【步步高】（江苏专用）2021届高考数学二轮专题冲破 专题七 第4讲 转化与化归思想 文(1)

第4讲转化与化归思想
转化与化归思想方式，确实是在研究和解决有关数学问题时采纳某种手腕将问题通过变换使之转化，进而取得解决的一种方式．一样老是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．
转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的相互转化、实际问题向数学问题的转化等．各类变换、具体解题方式都是转化的手腕，转化的思想方式渗透到所有的数学教学内容和解题进程中．
1．转化与化归的原那么
(1)熟悉化原那么：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于咱们运用熟悉的知识、体会来解决．
(2)简单化原那么：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或取
得某种解题的启发和依据．
(3)直观化原那么：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．
(4)正难那么反原那么：当问题正面讨论碰到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问
题获解．
2．常见的转化与化归的方式
转化与化归思想方式用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方式或从一种状况转化到另一种情形，也确实是转化到另一种情境使问题取得解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方式有：
(1)直接转化法：把原问题直接转化为大体定理、大体公式或大体图形问题．
(2)换元法：运用“换元”把势子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化
为易于解决的大体问题．
(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过相互变换取得转化途径．
(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的．
(5)特殊化方式：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题．
(6)构造法：“构造”一个适合的数学模型，把问题变成易于解决的问题．
(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方式解决几何问题是转化方式的一个重要途径．
(8)类比法：运用类比推理，猜想问题的结论，易于确信． (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．
(10)补集法：若是正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A ，而把包括该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁U A 取得原问题的解决，表现了正难那么反的原那么． 3． 转化与化归的指导思想
(1)把什么问题进行转化，即化归对象． (2)化归到何处去，即化归目标． (3)如何进行化归，即化归方式．
化归与转化思想是一切数学思想方式的核心． 类型一 特殊与一样的转化
例1 (1)过抛物线y ＝ax 2 (a >0)的核心F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，假设线段PF 与FQ 的长别离是p 、
q ，那么1p ＋1
q
＝________.
(2)已知函数f (x )＝a x
a x ＋a (a >0且a ≠1)，那么f ⎝
⎛⎭⎪⎫1100＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2100＋…＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
99100的值为________． 答案 (1)4a (2)99
2
解析 (1)由x 2＝1
a
y (a >0)知抛物线开口向上，故过核心F 作一在特殊位置的直线即平行于x 轴的直线交抛
物线于P 、Q ，那么PF ＝FQ ＝12a ，即1p ＋1
q ＝4a .
(2)由于直接求解较困难，可探求一样规律， ∵f (x )＋f (1－x )＝
a x a x ＋
a
＋
a 1－x
a 1－x ＋
a
＝
a x a x ＋a
＋
a
a ＋a x
a
＝
a x a x ＋
a
＋
a
a ＋a x
＝
a ＋a x
a x ＋
a
＝1，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2100＋…＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
99100
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝
⎛⎭⎪⎫1100＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫99100＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2100＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫98100＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫49100＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫51100＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫50100＝1×49＋12＝99
2. 一样问题特殊化，使问题处置变得直接、简单．特殊问题一样化，能够使咱们从宏观整体的高度
把握问题的一样规律，从而达到成批的处置问题的成效．
(1)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边别离为a 、b 、c ，假设a 、b 、c 成等差数列，那么
cos A ＋cos C
1＋cos A cos C
＝________.
(2)已知函数f (x )是概念在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，那
么f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
52＝________.
答案 (1)4
5
(2)0
解析 (1)依照题意，所求数值是一个定值，故可利用知足条件的直角三角形进行计算． 令a ＝3，b ＝4，c ＝5，那么△ABC 为直角三角形， 且cos A ＝4
5
，cos C ＝0，
代入所求式子，得cos A ＋cos C
1＋cos A cos C ＝45
＋01＋45×0
＝4
5
.
