(典型题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试题(有答案解析)

一、选择题
1．在四面体OABC 中，空间的一点OM 满足11
26
OM OA OB OC λ=
++，若MA ，MB ，MC 共面，则λ=（ ）
A ．
12
B ．
13
C ．
512
D ．
7
12
2．若直线1l 、2l 的方向向量分别为(1,2,2)a =-，(2,3,2)b =-，则1l 与2l 的位置关系是（ ） A ．12l l ⊥
B ．1
2l l C ．1l 、2l 相交不垂直 D ．不能确定
3．阅读材料：空间直角坐标系O ﹣xyz 中，过点P （x 0，y 0，z 0）且一个法向量为＝（a ，b ，c ）的平面α的方程为a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0；过点P （x 0，y 0，z 0）且一个方向向量为d ＝（u ，v ，w ）（uvw≠0）的直线l 的方程为
000
x x y y z z u v w
---==，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x+2y ﹣2z ﹣4＝0，直线l 是两平面3x ﹣2y ﹣7＝0与2y ﹣z+6＝0的交线，则直线l 与平面α所成角的大小为（ ） A ．arcsin 14
14 B ．arcsin 421
C ．arcsin
514
42
D ．arcsin
377
377
4．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为( ) A ．
1
3
B ．
2
3
C ．
32
4
D ．
12
5．已知正方体1111ABCD A BC D -,M 为11A B 的中点，则异面直线A M 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A ．
10
5
B ．
1010
C ．
32
D ．
62
6．正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是棱,CD BC 上的动点，且2BF CE =，当三棱锥1C C EF -的体积取得最大值时，记二面角
1111,,C EF C C EF A A EF A ------的平面角分别为,,αβγ，则（ ）
A ．αβγ>>
B ．αγβ>>
C ．βαγ>>
D ．βγα>>
7．已知两平面的法向量分别为m =(0，1，0)，n =(0，1，1)，则两平面所成的二面角为
（ ） A ．45°
B ．135°
C ．45°或135°
D ．90°
8．记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A BC D 的对角线1BD 上一点，记
11D P
D B
λ
=．当APC ∠为钝角时，则λ的取值范围为( ) A ．(0,1)
B ．1(,1)3
C ．1(0,)3
D ．(1,3)
9．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动.当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）
A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1A
B ．线段1CA 的中点
C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点C
D ．线段1CA 的四等分点，且靠近点C
10．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）111ABC A B C -中，2AB =，E ，F 分别为11AC 和11A B 的中点，当AE 和BF 所成角的余弦值为7
10
时，AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ） A ．
15 B ．
15 C ．
5 D ．
5 11．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离是（ ）
A ．
1
2
B ．
24
C ．
22
D ．
32
12．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DC ＝2，DA ＝DD 1＝1，点M 、N 分别为A 1D 和
CD 1上的动点，若MN ∥平面AA 1C 1C ，则MN 的最小值为（ ）
A ．
5 B ．
23
C ．
5 D ．
5 二、填空题
13．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于点D ，E ，F ，H.且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________．
14．已知空间直角坐标系中点()123p ，，
，()321Q ，，，则||PQ =__________． 15．已知空间向量(1,0,0)a =，13
(,
2b =，若空间向量c 满足2c a ⋅=，52c b ⋅=，
且对任意,x y R ∈，()()
00001(,)c xa yb c x a y b x y R -+≥-+=∈，则c =__________. 16．把地球看作是半径为R 的球，A 点位于北纬30°，东经20°，B 点位于北纬30°，东经80°，求A B 、两点间的球面距离______________．
17．如图，空间四边形OABC 中，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，分MN 所成的定比为2，OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别为_____．
18．若向量()()()1,1,,1,2,1,1,1,1a x b c ===，满足条件()()
·22c a b -=-，则x = __________． 19．已知
，若向量
互相垂直，则k 的值为____．
20．如图，已知平面α⊥平面β，A ，B 是平面α与平面β的交线上的两个定点，
DA β⊂，CB β⊂，且DA AB ⊥，CB AB ⊥，4=AD ，8BC =，6AB =，在平面α
内有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则PAB △的面积的最大值是______．
三、解答题
21．如图1，正方形ABCE ，2AB =，延长CE 到达D ，使DE CE =，M ，N 两点分别是线段,AD BE 上的动点，且AM BN =．将三角形ADE 沿AE 折起，使点D 到达1D 的位置（如图2），且1D E EC ⊥．
（Ⅰ）证明：//MN 平面1
DCE ； （Ⅱ）在线段1AD 上确定点M 的位置，使平面MBE 与平面ABE 所成角（锐角）的余弦3
22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，
且2
22
PA PD AD ==
=，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点.
