计算机系概率论习题

第三次 一维随机变量及其分布 一维离散型随机变量
一、填空 1．设X 为一个随机变量，x 为任意的实数，则X 的分布函数定义为F(x)= ＿＿＿＿＿；根据分布函数的性质P(12)x X x <≤=＿＿＿＿＿＿＿。

2．设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,
n x x x ，且X 取这些值的概率为：
P(X=k x )=k p (k=1，2，…，k)， 则k
k
p
=∑＿＿＿＿＿＿＿；根据分布函数的性质
P(12)x X x <≤=＿＿＿＿＿＿＿。

3．如果随机变量X 服从参数为n ， p 的二项分布B(n ，p)，那么它的分布律为P(X=k)= ＿＿＿＿＿；
4．设X 服从参数为λ的泊松分布，则其分布律为＿＿＿＿＿＿＿。

5．设X 服从二项分布B(n ，p)，根据泊松定理，当n 很大，p 很小，np ≤8时有近似计算公式＿＿＿＿＿＿＿＿。

二、一批产品共有n 件，其中有m （3≤m ≤n ）件次品，从中任意抽取3件产品，求取出的次品数X 的分布律。

三、将三个球随机放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数X 的分布律。

四、一批零件中有9个合格品，3个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前，已取出的废品数的分布律。

五、某校有730名学生，任意选出1名学生他的生日在任何一天的概率为365
1，求3
名学生的生日为国庆节的概率。

六、设离散型随机变量X 的分布律为{},(1,2,
,)(1)
a
P X k k N k k ==
=+，试确定常
数a ．
七、已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲箱装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求： （1）乙箱中次品件数X 的分布律；
（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。

一、填空
1．设()f x 为X 的分布密度函数，F(x)为分布函数，那么F(x)＝＿＿＿＿＿＿＿；
()f x dx +∞
-∞
=⎰
＿＿＿＿＿＿＿；P(a<X ≤b)=F(b)-F(a)= ＿＿＿＿＿＿＿；
2．X 服从[a ，b]上的均匀分布，那么X 的密度函数为
＿＿＿＿＿＿＿；
3．X 服从参数为,μσ的正态分布，那么X 的密度函数为
＿＿＿＿＿＿＿；
4．X~N(0，1)，那么X 的密度函数为 ＿＿＿＿＿＿＿；
5．如果),(~2σμN X ，()x Φ是标准正态分布的分布函数，
那么P(a<X<b)=F(b)-F(a)= ＿＿＿＿＿＿＿；
6．)2,3(~2N X ，则（1）P(2<X ≤5)＝ ；P(－4<X ≤100)= ；
(2)P X >=＿＿＿＿＿＿＿；P(X>3)= ＿＿＿＿＿＿＿．(2)若()()P X c P X c >=≤，
则C= ＿＿＿＿＿＿＿。

二、连续型随机变量X 的概率密度为(),()x
f x Ae
x -=-∞<<+∞，求：
（1）常数A ，（2）X 落在区间（－1，2）内的概率；（3）X 的分布函数。

三、有某机器生产的零件的长度（cm ）是参数为10.05,0.06μσ==的正态分布。

现在规定零件长度在10.050.12±内为合格品，求一个零件为不合格产品的概率。

四、设k 在（0，5）上服从均匀分布，求方程2
4420x kx k +++=有实根的概率。

五、设随机变量X 服从正态分布2
(,)N μσ(0)σ>，且二次方程2
40y y X ++=无实根的概率为
1
2
，求μ．
一、填空
1．如果),Y X （是二维随机离散型变量，则),Y X （的联合分布律定义为ij p = ；分布律的性质
∑∑=i
j
ij
p
；
2．若已知),2,1,(,),( ====j i p y Y x X P ij j i 则随机变量),Y X （关于X 的边缘分布为 ；Y X ,相互独立的充要条件是 。

二、将一枚硬币掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示在三次中出现正面的次数与出现反面次数之差的绝对值。

试写出X 和Y 的联合分布律。

三、设),Y X （的分布律由下表给出，问βα,为何值时X 与Y 相互独立？
四、设X 与Y 相互独立，且分布律分比分别为下表，求二维随机变量),Y X （的联合分布律。

五、设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出二维随机变量),Y X （的联合分布律及关于
X 和关于Y 的边缘分布律中部分数值，试将其余数值填入表中空白处。

六、设某班车起点站上客人数服从参数为的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为)10(<<p P ，且中途下车与否相互独立。

以Y 表示在中途下车人数，求：（1）发车
时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；（2）二维随机变量
),Y X （的概率分布。

第六次 二维连续型随机变量
一、填空
1．),Y X （是二维连续型随机变量，),(y x f 是),Y X （的分布密度，则),Y X （分布函数
=≤≤=),(),(y Y x X P y x F ；
⎰⎰+∞∞-+∞
∞
-=dxdy y x f ),( ；
2．设),(y x f 是二维连续型随机变量的联合密度函数，则关于X 与Y 的边缘分布密度函数分别为()x f x = ；)(y f Y = ；X 与Y 相互独立的充分必要条件是 ；
3． 二维随机变量),Y X （在G 上服从二维均匀分布（G 是平面上一个有界区域，其面积为A ），则密度),(y x f = 。

二、设随机变量),Y X （的概率密度为⎩⎨
⎧>>=+-其他,
00,0,),()43(y x ke y x f y x ，（1）确定常数k ；（2）求),Y X （的分布函数；（3）求)20,10{≤<≤<Y X P ；（4）求(),x f x ()y f y ；（5）X 与Y 是否相互独立？
三、设G 是由直线y=x ，y=3，x=1所围成的三角形区域，二维随机变量),Y X （在G 上服从二维均匀分布求：（1）),Y X （的联合概率密度；（2）}1{≤-X Y P ；（3）X 的边缘概率密度。

四、假设随机变量U 在区间[-1，2]上服从均匀分布，随机变量
1,1,1, 1.U X U -≤-⎧=⎨>-⎩若若 1,1,1, 1.
U Y U -≤⎧=⎨>⎩若若
试求X 和Y 的联合概率密度。

第七次 随机变量的函数分布 条件分布
一、填空
1．设),Y X （的联合分布为),(y x f ，则Y X Z +=的密度函数()z f z = ；特别当Y X ,相互独立时，Y X ,的概率密度分别为(),x f x ()y f x ，则()z f z = 或
()z f z = ；
2．设n X X X ,,,21 相互独立，且k X ~2
(,)k k N μσ，(1,2,
,)k n =，则其和
n X X X Z +++= 21服从 ；
3．设随机变量Y X ,相互独立，都服从正态分布),0(2
σN ，则点),Y X （到坐标原点的距离X 的概率密度=)(z f 。

二、设随机变量X 的分布律为下表，求2
X Y =的分布律？
三、设随机变量X 服从参数)0(>λλ的指数分布，求随机变量X
e
Y λ-=的概率密度。

四、袋中有4个同样的球，依次写上1，2，2，3，从袋中任意取出一球，不放回袋中，，再任取一球，以Y X ,表示第1、2次取到球上的数字：（1）求),Y X （的分布律，并证明X 与Y 不相互独立；（2）求Y X Z +=的分布律；（3）求),max(Y X V =的分布律；（4）求min(,)U X Y =的分布律；
（5）求V U W +=的分布律。

五、设二维随机变量),Y X （的概率密度为⎩⎨
⎧>>=+-其他,
00,0,2),()2(y x e y x f y x ，求随机变量Y X Z 2+=的分布函数和分布密度函数。