上海上海大学附属学校必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测(有答案解析)

一、选择题
1．2017年5月，世界排名第一的围棋选手柯洁0：3败给了人工智能“阿法狗”.为什么人类的顶尖智慧战胜不了电脑呢？这是因为围棋本身也是一个数学游戏，而且复杂度非常高.围棋棋盘横竖各有19条线，共有1919361⨯=个落子点.每个落子点都有落白子､落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限3613M ≈.科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数8010N ≈.则下列各数中与M
N
最接近的是（ ）(参考数据：lg30.48≈)
A ．3310
B ．5310
C ．7310
D ．9310
2．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t （单位：天）与病情爆发系数()f t 之间，满足函数模型：0.22(50)
11()t f t e
--=
+，当
()0.1f t =时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时t 约为（ ）
(参考数据： 1.13e ≈) A ．38
B ．40
C ．45
D ．47
3．已知函数||
()2x f x =，记131(())4
a f =，37(log )2
b f =，13(log 5)
c f =，则a ，b
，
c 的大小关系为（ ）
A ．c b a >>
B ．b a c >>
C ．a b c >>
D ．c a b >>
4．已知：23log 2a =，42log 3b =，2
32c -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．b c a <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．c a b <<
5．设0.34()5a =，0.2
54b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，125log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．b a c >>
B ．c a b >>
C ．c b a >>
D ．b c a >>
6．已知函数()()
2
ln f x ax bx c =++的部分图象如图所示，则a b c -+的值是（ ）
A ．1-
B ．1
C ．5-
D ．5
7．已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩
，212
(log )(log )2(1)
f a f f a ≤+，则实数a 的取值范围
是（ ）
A ．1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
C ．[]1,2
D ．(]
0,2 8．函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是（ ）
A ．32⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦，
B ．3
,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．31,2
⎛⎤- ⎥⎝
⎦
9．若函数112x
y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ）
A ．1m ≤-
B ．10m -≤<
C ．m 1≥
D ．01m <≤
10．已知函数()2,01,0
x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若()()10f a f +=，则实数a 的值等于（ ）
A ．-3
B ．-1
C ．1
D ．3
11．已知函数()()2
13log f x x ax a =--对任意两个不相等的实数1x 、21,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪
⎝
⎭，都满足不等式
()()
2121
0f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞
B ．(],1-∞-
C ．11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
D ．11,
2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
12．已知对数函数()log a f x x =是增函数，则函数(||1)f x +的图象大致是
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知函数()4
sin 22
x
x f x π=
++，则122019101010101010f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
______.
14．函数()()cos1log sin f x x =的单调递增区间是____________. 15．方程(
)(
)
22log 972log 31x
x
+=++的解为______.
16．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数1,0
(),0
x x e x f x e m x -⎧->=⎨+<⎩是奇函数，则实数m 的值为
______．
17．若幂函数
()2()57m f x m m x =-+在R
上为增函数则
1log 2
log 2lg5lg4m
m m
+-=_____．
18．
3
2
a b
-=________（其中0a >，0b >）
19．设函数()f x 满足()22
221x f x ax a =-+-，且()f x 在2
122
2,2a a a --+⎡⎤⎣
⎦
上的值域为
[]1,0-，则实数a 的取值范围为______.
20．关于下列命题：
①若函数2x y =的定义域是{}|0x x ≤，则它的值域是{}|1y y ≤ ②若函数1
y x =的定义域是{}|2x x >，则它的值域是12y y ⎧⎫<⎨⎬⎩
⎭ ③若函数2y
x 的值域是{}|04y y ≤≤，则它的定义域可能是{}|22x x -≤≤
④若函数2log y x =的值域是{}|3y y ≤，则它的定义域是{}|8x x ≤
其中不正确的命题的序号是________.（注：把你认为不正确的命题的序号都填上）
三、解答题
21．已知指数函数()f x 的图象经过点()1,3-，()()2
()23x g x f a x f =-+在区间[]
1,1-上的最小值是()h a . （1）求函数()f x 的解析式；
（2）若3a ≥时，求函数()g x 的最小值()h a 的表达式；
（3）是否存在m 、n ∈R 同时满足以下条件：①3m n >>；②当()h a 的定义域为
[],n m 时，值域为22
,n m ⎡⎤⎣⎦；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由.