（1）求证：//EF 平面PAD ；
（2）求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值.
23．如图，平行四边形ABCD 中，26AD AB ==，,E F 分别为,AD BC 的中点.以EF 为折痕把四边形EFCD 折起，使点C 到达点M 的位置，点D 到达点N 的位置，且
NF NA =.
（1）求证：平面AFN ⊥平面NEB ； （2）若23BE =，求点F 到平面BEM 的距离.
24．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1AB BC CA AA ===，D 为
AB 的中点．
（1）求证：1//BC 平面1DAC ；
（2）求平面1DAC 与平面11AAC C 所成的锐二面角．．．．
的余弦值． 25．如图，在ABC 中，90B ∠=︒，2AB =，1BC =，D ,E 两点分别是边AB ，AC 的中点，现将ABC 沿DE 折成直面角A DE B --．
（1）求证：平面ADC ⊥平面ABE ； （2）求直线AD 与平面ABE 所成角的正切值
26．如图，四边形PABC 中，90,23,4PAC ABC PA AB AC ︒∠=∠====，现把
PAC ∆沿AC 折起，使PA 与平面ABC 成60︒角，点P 在平面ABC 上的投影为点O (O 与
B 在CA 同侧)
（1）证明：//OB 平面PAC ；
（2）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据向量共面定理求解． 【详解】
由题意11
26
MA OA OM OA OB OC λ=-=
--， 15
26MB OB OM OA OB OC λ=-=-+-，
11
(1)26
MC OC OM OA OB OC λ=-=--+-，
∵MA ，MB ，MC 共面，
∴在在实数唯一实数对(,)m n ，使得MA mMB nMC =+，
1126OA OB OC λ--1511(1)2626m OA OB OC n OA OB OC λλ⎛⎫⎡⎤
=-+-+--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，
∴111222511666(1)m n m n m n λλλ⎧--=⎪⎪
⎪-=-⎨⎪-+-=-⎪⎪⎩，解得13
2313m n λ⎧
=-⎪⎪⎪=-⎨⎪
⎪=⎪⎩
． 故选：B ． 【点睛】
结论点睛：本题考查空间向量共面定理．空间上任意三个不共面的向量都可以作为一个基底，其他向量都可用基底表示，且表示方法唯一．,,OA OB OC 是不共面的向量，
OM xOA yOB zOC =++，则,,,M A B C 共面⇔1x y z ++=．
2．A
解析：A 【分析】
求出直线1l 、2l 的方向向量数量积为0，由此得到1l 与2l 的位置关系． 【详解】
由题意，直线1l 、2l 的方向向量分别为(1,2,2)a =-，(2,3,2)b =-，
2640a b ⋅=-+-=，∴1l 与2l 的位置关系是12l l ⊥．
故选A ． 【点睛】
本题主要考查了两直线的位置关系的判断，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，着重考查运算求解能力，属于基础题．
3．B
解析：B 【分析】
先根据两个平面的方程，求出平面交线的方向向量，结合已知平面的方程确定平面的法向量，然后求解. 【详解】
平面α的法向量为n ＝（1，2，﹣2），
联立方程组3270
260x y y z --=⎧⎨-+=⎩
，令x ＝1，得y ＝﹣2，z ＝2，令x ＝3，得y ＝1，z ＝8，
故点P （1，﹣2，2）和点Q （3，1，8）为直线l 的两个点，∴PQ ＝（2，3，6）为直线l 的方向向量， ∵44cos ,37
21||||PQ n PQ n PQ n ⋅-<>===-⨯ ，∴直线l 与平面α所成角的正弦值为4
21，
故选B ． 【点睛】
本题主要考查直线和平面所成角的正弦，属于信息提供题目，理解题中所给的信息是求解关键.
4．B
解析：B 【分析】
以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得
1
1,1,2
2MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()10,? 02AA =，，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线MB
与1AA 所成角的余弦值． 【详解】
在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC ，
∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设11111222AA A B B C ===， 则11,1,22M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，(0,00B ，），(1,00A ，），1(1,02A ，），
1
1,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭
，1(0,02AA ，）
=， 设异面直线MB 与1AA 所成角为θ，
则
11
cos 18MB AA MB AA θ⋅
=
=
=
⋅ ∴异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为3
，故选B ．
【点睛】
本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.
