，
大长方形的面积为：33×32=1056。

聪明的小朋友，你还能寻找出不同的等量关系，列出不同的方程来解答吗？。