22．已知函数()ln(32)f x x =+，()ln(32)g x x =-.设函数()()()F x f x g x =-. （1）求函数()F x 的定义域； （2）判断()F x 奇偶性并证明； （3）若()0F x >成立，求x 的取值范围.
23．已知函数()(0,1)x f x a m a a =+>≠的图象过点(1,4)，且与函数32
y x
=的图像相交于(2,)n .
（1）求()f x 的表达式；
（2）函数2
2()log ()5g x f x x =+-，求满足()g x x <的最大整数.
24．设函数101(),2ax
f x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭
是常数，且1(3)2f =. （1）求a 的值；
（2）求使得()4f x ≥的x 值的取值范围.
（3）设1
(),2
g x x m =-
+对于区间[]34，
上的每一个x 值，不等式()()f x g x >恒成立，求实数m 的取值范围.
25．（1）求函数(
)
2
2log 32y x x =-+的定义域；
（2）求函数2
21y x x =-+-，[]2,2x ∈-的值域；
（3）求函数2
23y x x =--的单调递增区间.
26．已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0a g x x a =->，且1)a ≠. （1）求函数()()f x g x -的定义域；
（2）判断函数()()f x g x -的奇偶性，并说明理由；
（3）当2a =时，判断函数()()f x g x -的单调性，并给出证明.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
设361
80
310
M x N ==，两边取对数，结合对数的运算性质进行整理，即可求出M N . 【详解】
解：设361
80310
M x N ==，两边取对数
361
36180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810
x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，
故选：D . 【点睛】 关键点睛:
本题考查了对数的运算，关键是结合方程的思想令361
80310
x =，两边取对数后进行化简整理.
2．B
解析：B 【分析】 根据
()0.1f t =列式求解即可得答案.
【详解】 解：因为
()0.1f t =，0.22(50)
11()t f t e --=
+，
所以0.22(50)
()0.111t f t e
--=
=+，即0.22(50)011t e --=+，
所以0.22(50)9t e --=，由于 1.13e ≈，故()
2
1.1
2.29e e =≈，
所以0.222().250t e e --=，所以()0.2250 2.2t --=，解得40t =. 故选：B. 【点睛】
本题解题的关键在于根据题意得0.22(50)9t e --=，再结合已知 1.13e ≈得()
2
1.1
2.29e e =≈，
进而根据0.222().250t e e --=解方程即可得答案，是基础题.
3．A
解析：A 【分析】
首先判断函数()f x 的性质，再比较1
3
3317,log ,log 542
⎛⎫ ⎪
⎝⎭
的大小关系，从而利用单调性比
较a ，b ，c 的大小关系. 【详解】
()2x
f x =是偶函数，并且当0x >时，2x y =是增函数，
()133log 5log 5c f f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，
因为1
310()14<<，3371log log 52<<，即1
333170log log 542⎛⎫<<< ⎪⎝⎭ 又因为()y f x =在()0,∞+是增函数，所以a b c <<. 故选：A. 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数()2x
f x =的性质，后面的问题迎刃而解.
4．A
解析：A 【分析】
由换底公式和对数函数的性质可得112
b a <<<，再由指数函数的性质可得102
c <<，即
可得解. 【详解】
23ln
3ln12log =02ln 2ln 2a ==>
，4212
ln ln 2ln1323log =03ln 4ln 2ln 2
b ====
<， a b ∴>
2
2
223231log log 41
0,2392
22a c -⎛⎫⎛⎫<===< ⎪ ⎪⎭=⎝>⎭=⎝，
b c a ∴<<，
故选：A 【点睛】
方法点睛：本题考查了对数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于常考题.