5．A
解析：A 【分析】
建立空间直角坐标系，求出向量AM 与1BC 的向量坐标，利用数量积求出异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值. 【详解】
以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ∵M 为11A B 的中点 ∴1(1,
,1)2
M ∴1
(0,
,1)2AM =，5AM =；1(1,0,1)B C =--，12B C =. ∴异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值为11110
cos ,10AM B C AM B C AM B C
⋅===⋅ 故选A. 【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角∠AEM （或其补角），是解题的关键．如果异面直线所成的角不容易找，则可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解．
6．A
解析：A 【分析】
设正方体的棱长为2，CE a =，则22CF a =-，列出三棱锥1C C EF -的体积关系式，可知当1
2
a =
时，1C C EF V -取得最大值，以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用法向量求出,,αβγ的余弦值，根据余弦值的大小关系可得结果. 【详解】
以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系：
设正方体的棱长为2，CE a =，则22CF a =-，由0222a <-≤，得01a ≤<，
11C C EF C CEF V V --=11
3
CEF CC S =⨯⨯△211211(22)2()32324a a a ⎡⎤=⨯-⨯=--+⎢⎥⎣⎦，
所以当1
2a =
时，1C C EF V -取得最大值16
. 此时，3
(2,0,0),(020),(00)2
A C E ，
，，，，(1,2,0)F ，11(2,0,2),(0,2,2)A C ， 1
(1,,0)2
EF =，1(1,0,2)C F =-，1(1,2,2)A F =--， 设平面1C EF 的法向量为111(,,)m x y z =，平面1A EF 的法向量为222(,,)n x y z =，
则100m EF m C F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111102
20x y x z ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，取11x =，则1112,2y z =-=，所以1(1,2,)2m =-， 100n EF n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2
2222102220x y x y z ⎧+=⎪⎨⎪-+-=⎩，取21x =则22
52,2y z =-=-，所以5
(1,2,)2
n =--，
取平面CEF 和平面AEF 的法向量为1(0,0,2)AA =， 由图可知，,,αβγ均为锐角，
则cos α=11||||||m AA m AA ⋅1140044
=++⨯++21
=
， ||cos ||||m n m n β⋅==5
|14|
4125141444
+-++⨯++
105=，
11||cos =||||n AA n AA
γ⋅=25140044
++⨯++5=
， 所以cos cos cos αβγ<<，根据余弦函数在(0,)2
π
内单调递减，可得αβγ>>.
故选：A 【点睛】
本题考查了三棱锥的体积公式，考查了二面角的向量求法，考查了运算求解能力，属于中档题.
7．C
解析：C 【分析】
先求出两个向量的夹角为,=45︒<>m n ，再转化为二面角的大小. 【详解】
2
cos ,12
⋅<>=
=
=⨯⋅m n m n m n
，即,=45︒<>m n ， 所以两平面所成二面角为45°或180°-45°=135°. 答案：C 【点睛】
本题考查了空间向量的夹角和二面角的求法，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.
8．B
解析：B 【分析】
建立空间直角坐标系，利用∠APC 不是平角，可得∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＜0，即 ，从而可求λ的取值范围．
【详解】
由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ，
则有A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），1D （0，0，1） ∴
=（1，1，-1），∴
=（λ，λ，-λ），
∴
=
+
=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1） =
+
=（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）
显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＜0 ∴ 0PA PC ⋅<
∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）（λ-1）=（λ-1）（3λ-1）＜0，得 ＜λ＜1 因此，λ的取值范围是（ ，1），故选B.
点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题．
9．B
解析：B 【分析】
将问题转化为动点P 到直线MN 的距离最小时，确定点P 的位置，建立空间直角坐标系，取MN 的中点Q ，通过坐标运算可知PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离，再由空间两点间的距离公式求出||PQ 后，利用二次函数配方可解决问题. 【详解】
设正方体的棱长为1，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则1(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44
Q ，
1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1
(1,1,1)AC =-， 设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---， 由1
AC 与PC 共线，可得11111
t t z
---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，
因为2221||(1)(10)(0)2PM z z z =--+--+-25334
z z =-+
||
(1PN =
=
所以||||PM PN =，所以PQ MN ⊥，即||
PQ 是动点P 到直线MN 的距离， 由空间两点间的距离公式可得
||PQ =
=
=
所以当12c =
时，||PQ 取得最小值4
P 为线段1CA 的中点， 由于||4
MN =为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点. 故选：B 【点睛】
本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题.
