九年级下册数学课件(湘教版)二次函数y=ax2 a＞0的图象与性质
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y 9
6
3
-4 -2 o 2 4 x
议一议 函数y = x2性除了具有关于y轴对称和“右升”外，
还具有哪些性质？
1.y＝x2的图象是一条曲线; 2.开口向上; 3.图象与对称轴的交点为原点(0,0); 4.x<0时，y随x的增大而减小，简 称“左降”； 5.当x=0时，函数值最小，为0．
y y=x2
标增大时，纵坐标怎样变化？
图象在y轴右边的
y
A
9
部分，函数值随自
A'
变量取值的增大而 增大，简称为
B
6
B' “右升”.
y = x2 的图象关于y轴对 3 称,y轴就是它的对称轴.
-3 o
3
x
3. 连线：再用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺 次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边 的部分（把y轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线 顺次连接起来），这样就得到了y = x2的图象.
2
大小有什么关系？
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
-4 -2
24
当a>0时，a的绝对值越大，开口越小.
1.二次函数y=2x2的图象一定经过 （ A ）
A.第一、二象限
B.第三、四象限
C.第一、三象限
D.第二、四象限
2.如右图，观察函数y=（ k-1）x2的 图象,则k的取值范围是 k>1 .
y
O
x
3.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）. （1）则a的值是 2 ； （2）对称轴是 y轴 ，开口 向上 . （3）与对称轴的交点是 （0,0），该点是图象
上的最 小 值 . （4）若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0,
则y1 > y2.
4.已知y＝(k＋2)xk2＋k是二次函数． (1)求k的值； (2)画出函数的图象．
方法二：如图，作出函数y＝x2的图象， 把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y1>y3>y2；
方法三：∵该图象的对称轴为y轴，a>0， ∴在对称轴的右边，y随x的增大而增大， 而点(－3，y1)关于y轴的对称点为(3，y1)． 又∵3> 2 >1，∴y1>y3>y2.
针对训练 已知 y (k 2)xk2k4是二次函数，且当x＞0时，y
o
x
典例精析
例1 已知点(-1,y1)，(-3,y2)都在函数y=x2的图象 上，则____y_1＜_______.
y2
例1变式 已知点(－3，y1)，(1，y2)，( 2，y3)都在函 数y＝x2的图象上，试写出y1、y2、y3的大小关系．
解：方法一：把x＝－3，2 ，1，分别代入y＝x2中， 得y1＝9，y2＝1，y3＝2，则y1>y3>y2；
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
y 9 6 3
-4 -2 o 2 4 x
问题1：观察图象，点A和点A' ，点B和点B' ，……， 它们有什么关系？由此你可以做出什么猜测？
问题2：从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐
随x增大而增大，则k= 2 .
分析： y (k 2)xk2k4 是二次函数，即二次
项的系数不为0，x的指数等于2.
又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项
的系数大于0.
因此，kk
2 k4 2＞0
2
解得 k=2
例2 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2的图象．
2
解：分别列表
x 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 2
0
0.5
2
4.5
8 ···
x 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 0 0.5 2 4.5 8 ···
描点，连线
y 2x2
8
6
y 1 x2
4
2
2
-4 -2
24
问题二次函数 y 1 x2, y x2 , y 2x2 开口大小与a的
5.直线y=2x+3与抛物线y=ax2交于A、B两点，已知A点 的横坐标是3，求A、B两点的坐标及抛物线的解析式．
解：∵直线y=2x+3与抛物线y=ax2交于A、B两点且A
点的横坐标是3，
∴点A的纵坐标y=2×3+3=9，
∴点A的坐标为（3，9），
将点A的坐标代入y=ax2得：a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2，
y 2x 3
y
x2
解得：x 3 或 x 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
9
y
1
∴点B的坐标为（-1，1）．
画法
描点法
先画对称轴一 边的部分，再 根据对称性画 出另一边
二次函数y=ax2 的图象及性质
图象 性质
轴对称图形
开口方向及大小
重点关注 4个方面
对称轴 与对称轴的交点
增减性
解：(1)∵y＝(k＋2)xk2＋k为二次函数，
∴k＋2≠0，k2＋k＝2，解得k＝1；
(2)当k＝1时，函数的表达式为y＝3x2，用描点法画
出函数的图象．
列表：
x 0 1 1…
2
y＝3x2 0 3 3 …
4
描点：(0，0)，( 1 ，3 )，(1，3)．
24
连线：用光滑的曲线按x的从小到大的顺序连接各 点，根据对称性做出另一部分，图象如图所示．
第1章 二次函数 1.2 二次函数的图象与性质
第1课时
学习目标
1.会用描点法画二次函数y＝ax2(a>0)的图象；(重点 ) 2.掌握形如y＝ax2(a>0)的二次函数的图象和性质， 并会应用其解决问题．(重点)
复习引入
你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
1、一次函数y=kx+b(k≠0)
y
b>0
b=0
o
x
b<0
y
b>0
b=0
o
x
b<0
2、反比例函数 y k (k 0)
x
y y6 x x
0
y 6 x
y=ax2？
一 二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质
合作探究 画出y=x2的图象.