5．A
解析：A 【分析】
根据指数函数、对数函数的 性质结合中间值0和1比较． 【详解】
由指数函数性质得0.3
4015⎛⎫<< ⎪⎝⎭
，0.2
514⎛⎫> ⎪
⎝⎭
，由对数函数性质得1
2
5
log 04
<， ∴b a c >>． 故选：A ． 【点睛】
本题考查比较幂与对数的，掌握指数函数与对数函数的性质是解题关键．解题方法是借助中间值比较大小．
6．D
解析：D 【分析】
由图中函数的单调性可得方程20ax bx c ++=的两根为2和4，利用根与系数的关系结合
(1)0f =列式求得,,a b c 的值，则答案可求.
【详解】
解：由图可知，函数()f x 的减区间为(,2)-∞，增区间为(4,)+∞， ∴内层函数2t ax bx c =++的减区间为(,2)-∞，增区间为(4,)+∞， ∴方程20ax bx c ++=的两根为2和4，
又(1)0f =，
68ln()0b
a c
a a
b
c ⎧-=⎪⎪⎪∴=⎨⎪++=⎪⎪
⎩
，解得13283a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=
⎩.
18
2533
a b c ∴-+=++=.
故选：D. 【点睛】
本题考查函数的图象与图象变换，考查复合函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题.
7．A
解析：A 【分析】
根据条件判断()f x 的奇偶性和单调性，把不等式212
(log )(log )2(1)
f a f f a ≤+转化为
2log 1a ≤进行求解即可.
【详解】
当0x <时，0x ->，则2()2()f x x x f x -=-=， 当0x >时，0x -<，则2
()2()-=+=f x x x f x ， ∴函数()f x 为偶函数，
∴222122
(log )(log )(log )(log )2(log )f a f a f a f a f a +=+-=.
又当0x ≥时，函数()f x 单调递增，
∴22(log )2(1)f a f ≤可转化为2((log 1))f a f ≤，则2log 1a ≤， ∴21log 1a -≤≤，解得1
22
a ≤≤. 故选：A. 【点睛】
本题考查了分段函数的性质，考查函数的单调性与奇偶性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
8．B
解析：B 【分析】
先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性同增异减，即可求解. 【详解】
由2430x x +->得2340x x --<，解得：14x -<<，
2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成，
ln y t =在定义域内单调递增，
234t x x =-++对称轴为3
2
x =
，开口向下， 所以 234t x x =-++在31,
2⎛⎫- ⎪⎝
⎭ 单调递增，在3,42⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
单调递减， 所以2
()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
故选：B 【点睛】
本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间，注意先求定义域，属于中档题
9．B
解析：B 【分析】
11()+2x y m -=与x 有公共点，转化为11()2x
y -=与y m =-有公共点，结合函数图象，可
得结果. 【详解】
11()+2x y m -=与x 有公共点，即11()2x y -=与y m =-有公共点，11()2
x
y -=图象如图
可知0110m m <-≤⇒-≤< 故选：B 【点睛】
本题考查了函数的交点问题，考查了运算求解能力和数形结合思想，属于基础题目.
10．A
解析：A 【分析】
先求得()1f 的值，然后根据()f a 的值，求得a 的值. 【详解】
由于()1212f =⨯=，所以()()20,2f a f a +==-，22a =-在()0,∞+上无解，由
12a +=-解得3a =-，故选A.
【点睛】
本小题主要考查分段函数求函数值，考查已知分段函数值求自变量，属于基础题.