10．B
解析：B 【分析】
设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，由AE 和BF 所成角的余弦值为7
10
，求出12t
AA ==．由此能求出AE 与平
面11BCC B 所成角
α的正弦值． 【详解】
设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则31,,(0,0,0),,22A E t B F t ⎫⎫
⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
(AE =-
，12，)t ，3(BF =12，)t ， AE ∵和BF 所成角的余弦值为7
10，
2221||
||72|cos ,|10
|
|||11t AE BF AE BF AE BF t -∴<>===+， 解得2t =．∴(AE =-
，12，2)
， 平面11BCC B 的法向量(1,0,0)n =，
AE ∴与平面11BCC B 所成角α的正弦值为：
3
||152sin 10||||5
AE n AE n α===
． 故选：B ．
【点睛】
本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11．B
解析：B 【分析】
如图建立空间直角坐标系，可证明1A D ⊥平面11ABC D ，故平面11ABC D 的一个法向量为：1DA ，利用点到平面距离的向量公式即得解. 【详解】
如图建立空间直角坐标系，则：
1111
(,,1),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1)22O D A B C 111
(,,0)22
OD ∴=--
由于AB ⊥平面111,ADD A AD ⊂平面11ADD A
1AB A D ∴⊥，又11AD A D ⊥，1AB AD
1A D ∴⊥平面11ABC D
故平面11ABC D 的一个法向量为：1(1
,0,1)DA = O ∴到平面11ABC D 的距离为：
111
1
||22||2
OD DA d DA ⋅===
故选：B 【点睛】
本题考查了点到平面距离的向量表示，考查了学生空间想象，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
12．A
解析：A 【分析】
先建立空间坐标系，设出(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，转化条件得1m n +=，利用函数即可得解. 【详解】
如图建系，由题意可设(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，
∴(),22,MN m n n m =---，
又 ()10,0,1AA =，()1,2,0AC =-，
∴平面11AAC C 的法向量()2,1,0n =，
又 //MN 面11AACC ，
∴=0MN n ⋅即1m n +=，
∴()()2
2
2
2222941MN m n n m m m =+-+-=-+， ∴MN 最小值为5 故选：A.
本题考查了空间向量的应用，考查了转化化归和函数思想，属于中档题.
二、填空题
13．【解析】【分析】利用平面可以得到从而为中点同理可得为中点再根据三棱锥为正三棱锥得到故四边形为矩形从而可计算其面积【详解】因为故在底面上的射影为底面三角形的外心又为等边三角形故在底面上的射影为底面三角
解析：45
2
【解析】 【分析】
利用SB 平面DEFH 可以得到DH SB ，从而H 为SA 中点，同理可得F 为SC 中
点，再根据三棱锥S ABC -为正三棱锥得到AC SB ⊥，故四边形HDEF 为矩形，从而可
计算其面积． 【详解】
因为SA SB SC ==，故S 在底面上的射影为底面三角形的外心，又ABC ∆为等边三角形，故S 在底面上的射影为底面三角形的中心，所以三棱锥S ABC -为正三棱锥，所以
SB AC ⊥．
因SB 平面DEFH ，SB ⊂平面ABS ，平面ABS 平面DEFH DH =，故SB DH ，
因AD DB =，故AH HS =，1,2DH BS DH BS =
，同理1
,2
EF BS EF BS =， 故,DH
EF DH EF =，所以四边形DEFH 为平行四边形，
又由,D E 为中点可得DE AC ，故DH DE ⊥，故四边形DEFH 为矩形．
又153,2DE DH ==，故矩形DEFH 的面积为45
2
． 【点睛】
（1）正三棱锥中，对棱是相互垂直的，且顶点在底面的投影是底面正三角形的中心． （2）通过线面平行可以得到线线平行，注意利用线面平行这个条件时，要合理构建过已知直线的平面（该平面与已知平面有交线）．
14．【解析】
15．【分析】设空间向量由已知条件可得的值由对任意得：进而得到答案【详解】解：空间向量设空间向量空间向量又由对任意则故故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算空间向量的模属于中档题
解析：【分析】
设空间向量(),,c m n z =，由已知条件可得m 、n 的值，由对任意x ，y R ∈，
00|()||()|1c xa yb c x a y b -+-+=得：||1z =，进而得到答案．
解：
