数列求和的主要方法教案 高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列求和的主要方法
数列是高中数学的重要内容,又是一种特殊的函数,在高考中占有重要的地位.而数列求和是数列的一个重要内容.除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的方法.下面是数列求和的基本方法.
一、分组求和法
对于既不是等差又不是等比的数列,如果把数列各项拆开后重新组合,能得到常见的数列,则可分组求和.
例1.求和:(
)()1
2
235
435n S --=-⨯+-⨯()()
3
635235n n --+-⨯+
+-⨯.
分析:注意到各项前半部分2,4,6,,2n ,是成等差,后半部分提起公因式3后得到等比数列.
解
:
()()
12235435(63
n S --=-⨯+-⨯+-)
()
35235(2462)n n n --⨯+
+-⨯=+++
+
(
)
12335555(1)3n
n n -----+++
+=+-⨯
2
1115531114515
n
n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 二、错位相减求和法
这种方法主要用于求数列{}n n a b ⋅的前n 项和,其中{}{},n n a b 中一个是等差数列,一个是等比数列,求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比,然后再将所得新和式与原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和.这种方法叫错位相减法.
例2.求23123n n n
S a a a
a
=
++++
(a 为常数)的和. 解:当1a =时,(1)
1232
n n n S n +=+++=,
当1a ≠时,23123n n n
S a a a a
=++++(1)
2341
1123
1n n n n n
S a a a a
a a +-=++++
+
(2)
(1)-(2)得23
11
11
111111111n
n n n n n n a a S a a a a a a a a
++⎛⎫- ⎪
⎛⎫⎝⎭-
=++++-=
- ⎪⎝⎭-
所以()
2
1(1)
(1)n n n a a n a S a a ---=
-.
三、倒序相加法
倒序相加法是推导等差数列的前n 项和公式时用到的方法.即如果一个数列{}n a ,与首末两项距离相等的项之和相等,可用此法求解.
例3.求1,2,3,
,100这样一个等差数列的和.
解:设这个等差数列的和为100S
100123100S =+++
+,(1)
再把项的次序反过来,可以写成
100100991S =++
+,(2)
把(1),(2)两式等号两边分别相加,得
1002101101101101S =++
++,
因为有100个101,所以100210110010100S =⨯= 即100210100S =,所以1005050S =. 四、裂项相消法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.将数列的通项公式拆成两项之差,可以消去中间某些项,剩下有限的几项.常见裂项方法有.
1.
1111()n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
.
2.
1111(21)(21)22121n n n n ⎛⎫
=- ⎪-+-+⎝⎭
.
3.
111(1)(2)2(1)n n n n n ⎡=⎢+++⎣1
(1)(2)n n ⎤-⎥++⎦
.
1
k
=.
例4.等比数列{}n a的各项均为正数,且12a+2
2326
31,9
a a a a
==.
(1)求数列{}n a的通项公式.
(2)设
31323
log log log
n n
b a a a
=++,求数列
1
n
b
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
的前n项和*
n
T
解:(1)设数列{}n a的公比为q,由2326
9
a a a
=,得22
34
9
a a
=,所以2
1
9
q=.
由条件可知0
q>,故
1
3
q=.又因为
12
23
a a
+=1,所以
1
1
3
a=.
故数列{}n a的通项公式
1
3
n n
a=.
(2)
31323
(1)
log log log(123)
2
n n
n n
b a a a n
+
=+++=-++++=-,
所以
1211
2
(1)1
n
b n n n n
⎛⎫
=-=--
⎪
++
⎝⎭
,
所以
123
11111
2[1
2
n
n
T
b b b b
⎛⎫
=++++=--
⎪
⎝⎭
1111112
233411
n
n n n
⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+-+-++-=-
⎪ ⎪ ⎪⎥
++
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦
. 所以数列
1
n
b
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
的前n项和
n
T为
2
1
n
n
-
+
.。