数学---江苏省常州市第五中学2016届高三下学期期中考试

江苏省常州市第五中学2016届高三下学期期中考试
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上．
1．已知集合{1,2,3,4}U =，{1,2,3}A =,{2,3,4}B =，则()U C A B = ． 2．命题“R ∃∈x ，10x +≥”的否定为 ． 3．复数(1i)(2i)=-+z 的实部为 ． 4．已知x x
f l
g )12
(
=+，则)21(f ＝___________________. 5．函数2(231)
1()()
2
x
x f x -+=的增区间是____________．
6．定义在区间)1,1(-内的函数)(x f 满足)1lg()()(2+=--x x f x f ，则=)(x f
_____________；
7．设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R)，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，1
2时，f (x )＝ －x 2，则f (3)＋3
()2
f -的值等于________．
8．已知2234,0(),0x x x f x ax bx x ⎧-≥⎪
=⎨+<⎪⎩
为偶函数，则ab = ．
9．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R)，若f (a )＝2，则f (－a )的值为________．
10．设偶函数f (x )对任意x ∈R ，都有1
(3)()
f x f x +=-，且当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝2x ， 则f (113.5)的值是____________．
11．设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝__________． 12
．已知函数()f x =
R ，则的取值范围是_____．
13．设函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2>0
恒成立，则实数a 的取值范围是________．
14．函数2()||f x x x t =+-在区间[1,2]-上的最大值为4，则实数t = ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
a
15．（本题满分14分）已知复数z ＝1＋i ，若z 2＋az ＋b
z 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值.
16．（本题满分14分）已知集合{}|(6)(25)0A x x x a =--->，集合
{}
2|(2)(2)0B x a x a x ⎡⎤=+-⋅-<⎣⎦．
⑴若5a =，求集合A B ； ⑵已知1
2
a >．且“A x ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
17. （本题满分14分）已知函数()|1|f x a x +，a 是实数．
（1）若函数()f x =0有解，求a 的取值范围；（2）当1a =-时，求函数()f x 的值域．
18. （本题满分16分）f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x ＞0，y ＞0都有f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x ＞1时，有f (x )＞0.
(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明； (3)若f (6)＝1，解不等式1
(5)()2f x f x
+-<.
19. （本题满分16分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．
(1)设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f (x )的表达式； (2)当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？
20.（本题满分16分）已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．
（1）若关于x 的方程|()|()f x g x =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； （2）若当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[2,2]-上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．
参考答案
一、填空题
1、{1,4}
2、“R ∀∈x ，10x +<”
3、 3
4、－1
5、3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
6、
)1lg(3
1)1lg(32x x -++ 7、－1
4 8、12 9、0 10、1
5 11、3或4
12、 (,1]-∞- 13、a ≤2 14、2或154
二、解答题
15、解：∵z ＝1＋i ，
∴z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝（1＋i ）2＋a （1＋i ）＋b （1＋i ）2－（1＋i ）＋1 ＝
（a ＋b ）＋（a ＋2）i
i
＝(a ＋2)－(a ＋b )i ＝1－i .……8分
根据复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝1，－（a ＋b ）＝－1，解之得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1，
b ＝2.……14分
16、解：⑴当5a =时，{}
(6)(15)0A x x x =-->={}|156x x orx ><………2分 {}{}(27)(10)01027B x x x x x =--<=<<．……3分
∴{}
1527=<< A B x x ．…6分 ⑵∵1
2
x >
，∴256a +>，∴{}625A x x x a =<>+或．………8分 又a a 222
>+，∴{
}
222
+<<=a x a x B ．……10分
∵“A x ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，∴A B ⊆，
∴21226a a ⎧>⎪⎨⎪+≤⎩
，…………12分 解之得：
1
22
a <≤．……………14分 17、解：（1）函数()f x 的定义域为[0,)+∞．…………………1分
由函数()f x =0
|1|0a x +=有非负实数解，…………………2分
可得a =在[0,)x ∈+∞上有解，…………………3分
因为10x +≥
，所以102，所以a 的取值范围是1
[,0]2
-． ……8分 （2）当1a =-
时，21
3
()|1|(1))24
f x x x +=+=--，[0,)x ∈+∞，函数()f x 的值域为3(,]4
-∞-． ………………14分 18、解：(1)f (1)＝f ⎝⎛⎭⎫
x x ＝f (x )－f (x )＝0，x ＞0.……4分
(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
证明：设0＜x 1＜x 2，则由f ⎝⎛⎭⎫
x y ＝f (x )－f (y )， 得f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1，∵x 2x 1
＞1，∴f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1＞0. ∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．…………10分 (3)∵f (6)＝f ⎝⎛⎭⎫
366＝f (36)－f (6)，又f (6)＝1， ∴f (36)＝2，原不等式化为：f (x 2＋5x )＜f (36)， 又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5＞0，
1
x ＞0，x 2
＋5x ＜36，
解得0＜x ＜4.…………16分 19、解：(1)当0<x ≤100时，P ＝60；
当100<x ≤500时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－x 50.
所以P ＝⎩⎪⎨⎪
⎧60，0<x ≤100，x ∈N ，62－x
50，100<x ≤500，x ∈N.
…………8分 (2)设销售商一次订购量为x 件，工厂获得的利润为L 元，则有 L ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪
⎧20x ，0<x ≤100，x ∈N ，22x －x 2
50，100<x ≤500，x ∈N. 当x ＝450时，L ＝5850.
因此，当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是5850元．……16分 20．（1）方程|()|()f x g x =，即2|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，
显然，1x =已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|1|x a +=，
有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得0a <.……………4分
（2）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立， ①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ；
②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).
|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨
-+<-⎩ 因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-， 所以()2x ϕ>-，故此时2a -≤.
综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤.…………8分
（3）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),
1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪
--++-<⎨⎪-+-<-⎩
≤≥10分
① 当
1,22
a
a >>即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ② 当01,22a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2
a -上递减，
在[1,]2
a
--，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=
++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.
③ 当10,02a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2
a
-上递减，
在[1,]2
a
--，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=
++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +.
④ 当31,22
2a a -<-<-即-3≤
≤时，
结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2a
-上递减， 在[,1]2a ，[,2]2
a
-上递增，且(2)330h a -=+<, (2)30h a =+≥，
经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. 当
3
,322
a a <-<-即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 故此时()h x 在[2,2]-上的最大值为(1)0h =.
综上所述，当0a ≥时，()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +； 当30a -<≤时，()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +；
当3a <-时，()h x 在[2,2]-上的最大值为0.……………16分。