空间向量(1,0,0)a =，13
(,
22
b =， 设空间向量(),,
c m n z =，
2c a ⋅=，5
2
c b ⋅=
，
2m ∴=，152
2
m = 2m ∴=，3n =，
∴空间向量()2,3,c z =，
又由对任意x ，y R ∈，()()
001c xa yb c x a y b -+≥-+=， 则||1z =，
故(22c =+
=
故答案为：【点睛】
本题考查的知识点是空间向量的数量积运算，空间向量的模，属于中档题．
16．【分析】设球心为北纬纬线圈所在圆的圆心为半径为且是等边三角形即中由余弦定理得的值利用弧长公式求得两点间的球面距离【详解】设球心为北纬纬线圈所在圆的圆心为半径为则根据点位于北纬30°东经20°点位于北
解析：5
arccos 8
R
【分析】
设球心为O ，北纬30纬线圈所在圆的圆心为1O ，半径为r ，2
r R =，且ABC 是等
边三角形，即2
AB R =
，AOB 中，由余弦定理得AOB ∠的值，利用弧长公式求得,A B 两点间的球面距离.
【详解】
设球心为O ，北纬30纬线圈所在圆的圆心为1O ，半径为r ，130OAO ∠=， 则3
cos30r R ==
， 根据A 点位于北纬30°，东经20°，B 点位于北纬30°，东经80°，可得160AO B ∠=，
1AO B ∴是等边三角形，即AB r R ==，
ABC 中，由余弦定理可得22
22232cos 4
AB R R R R AOB =
=+-⋅∠，求得5cos 8AOB ∠=
,5arccos 8
AOB ∴∠=， ,A B ∴两点间的球面距离5
arccos 8
AB R AOB R =⋅∠=⋅.
故答案为：5arccos 8
R ⋅ 【点睛】
本题主要考查球面距离的求法，利用余弦定理解三角形，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.
17．【解析】∵∴∴故答案为
解析：111
,,633
【解析】
∵ O G OM MG =+，1 2OM OA =，2
,3
MG MN MN ON OM ==-，1 ()2ON OB OC =
+，∴111
633OG OA OB OC =++，∴16x =，13
y z ==，故答案为111,,633
18．2【解析】因为向量所以则解之得应填答案
解析：2 【解析】
因为向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)a x b c ===，所以(0,0,1),2(2,4,2)c a x b -=-=，则
()(2)222c a b x -⋅=-=-，解之得2x =，应填答案2。

19．【分析】由向量垂直的坐标运算直接计算【详解】由题意∵与互相垂直∴＝解得故答案为【点睛】本题考查空间向量垂直的坐标运算解题关键是掌握向量垂直的充要条件即 解析：522
-
或
【分析】
由向量垂直的坐标运算直接计算. 【详解】 由题意2,5,1a b a b =
=⋅=-，
∵ka b +与2ka b -互相垂直，
∴222()(2)2ka b ka b k a ka b b +⋅-=-⋅-＝22250k k +-⨯=， 解得522
k k ==-或， 故答案为522
-或. 【点睛】
本题考查空间向量垂直的坐标运算，解题关键是掌握向量垂直的充要条件，即
0a b a b ⊥⇔⋅=. 20．12【解析】
解析：12 【解析】
2
三、解答题
21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）M 是1AD 中点． 【分析】
（Ⅰ）分别以1,,EA EC ED 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，并由
1AD BE ==，AM BN =，可设1AM AD λ=，BN BE λ=，得出,M N 坐标，求
出平面1D EC 的一个法向量n ，计算MN n ⋅后可证结论；
（Ⅱ）在（Ⅰ）基础上，求出平面MBE 和平面ABE 的法向量，由法向量夹角的余弦值的
绝对值等于3
求得λ，得点M 位置． 【详解】
（Ⅰ）由题意1,AE D E AE CE ⊥⊥，又1D E EC ⊥， 分别以1,,EA EC ED 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则
1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D ，设(,,)M x y z ，设1AM AD λ=，
01)λ≤≤，而1AD BE ==AM BN =，则BN BE λ=，
由1AM AD λ=得(2,,)(2,0,2)x y z λ-=-，22,0,2x y z λλ=-+==，即
(22,0,2)M λλ-+，同理得(22,22,0)N λλ-+-+，
所以(0,22,2)MN λλ=-+-，
易知平面1D EC 的一个法向量是(1,0,0)n =，
因为0MN n ⋅=，所以MN n ⊥，而MN ⊄平面1D EC ，所以//MN 平面1D EC ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知(22,0,2)EM λλ=-+，(2,2,0)EB =， 设平面MBE 的一个法向量是(,,)m x y z =，