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数.让x 取0和一些互为相反数的数，并算出相应的函数值.
6
3
-4 -2 o 2 4 x
议一议 函数y = x2性除了具有关于y轴对称和“右升”外，
还具有哪些性质？
1.y＝x2的图象是一条曲线; 2.开口向上; 3.图象与对称轴的交点为原点(0,0); 4.x<0时，y随x的增大而减小，简 称“左降”； 5.当x=0时，函数值最小，为0．
y y=x2
标增大时，纵坐标怎样变化？
图象在y轴右边的
y
A
9
部分，函数值随自
A'
变量取值的增大而 增大，简称为
B
6
B' “右升”.
y = x2 的图象关于y轴对 3 称,y轴就是它的对称轴.
-3 o
3
x
3. 连线：再用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺 次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边 的部分（把y轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线 顺次连接起来），这样就得到了y = x2的图象.
2
大小有什么关系？
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
-4 -2
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当a>0时，a的绝对值越大，开口越小.
1.二次函数y=2x2的图象一定经过 （ A ）
A.第一、二象限
B.第三、四象限
C.第一、三象限
D.第二、四象限
2.如右图，观察函数y=（ k-1）x2的 图象,则k的取值范围是 k>1 .
y
O
x
3.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）. （1）则a的值是 2 ； （2）对称轴是 y轴 ，开口 向上 . （3）与对称轴的交点是 （0,0），该点是图象
上的最 小 值 . （4）若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0,
则y1 > y2.
4.已知y＝(k＋2)xk2＋k是二次函数． (1)求k的值； (2)画出函数的图象．
方法二：如图，作出函数y＝x2的图象， 把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y1>y3>y2；
方法三：∵该图象的对称轴为y轴，a>0， ∴在对称轴的右边，y随x的增大而增大， 而点(－3，y1)关于y轴的对称点为(3，y1)． 又∵3> 2 >1，∴y1>y3>y2.
针对训练 已知 y (k 2)xk2k4是二次函数，且当x＞0时，y
o
x
典例精析
例1 已知点(-1,y1)，(-3,y2)都在函数y=x2的图象 上，则____y_1＜_______.
y2
例1变式 已知点(－3，y1)，(1，y2)，( 2，y3)都在函 数y＝x2的图象上，试写出y1、y2、y3的大小关系．
解：方法一：把x＝－3，2 ，1，分别代入y＝x2中， 得y1＝9，y2＝1，y3＝2，则y1>y3>y2；
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
y 9 6 3
-4 -2 o 2 4 x
问题1：观察图象，点A和点A' ，点B和点B' ，……， 它们有什么关系？由此你可以做出什么猜测？
问题2：从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐
随x增大而增大，则k= 2 .
分析： y (k 2)xk2k4 是二次函数，即二次
项的系数不为0，x的指数等于2.
又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项
的系数大于0.
因此，kk
2 k4 2＞0
2
解得 k=2
例2 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2的图象．
2
解：分别列表
x 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 2
0
0.5
2
4.5
8 ···
x 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 0 0.5 2 4.5 8 ···
描点，连线
y 2x2
8
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y 1 x2
4
2
2
-4 -2
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问题二次函数 y 1 x2, y x2 , y 2x2 开口大小与a的
5.直线y=2x+3与抛物线y=ax2交于A、B两点，已知A点 的横坐标是3，求A、B两点的坐标及抛物线的解析式．
解：∵直线y=2x+3与抛物线y=ax2交于A、B两点且A
点的横坐标是3，
∴点A的纵坐标y=2×3+3=9，
∴点A的坐标为（3，9），
将点A的坐标代入y=ax2得：a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2，
y 2x 3
y
x2
解得：x 3 或 x 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
9
y
1
∴点B的坐标为（-1，1）．
画法
描点法
先画对称轴一 边的部分，再 根据对称性画 出另一边
二次函数y=ax2 的图象及性质
图象 性质
轴对称图形
开口方向及大小
重点关注 4个方面
对称轴 与对称轴的交点
增减性
解：(1)∵y＝(k＋2)xk2＋k为二次函数，
∴k＋2≠0，k2＋k＝2，解得k＝1；
(2)当k＝1时，函数的表达式为y＝3x2，用描点法画
出函数的图象．
列表：
x 0 1 1…
2
y＝3x2 0 3 3 …
4
描点：(0，0)，( 1 ，3 )，(1，3)．
24
连线：用光滑的曲线按x的从小到大的顺序连接各 点，根据对称性做出另一部分，图象如图所示．
第1章 二次函数 1.2 二次函数的图象与性质
第1课时
学习目标
1.会用描点法画二次函数y＝ax2(a>0)的图象；(重点 ) 2.掌握形如y＝ax2(a>0)的二次函数的图象和性质， 并会应用其解决问题．(重点)
复习引入
你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
1、一次函数y=kx+b(k≠0)
y
b>0
b=0
o
x
b<0
y
b>0
b=0
o
x
b<0
2、反比例函数 y k (k 0)
x
y y6 x x
0
y 6 x
y=ax2？
一 二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质
合作探究 画出y=x2的图象.
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数.让x 取0和一些互为相反数的数，并算出相应的函数值.