11．C
解析：C 【分析】
由题意可知，函数()()213log f x x ax a =--在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭上单调递增，利用复合函
数的单调性可知，内层函数2u x ax a =--在区间1,2⎛
⎫
-∞- ⎪⎝⎭
上单调递减，且0>u 对任意的1,2x ⎛⎫
∈-∞- ⎪⎝⎭
恒成立，进而可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】
因为()()21210f x f x x x ->-，所以()()213f x log x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪
⎝
⎭上是增函数， 令2
u x ax a =--，而
13
log y u =是减函数，所以
2
u x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭上单调递
减，
且20u x ax a =-->在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立，所以212211022a
a a ⎧≥-⎪⎪⎨
⎛⎫⎛⎫⎪-
---≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得1
12
a -≤≤
. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，解题时还应注意真数要恒为正数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12．B
解析：B 【分析】
利用对数函数的图象，以及函数的奇偶性和图象的变换，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，由函数()log a f x x =是增函数知，1a >， 当0x ≥时，函数(1)log (1)a y f x x =+=+，
将函数1()log ,()a f x a x >=的图象向左平移1个单位，得到函数log (1)a y x =+的图象， 又由函数(1)y f x =+满足(1)(1)f x f x -+=+，所以函数(1)y f x =+为偶函数， 且图象关于y 轴对称， 故选B. 【点睛】
本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及函数的图象变换的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质和函数的图象变换是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
二、填空题
13．2019【分析】观察的特点探究得再利用倒序相加法求解【详解】因为所以故答案为：2019【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法还考查了抽象概括的能力属于中档题
解析：2019 【分析】 观察122019101010101010⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+++
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
f f f 的特点，探究得()(2)2+-=f x f x ，再利
用倒序相加法求解. 【详解】
因为()()()2442sin sin 222222
x x f x f x x x πππ-+-=
+++-=++ 所以1220192[]101010101010⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+
++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
f f f
12019120191010101010101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
22019=⨯
1220192019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
∴+
++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
故答案为：2019.
【点睛】
本题主要考查了函数求值中的倒序相加法，还考查了抽象概括的能力，属于中档题.
14．【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式再根据正弦函数性质得结果【详解】单调递增区间为单调递减区间且所以故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质考查基本分析求解能力属基础题
解析：[2,2),()2
k k k Z π
πππ++∈
【分析】
根据对数型复合函数单调性列不等式，再根据正弦函数性质得结果. 【详解】
()()cos1cos1(0,1)log sin f x x ∈∴=单调递增区间为sin y x =单调递减区间且
sin 0x >，
所以
22,()2
k x k k Z π
πππ+≤<+∈，
故答案为：[2,2),()2
k k k Z π
πππ++∈
【点睛】
本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
15．或【分析】由对数的运算性质化对数方程为关于的一元二次方程求得的值进一步求得值得答案【详解】由得即化为解得：或或故答案为：或【点睛】本题主要考查的是对数方程的求解将对数方程转化为指数方程是解决本题的关
解析：0x =或1x =. 【分析】
由对数的运算性质化对数方程为关于3x 的一元二次方程，求得3x 的值，进一步求得x 值得答案. 【详解】
由(
)(
)
22log 972log 31x
x
+=++，得
(
)()22log 97log 431x x +=+，
即()97431x
x
+=+， 化为()2
34330x x
-⋅+=，
解得：31x =或33x =， 0x ∴=或1x =.
故答案为：0x =或1x =. 【点睛】
本题主要考查的是对数方程的求解，将对数方程转化为指数方程是解决本题的关键，考查学生的计算能力，是基础题.
16．【分析】由奇函数定义求解【详解】设则∴此时时为奇函数故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性对于分段函数一般需要分类求解象这种由奇函数求参数可设求得参数值然后再验证这个参数值对也适用即可本题
解析：1-． 【分析】
由奇函数定义求解． 【详解】
设0x >，则()1x
f x e -=-，()x
f x e
m --=+，∴10x x e m e --++-=，1m =-．
此时，0x <时，()1,x f x e =-()1()x
f x e f x -=-=-，()f x 为奇函数．
故答案为：1-． 【点睛】
方法点睛：本题考查函数的奇偶性，对于分段函数，一般需要分类求解．象这种由奇函数求参数，可设0x >，求得参数值，然后再验证这个参数值对0x <也适用即可．本题也可以由特殊值如(1)(1)f f -=-求出参数，然后检验即可．
17．3【分析】利用幂函数的定义与性质求得将代入利用对数的运算法则化简得解【详解】在上为增函数解得(舍去）故答案为：3【点睛】正确理解幂函数的定义求得的值和熟练运用对数恒等式是关键
解析：3 【分析】
利用幂函数的定义与性质求得3m =，将3m =代入，利用对数的运算法则化简得解. 【详解】
()()
257m f x m m x =-+在R 上为增函数，
25710
m m m ⎧-+=∴⎨>⎩，解得3,2m m ==(舍去），
1log 2
log 2lg 5lg 4m
m m
∴+-
=3
1log 2
3l l og 3
g1003+=
故答案为：3. 【点睛】
正确理解幂函数的定义求得m 的值和熟练运用对数恒等式是关键.
