高中数学,函数的性质(作业)含答案解析

2.1-2.3函数的性质（作业）
1．下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是________．
①y ＝x 2
x ；②y ＝(x )2；③y ＝lg 10x ；④y ＝2log2x
2．函数f (x )＝2x ＋1
2x 2－x －1的定义域是________．
3．已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2,2]，则函数y ＝f (x －1)的定义域为________．
4．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋x ， x ≤0，
ax 2＋bx ， x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.
5．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 3，0≤x <5f (x －5)，x ≥5，那么f (2 013)＝________.
6．若函数y ＝2x ＋k
x －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范
围是________．
7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x >0，0，x ＝0，
－1，x <0，
g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．
8．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.则f (x )＝________.
9．若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．
10．(2012·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1
，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫
32，则a ＋3b 的值为________．
11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(a －2)x x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1 x <2，满足对任意实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
<0成立，
则实数a 的取值范围是________．
12．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧
c
x
，x <A ，c
A ，x ≥A
(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那
么c 和A 的值分别是________．
13.定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2， 则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．
14．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2，x ∈[0，1]，
x ，x ∉[0，1]，则使f [f (x )]＝2成立的实数x 的集合为________．
填空题答案 班级___________姓名______________得分___________
1._____________
2._______________
3.__________________
4._______________
5._____________
6._______________
7.__________________
8._______________
9._____________ 10._______________ 11.__________________ 12._______________
13._____________ 14._______________
15．已知f (x )＝x
x －a
(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．
16．已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1. (1)当a ＝1
2时，求函数f (x )的最小值；
(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．
17．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .
(1)求f (3)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成图形的面积．
18．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．
(1)若x ＝7
16，分别求f 1(x )和f 2(x )； (2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，求x 的取值范围．
19．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫
x 1x 2
＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.
(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．
1.下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是________．[答案] ③
①y ＝x 2
x ；②y ＝(x )2；③y ＝lg 10x ；④y ＝2log2x
[解析] ①y ＝x 2
x ＝x (x ≠0)．②y ＝(x )2＝x (x ≥0)．
③y ＝lg 10x ＝x .④y ＝2log2x ＝x (x >0)．
2．(2014·南昌模拟测试)函数f (x )＝2x ＋1
2x 2－x －1
的定义域是________．
解析：由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋1≥0，2x 2－x －1≠0，解得x >－12且x ≠1. 答案：{x |x >－1
2
且x ≠1}
3．已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2,2]，则函数y ＝f (x －1)的定义域为________．
[解析] y ＝f (x )的定义域为[－2,2]，对于函数y ＝f (x －1)，－2≤x －1≤2，即－1≤x ≤3. [答案] [－1,3]
4．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋x ， x ≤0，
ax 2＋bx ， x >0为奇函数，则a ＋b ＝________. 答案：0
解析：当x >0时，－x <0，由题意得f (－x )＝－f (x )，所以x 2－x ＝－ax 2－bx ，从而a ＝－1，b ＝1，a ＋b ＝0.
5．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 3，0≤x <5f (x －5)，x ≥5，那么f (2 013)＝________. 答案：27
解析：根据题意，当x ≥5时，f (x )＝f (x －5)，
∴f (2 013)＝f (3)，而当0≤x <5时，f (x )＝x 3，∴f (3)＝33＝27.
6．使函数y ＝2x ＋k
x －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范
围是________． 答案：(－∞，－4)
解析：由y ＝log 3(x －2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故在(3，＋∞)上是增函数． 又函数y ＝2x ＋k x －2＝2(x －2)＋4＋k x －2＝2＋4＋k x －2，
使其在(3，＋∞)上是增函数，
故4＋k <0，得k <－4. 7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x >0，0，x ＝0，
－1，x <0，
g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．
解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2，x >1，
0，x ＝1，
－x 2
，x <1.
如图所示，其递减区间是[0,1)．
答案：[0,1)
8．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.则f (x )＝________.答案：x 2－x ＋1
解析：设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.
把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .
∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.