由00m EB m EM ⎧⋅=⎨⋅=⎩
得220(22)20x y x z λλ+=⎧⎨-++=⎩，取1x =，则1y =-，2212z λλ
λλ-
-==， 所以1(1,1,
)m λ
λ
-=-，又平面ABE 的一个法向量是(0,0,1)p =，
则
2
1
1cos ,12m p m p m p
λ
λλ-⋅<>==
-⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，由题意
2
1
1312λ
λλ-
=
-⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，解得12
λ=． 所以M 是1AD 中点时，平面MBE 与平面ABE 所成角（锐角）的余弦值为
3
3
．
【点睛】
方法点睛：本题考查用空间向量法证明线面平行，求二面角．求二面角的方法： （1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论； （2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）． 22．（1）证明见解析（26 【分析】
（1）连AC ,通过证明//EF PA 可证//EF 平面PAD ；
（2）取AD 的中点O ，连接PO ，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求得结果.
【详解】
（1）连AC ，因为底面ABCD 是正方形，且F 为BD 的中点，则F 为AC 的中点，
又E 为PC 的中点，所以//EF PA ，
因为EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以//EF 平面PAD .
（2）取AD 的中点O ，连接PO ，因为PA PD =，∴PO AD ⊥，
因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，
以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图：
因为22PA PD AD ===1OP =， 则(0,0,1)P ，(1,0,0)D -，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(0,1,0)F ，11(,1,)22E -
， 所以11(,0,)22
EF =-，(1,0,1)PD =--，(2,2,0)=--BD ，
设平面PDB 的法向量为(,,)n x y z =， 则00
n PD n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0220x z x y --=⎧⎨--=⎩， 取1x =，则1y =-，1z =-，所以(1,1,1)n =--，
所以直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值为||||||n EF n EF ⋅⋅11|0|2211111044
++=++⨯++63=. 【点睛】
关键点点睛：正确建立空间直角坐标系，利用空间向量求解是本题解题关键.
23．（1）证明见解析；（23
【分析】
（1）记AF BE O =，连接NO ，证明,,AF BE AF NO ⊥⊥即可证明结论；
（2）先证明NO ⊥平面ABFE ，再以直线OE 为x 轴，直线OA 为y 轴，直线ON 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面MBE 的法向量()0,1,1n =，再代入点到平面的距离的向量公式计算结果．
【详解】
（1）证明：记AF BE O =，连接NO ，
可知四边形ABFE 是菱形，所以AF BE ⊥，且O 为AF ，BE 的中点，
又NF NA =，所以AF NO ⊥，
又因为NO BE O =，NO ，BE ⊂平面NEB ，
所以AF ⊥平面NEB ，
AF ⊂平面AFN ，
∴平面AFN ⊥平面NEB .
（2）因为23BE =3EO ，
四边形DEBF 是平行四边形，∴23NF DF BE === 所以226FO EF EO - 所以226NO NF FO -，
所以2229NO EO NE +==，所以NO BE ⊥， 又由（1）可知：NO AF ⊥，且AF
BE O =，AF ，BE ⊂平面ABFE ， 所以NO ⊥平面ABFE ，以直线OE 为x 轴，直线OA 为y 轴，直线ON 为z 轴建立空间直角
坐标系， 则()6,0A ，()
3,0,0B -，)3,0,0E ，()0,6,0F -，(6N ，
OM ON NM ON AB =+=+(()63,6,0=+--(3,6,6=--
所以(3,6,6M --，所以(0,6,6BM =-，()23,0,0BE =，
()3,6,0FB =- 设(),,n x y z =是平面BEM 的法向量，则
6600002
30y z x n BM y z n BE x ⎧⎧-+==⎧⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⋅==⎩⎪⎪⎩⎩，取1y =，得()0,1,1n =， 则点F 到平面BEM 的距离632
FB n
d n ⋅===.