18．【分析】根据指数幂的运算法则即可求解【详解】根据指数幂的运算法则可得故答案为：【点睛】指数幂运算的一般原则：（1）由括号的先算括号里的无括号的弦做指数运算；（2）弦乘除后加减负指数幂化为正指数幂的倒 解析：a
【分析】
根据指数幂的运算法则，即可求解. 【详解】
21213
2
()33
113
3
2
2
a b a
a a b
a b
----⨯=
==.
故答案为：a . 【点睛】
指数幂运算的一般原则：
（1）由括号的先算括号里的，无括号的弦做指数运算； （2）弦乘除后加减，负指数幂化为正指数幂的倒数；
（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；
（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来求解.
19．【分析】利用换元法可得然后采用等价转换的方法可得在的值域为最后根据二次函数的性质可得结果【详解】由令所以则令由在上的值域为等价为在的值域为的对称轴为且所以可得或所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数
解析：332,22⎡⎤⎡-+⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦
【分析】
利用换元法，可得()2
2
21g x x ax a =-+-，然后采用等价转换的方法，可得()g x 在
2
1,22a a a ⎡⎤--+⎣⎦的值域为[]1,0-，最后根据二次函数的性质，可得结果.
【详解】 由()2
22
21x
f x
ax a =-+-
令22,log x
t x t ==，
所以()()2
222log 2log 1f t t a t a =-+- 则令()2
2
21g x x ax a =-+-
由()f x 在2
122
2,2a a a --+⎡⎤⎣
⎦
上的值域为[]1,0-
等价为()g x 在2
1,22a a a ⎡⎤--+⎣⎦的值域为[]1,0-
()g x 的对称轴为x a =，且()()1,10g a g a =--= 所以
()()22122222
a a a a a a -+-+≤≤-+
1a ≤≤或2a ≤≤
所以332,22a ⎡⎤⎡∈⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦
故答案为：332,22⎡⎤⎡-⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦
【点睛】
本题主要考查函数值域的应用，难点在于使用等价转换思想，使问题化繁为简，属中档题.
20．①②④【分析】根据①②③④各个函数的定义域求出各个函数的值域
判断正误即可【详解】①中函数的定义域值域;故①不正确;②中函数的定义域是值域;故②不正确;③中函数的值域是则它的定义域可能是故③是正确的;
解析：①②④ 【分析】
根据①、②、③、④各个函数的定义域,求出各个函数的值域,判断正误即可. 【详解】
①中函数2x y =的定义域{}|0x x ≤,值域2(0,1]x y =∈;故①不正确; ②中函数1
y x =的定义域是{|2}x x >,值域110,2y x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭
;故②不正确; ③中函数2y x 的值域是{|04}y y ≤≤,则它的定义域可能是{}|22x x -≤≤,故③是正
确的;
④中函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤,∵2log 3,08y x x =≤∴<≤,,故④不正确; 故答案为:①②④. 【点睛】
本题考查函数的定义域及其求法,函数的值域,指数函数的定义域和值域,对数函数的值域与最值,考查计算能力,属于基础题.
三、解答题
21．（1）1()3x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
；（2）()126h a a =-；（3）不存在，理由见解析.