9．若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．答案：－1
解析：∵y ＝f (x )为偶函数，且f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)， ∴f (x )＝x 2＋(1－a )x －a,1－a ＝0. ∴a ＝1.f (x )＝(x ＋1)(x －1)(－3≤x ≤3)． f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1.
10．(2012·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫
32，则a ＋3b 的值为____．答案：－10
解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫
－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而1
2b ＋212
＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋2
2，即b ＝－2a .②
由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.
11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(a －2)x x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1 x <2，满足对任意实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2<0成立，
则实数a 的取值范围是________． [答案] ⎝⎛⎦⎤－∞，13
8 [解析] 函数f (x )是R 上的减函数，
于是有⎩⎪⎨⎪⎧
a －2<0，
(a －2)×2≤⎝⎛⎭⎫122
－1，
由此解得a ≤13
8
，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，138. 12．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧
c
x
，x <A ，c
A ，x ≥A
(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那
么c 和A 的值分别是________．答案：60,16
解析：因为组装第A 件产品用时15分钟，
所以
c
A
＝15， ① 所以必有4<A ，且
c 4＝c
2
＝30. ②
联立①②解得c ＝60，A ＝16.
13.定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________． 答案：6 解析：由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，
当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.
∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.
14．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2，x ∈[0，1]，
x ，x ∉[0，1]，则使f [f (x )]＝2成立的实数x 的集合为________．
解析：当x ∈[0,1]时，f (f (x ))＝f (2)＝2成立；当x ∉[0,1]时，f (f (x ))＝f (x )＝x ，要使f (f (x ))＝2成立，只需x ＝2，综上所述，实数x 的集合为{x |0≤x ≤1或x ＝2}．
答案：[0,1]∪{2}
15．已知f (x )＝x
x －a
(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，
则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2
x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).
∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，
∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任设1<x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝
x 1x 1－a －x 2
x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a )
. ∵a >0，x 2－x 1>0，
∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1.综上所述知0<a ≤1. 16．已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1. (1)当a ＝1
2
时，求函数f (x )的最小值；
(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．
[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，f ′(x )＝1－1
2x 2>0，x ∈[1，＋∞)，即f (x )在[1，
＋∞)上是增函数．
所以f (x )min ＝f (1)＝1＋
12×1
＋2＝7
2.
(2)f (x )＝x ＋a
x
＋2，x ∈[1，＋∞)．
①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数． 最小值为f (1)＝a ＋3.
要使f (x )＞0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3＞0， ∴－3＜a ≤0.
②当0＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数， f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.
∴a ＋3＞0，a ＞－3.∴0＜a ≤1.
综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3,1]．
17．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .
(1)求f (3)的值； (2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成图形的面积． 解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，
f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数， 所以f (3)＝f (3－4)＝－f (1)＝－1.
(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．
故知函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称．
又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图像关于原点成中心对称，则－
1≤x ≤0时，f (x )＝x ，则f (x )的图像如图所示．
当－4≤x ≤4时，设f (x )的图像与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.
18．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．
(1)若x ＝7
16
，分别求f 1(x )和f 2(x )； (2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，求x 的取值范围．
解：(1)∵x ＝716时，4x ＝7
4，
∴f 1(x )＝⎣⎡⎦⎤
74＝1. ∵g (x )＝74－⎣⎡⎦⎤74＝34
.
∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝⎛⎭⎫
34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
1≤4x <2，3≤16x －4<4，∴716≤x <12
.
故x 的取值范围为⎣⎡⎭⎫716，12.
19．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2
＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.
(1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性； (3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解：(1)令x 1＝x 2>0，
代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0. (2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1
x 2>1，
由于当x >1时，f (x )<0，
所以f⎝⎛⎭⎫x1
x2<0，即f(x1)－f(x2)<0，
因此f(x1)<f(x2)，
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．
∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．
由f⎝⎛⎭⎫x1
x2＝f(x1)－f(x2)得，f⎝⎛⎭⎫9
3
＝f(9)－f(3)，
而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2.
∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.。