徐州市2019~2020学年度高三年级第一次质量检测数学I卷试题定稿

徐州市2019~2020学年度高三年级第一次质量检测
数学I
参考公式：
1．样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2
211()n
i i s x x n ==-∑，其中1
1n
i i x x n ==∑；
2．圆锥的体积1
3
V Sh =，其中S 是圆锥的底面圆面积，h 是高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．
位置上．．．
． 1．已知集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =U ▲ ． 2．已知复数z 满足24z =-，且z 的虚部小于0，则z = ▲ ． 3．若一组数据7，x ，6，8，8的平均数为7，则该组数据的 方差是 ▲ ．
4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ． 5．函数()f x =的定义域为 ▲ ．
6．某学校高三年级有A ，B 两个自习教室，甲、乙、丙3名 学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在 同一教室上自习的概率为 ▲ ． 7．．．．x ．．．．230x mx -+<．．．．(1,3)，．．．m ．．． ▲ ．
8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213
x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实数p 的值为 ▲ ．
9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，298a a +=，55S =-，则15S 的值为 ▲ ． 10．已知函数3sin 2y x =的图象与函数cos2y x =的图象相邻的三个交点分别是A ，B ，
C ，则ABC △的面积为 ▲ ．
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：2248120x y x y +--+=，圆N 与圆M 外切于
点(0,)m ，且过点(0,2)-，则圆N 的标准方程为 ▲ ．
12．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1x =对称，当]1,0(∈x 时，
()e ax f x =-(其中e 是自然对数的底数)，若(2020ln 2)8f -=，则实数a 的值为 ▲ ．
13．如图，在ABC △中，D ，E 是BC 上的两个三等分点，
2AB AD AC AE ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
，则cos ADE ∠的最小值为 ▲ ． 14．设函数3()||f x x ax b =--，[1,1]x ∈-，其中a ，b ∈R ．
若()f x M ≤恒成立，则当M 取得最小值时，a b +的
值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥P －ABC 中，AP AB =，M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，平面P AB ⊥平面PBC ． （1）求证：BC ∥平面AMN ；
（2）求证：平面AMN ⊥平面PBC ．
16．（本小题满分14分）
在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且5cos 5
A =． （1）若5a =，25c =，求b 的值；
（2）若4B π
=，求tan2C 的值．
A P N M C
B
（第15题）
A （第13题）
B C D E
如图，在圆锥SO 中，底面半径R 为3，母线长l 为5．用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为1O ，半径为r ．现要以截面圆为底面，圆锥底面圆心O 为顶点挖去一个倒立的小圆锥，记小圆锥的体积为V ． （1）将V 表示成r 的函数；
（2）求小圆锥的体积V 的最大值．
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的右顶点为A ，过点A
作直线l 与圆222b y x O =+：相切，与椭圆C 交于另一点P ，与右准线交于点Q ．设
直线l 的斜率为k ．
（1）用k 表示椭圆C 的离心率；
（2）若0=⋅OQ OP ，求椭圆C 的离心率．
A （第17题）
B O
S M N O 1 （第18题）
O x y A
Q
P
l
已知函数1()()ln f x a x x
=-()a ∈R ．
（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，求a 的值； （2）若()f x 的导函数()f x '存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围； （3）当2a =时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()f x λ≥恒成立？若存在，
求出λ的最大值；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分16分）
已知数列{}n a 的首项13a =，对任意的*n ∈N ，都有11n n a ka +=-(0k ≠)，数列{1}n a -是公比不为1的等比数列． （1）求实数k 的值；
（2）设4n n
n n b a n -, ,
⎧⎪=⎨-1, ,⎪⎩为奇数为偶数 数列{}n b 的前n 项和为n S ，求所有正整数m 的值，使
得221
m m S
S -恰好为数列{}n b 中的项．。