【分析】
（1）设()x
f x c =（0c >且1c ≠），由题意可得()13f -=，可求得c 的值，进而可求
得函数()f x 的解析式；
（2）令11,333x
t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦，设()223k t t at =-+，分析当3a ≥时，函数()k t 的单调
性，进而可得出()()min h a k t =，即可得解；
（3）分析出函数()h a 在区间[],n m 上单调递减，可得出2
2
126126n m m n ⎧-=⎨-=⎩
，将两个等式作差可得出6m n +=，结合3m n >>判断可得出结论. 【详解】
（1）设()x
f x c =（0c >且1c ≠），
因为指数函数()f x 的图象经过点()1,3-，()1
13f c
-∴-==，即13
c =，
因此，()13x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
；
（2）令()13x
t f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭
，[]1,1x ∈-，1,33t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦， 所以，设()2
23k t t at =-+，对称轴为t a =.
3a ≥，可知()k t 在1,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
当3t =时，()k t 取最小值，即()g x 取最小值()()3126h a k a ==-； （3）由（2）知3m n >>时，()126h a a =-在[],n m 上单调递减，
若此时()h a 的值域为2
2
,n m ⎡⎤⎣⎦，则2
2126126n m m n ⎧-=⎨-=⎩
，
即()()()6m n m n m n -=-+，
m n ≠，则0m n -≠，6m n ∴+=，
又3m n >>，则6m n +>，故不存在满足条件的m 、n 的值. 【点睛】
方法点睛：（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴动区间定，不论哪种类型，解决的关键就是考查对称轴于区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）二次函数的单调性主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解. 22．（1）33,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；（2）奇函数，证明见解析；（3）302x <<
【分析】 （1）由320
320
x x +>⎧⎨
->⎩可解得结果；
（2）()F x 是奇函数，根据奇函数的定义可证结论正确； （3）根据对数函数的单调性可解得结果. 【详解】 （1）由320320
x x +>⎧⎨
->⎩，解得3322x -<<，所以函数()F x 的定义域为33
(,)22-.
（2）()F x 是奇函数. 证明如下：
x ∀∈33
(,)22
-，都有x -∈33(,)22
-，因为 ()ln(32)ln(32)()F x x x F x -=--+=-， ∴()F x 是奇函数.
（3）由()0F x >可得()()0f x g x ->，得ln(32)ln(32)0x x +-->， 即ln(32)ln(32)x x +>-，
由对数函数的单调性得32320x x ，解得302
x <<.
【点睛】
易错点点睛：利用对数函数的单调性解对数不等式时，容易忽视函数的定义域. 23．（1）()4x f x =；（2）1 【分析】
（1）利用待定系数法求函数解析式，代入计算即可；
（2）由（1）可得2
()25g x x x =+-，因为()g x x <即225x x x +-<，解一元二次不等
式即可得解； 【详解】
解：（1）依题意函数()(0,1)x f x a m a a =+>≠的图象过点(1,4)，且与函数32y x
=的图像相交于(2,)n .
()()142322
f f n n ⎧
⎪=⎪
∴=⎨⎪⎪=⎩ 所以2
4
16
a m a m +=⎧⎨
+=⎩，解得40a m =⎧⎨=⎩或37a m =-⎧⎨=⎩（舍去） 所以()4x
f x =.