【点睛】
关键点点睛：本题的第一个关键点是垂直关系的证明，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直，第二个关键是点M 的坐标的求解方法.
24．（1）证明见解析；（2）
155
. 【分析】
（1）以BC 的中点O 为原点建系，根据要用的点的坐标，写出对应的向量的坐标，设出一个平面的法向量，求出法向量．根据法向量与已知直线的方向向量的数量积等于0，得到结论；
（2）以BC 的中点O 为原点建系，算出平面11AAC C 的法向量，结合平面1DAC 的法向量可算出答案.
【详解】
（1）证明：如图以BC 的中点O 为原点建系，设12AB BC CA AA ====． 设(,,)n x y z =是平面1DCA 的一个法向量，
则1·0·
0n CD n CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩．又33()2CD =，1(13)CA =， ∴30230
x z x y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩．令1,3,1x z y ==-=，∴(1,1,3)n =-
1(2,2,0)BC =-，∴1·2200n BC =-++=．
又1BC ⊂/平面1DCA ，1//BC ∴平面1DCA ．
（2）解：设111(,,)m x y z =是平面11AAC C 的一个法向量，
则11·0·0m CC m CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩
．又1(0,2,0)CC =
，1(1CA =， ∴111030
y x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩
．令111,z x ==∴(3,0,1)m =-．
∴23cos ,25
m n
-==． ∴所求锐二面角的余弦值为5
． 【点睛】
关键点睛：解答本类题目的关键是根据图形建立合适的空间直角坐标系和学生的计算能力. 25．（1）详见解析；（2【分析】
（1）以D 为原点，分别以DB ，DE ，DA 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系：分别求得向量,,DA DC BE 的坐标，然后论证00
BE DA BE DC ⎧⋅=⎨⋅
=⎩即可.
（2）由（1）知2DA ⎛= ⎝⎭
，再求得平面ABE 的一个法向量(),,n x y z =，设直线
AD 与平面ABE 所成的角为θ ，由sin DA n DA n θ⋅=
⋅求解.
【详解】
（1）建立如图所示空间直角坐标系：
则2212,,0,,0,2222A B E C ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 所以22210,0,,,1,0,,02222DA DC BE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 因为00BE DA BE DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩
， 所以 BE ⊥平面ADC ，又BE ⊂平面ABE ，
所以平面ADC ⊥平面ABE ；
（2）由（1）知222210,0,,,1,,,022222DA BA BE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 设平面ABE 的一个法向量为(),,n x y z =，
则 00n BA n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即 220222102
x y z x y ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 令 2x =，解得2,2y z ==-，所以 (2,2,2n =
-， 设AD 与平面ABE 所成的角为θ ，
所以1sin 22222DA n
DA n θ⋅===⋅⨯，
因为 0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦， 所以 6π
θ=，
所以 3tan tan
63
πθ==. 【点睛】 方法点睛：几何法求线面角、二面角的常用方法：
（1）线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．
（2）二面角的求法，二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．
26．（1）证明见解析；（2）
2. 【分析】
（1）连接AO ，证明CA ⊥平面PAO ，说明PAO ∠是PA 与平面ABC 的角，通过证明//OB AC ，推出//OB 平面PAC ．（2）建立直角坐标系求解
【详解】
解：（1）连AO ，因为PO ⊥平面ABC ，得PO CA ⊥．
又因为CA PA ⊥，PO PA P =，PO ⊂平面PAO ，PA ⊂平面PAO
所以CA ⊥平面PAO ，AO ⊂平面PAO ，所以CA AO ⊥
因为PAO ∠是PA 与平面ABC 的角，60PAO ∠=︒．
因为23PA =，得3OA =．
在OAB 中，903060OAB ∠=︒-︒=︒，故有OB OA ⊥，
从而有//OB AC ，OB ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC
所以//OB 平面PAC ．
（2）以,,OB OA OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系，
则(0,0,3)P ，3,0)A ，(3,0,0)B ，3,0)C
(4,0,0),(0,3,3),(3,0,3)AC PA PB ∴
==-=-
设平面PAC 的法向量(,,)n x y z =
则40330
n AC x n PA y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩得(0,3,1)n = 2sin cos ,232||||n PB
n PB n PB α⋅∴=<>===⨯⋅ 即直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为24
.
【点睛】
本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.。