（2）2222
22()log 45log 2525x x g x x x x x =+-=+-=+-，
()g x x <，即225x x x +-<，即250x x +-<
x <<，满足
条件的最大整数为1. 【点睛】
本题考查待定系数法求函数解析式，一元二次不等式的解法，属于基础题. 24．（1）3；（2）4x ≥；（3）2m < 【分析】
（1）由1
(3)2
f =代值运算可求a ；
（2）求得310
()2x f x -=，结合指数函数增减性解不等式，即可求解x 值的取值范围；
（3）分析函数()(),f x g x 增减性，结合端点值解不等式即可 【详解】
（1）因为10311
(3)22
a
f -⎛⎫==
⎪
⎝⎭
，故3a =； （2）由（1）知1033101()22x
x f x --⎛⎫== ⎪⎝⎭
，故()4f x ≥等价于310222x -≥，解得4x ≥； （3）()f x 在[]34，
单增，1
()2
g x x m =-+在[]34，
单减，要使区间[]34，上的每一个x
值，不等式()()f x g x >恒成立，则需满足()()33f g >，即
11
322
m >-⨯+，解得2m <
【点睛】
本题考查指数型函数解析式、指数不等式的求解，由函数在定区间恒成立问题求解参数取值范围，属于中档题
25．（1）()(),12,-∞⋃+∞；（2）[]9,0-；（3）[]1,1-，[
)3,+∞. 【分析】
（1）解不等式2320x x -+>可求得函数(
)
2
2log 32y x x =-+的定义域； （2）利用二次函数的基本性质可求得函数221y x x =-+-，[]2,2x ∈-的值域； （3）将函数2
23y x x =--的解析式表示为分段函数，利用二次函数的基本性质可求得原函数的单调递增区间. 【详解】
（1）对于函数(
)
2
2log 32y x x =-+，有2320x x -+>，解得1x <或2x >. 因此，函数()
22log 32y x x =-+的定义域为()(),12,-∞⋃+∞；
（2）当[]2,2x ∈-时，()[]2
22119,0y x x x =-+-=--∈-，
因此，函数2
21y x x =-+-，[]2,2x ∈-的值域为[]9,0-；
（3）解不等式2230x x -->，解得1x <-或3x >，
所以，22
2223,1
2323,1323,3x x x y x x x x x x x x ⎧--<-⎪=--=-++-≤≤⎨⎪-->⎩
.
二次函数2
23y x x =--的图象开口向上，对称轴为直线1x =. 当1x <-时，函数2
23y x x =--单调递减；
当13x -≤≤时，函数2y x 2x 3=-++在区间[]1,1-上单调递增，在区间[]1,3上单调递减；
当3x >时，函数223y x x =--单调递增.
综上所述，函数223y x x =--的单调递增区间为[]1,1-，[
)3,+∞.
【点睛】
本题考查与二次函数相关问题的求解，考查了对数型复合函数的定义域、二次函数的值域以及含绝对值的二次函数单调区间的求解，考查计算能力，属于中等题. 26．（1）(1,1)-；（2）是奇函数，理由见解析；（3）单调递增，证明见解析. 【分析】
（1）由对数有意义的条件列出不等式组10
10x x +>⎧⎨->⎩
，解之即可；
（2）由（1）知，函数()()f x g x -的定义域关于原点对称，再根据函数奇偶性的概念进行判断即可；
（3）当2a =时，函数()()f x g x -单调递增.根据用定义证明函数单调性的“五步法”：任取､作差､变形､定号､下结论，即可得证. 【详解】 （1）
10x +>，10x ->，11x ∴-<<，
∴函数()()f x g x -的定义域为(1,1)-.
（2）由（1）知，函数()()f x g x -的定义域关于原点对称，
()()log (1)log (1)log (1)log (1)[()()]
a a a a f x g x x x x x f x g x ---=-+-+=--+=--，
∴函数()()f x g x -是奇函数.
（3）当2a =时，函数()()f x g x -单调递增.理由如下： 当(1,1)x ∈-时，1
()()log 1a x f x g x x
+-=-， 设1211x x -<<<， 则
21212112
221121212112
11111[()()][()()]log log log (?)log 11111a
a a a
x x x x x x x x f x g x f x g x x x x x x x x x +++-+-----=-==---+-+-，
1211x x -<<<，2121x x x x ∴->-+，
21122112110x x x x x x x x ∴+-->-+->， ∴
2112
2112
111x x x x x x x x +-->-+-，即211221121log 01a
x x x x x x x x +-->-+-， 2211()()()()f x g x f x g x ∴->-，
故当2a =时，函数()()f x g x -单调递增. 【点睛】
本题考查函数的单调性与奇偶性的判断､对数的运算法则，熟练掌握用定义证明函数单调性和奇偶性的方法是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题.。