(2)因为xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )， 因此
f x ＋1f x
＝1＋x x
，
使f (x )特殊化，可设f (x )＝xg (x )，
其中g (x )是周期为1的奇函数，再将g (x )特殊化， 可设g (x )＝sin 2πx ，那么f (x )＝x sin 2πx ，
体会证f (x )＝x sin 2πx 知足题意，那么f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
52＝0.
类型二 相等与不等的转化
例2 假设关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，那么实数a 的取值范围是________．
可采纳换元法，令t ＝3x ，将问题转化为关于t 的方程有正解进行解决．
答案 (－∞，－8]
解析 设t ＝3x ，那么原命题等价于关于t 的方程
t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解，分离变量a 得
a ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫
t ＋4t ，
∵t >0，∴－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
t ＋4t ≤－4，
∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]．
等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，可是它们在必然的条件下能够彼此转化，例如本例，表
面看来似乎只具有相等的数量关系，且依照这些相等关系很难解决，可是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组)来求解，那么显得超级简捷有效．
概念运算：(a b )x ＝ax 2＋bx ＋2，假设关于x 的不等式(a b )x <0的解集为{x |1<x <2}，那
么关于x 的不等式(b a )x <0的解集为________．
答案 ⎝
⎛⎭⎪⎫
－∞，－23∪(1，＋∞)
解析 1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根，
1＋2＝－b
a ，1×2＝2a ，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝－3，
∴(－3D ○＋1)D ○×x ＝－3x 2＋x ＋2<0，得3x 2－x －2>0， 解得x <－2
3或x >1.
类型三 常量与变量的转化
例3 关于知足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是______________．
此题假设按常规法视x 为主元来解，需要分类讨论，如此会很繁琐，假设以p 为主元，即可将原
问题化归为在区间[0,4]上，一次函数f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0成立的x 的取值范围．如此，借助一次函数的单调性就很容易使问题得以解决． 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析 设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3，
那么当x ＝1时，f (p )＝0.因此x ≠1.
f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧
f 0>0，
f 4>0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x －3
x －1>0，x 2－1>0，
解得x >3或x <－1.
在处置多变元的数学问题时，咱们能够选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主元”，而把其它
变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的．
设f (x )是概念在R 上的单调增函数，假设f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，求x
的取值范围．
解 ∵f (x )在R 上是增函数， ∴由f (1－ax －x 2)≤f (2－a )
可得1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]． ∴a (x －1)＋x 2＋1≥0，对a ∈[－1,1]恒成立． 令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1.
那么当且仅当g (－1)＝x 2－x ＋2≥0，g (1)＝x 2＋x ≥0， 解之，得x ≥0或x ≤－1.
故实数x 的取值范围为x ≤－1或x ≥0. 类型四 正与反的彼此转化 例4 假设关于任意t ∈[1,2]，函数
g (x )＝x 3＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，那么实数m 的取值范围是__________． 答案 －37
3
<m <－5
解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，假设g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，那么①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．
由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，∴m ＋4≥2
t
－3t 恒成立，那么m ＋4≥
－1，
即m ≥－5；
由②得m ＋4≤2
x
－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，
则m ＋4≤23－9，即m ≤－37
3
.
∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－37
3
<m <－5.
否定性命题，常要利用正、反的彼此转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可．一样地，
题目假设显现多种成立的情形，那么不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“最多”、“至少”及否定性命题情形的问题中．
假设二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c 使得
f (c )>0，求实数p 的取值范围．
解 若是在[－1,1]内没有值知足f (c )>0，
则⎩⎪⎨⎪⎧
f －1≤0，f 1≤0
⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
p ≤－1
2
或p ≥1，
p ≤－3或p ≥32
⇒p ≤－3或p ≥3
2
，
取补集为－3<p <3
2，即为知足条件的p 的取值范围．
在将问题进行化归与转化时，一样应遵循以下几种原那么 (1)熟悉化原那么：将陌生的问题转化为咱们熟悉的问题． (2)简单化原那么：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．
(3)直观化原那么：将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何问题向平面几何问题转化)．
(4)正难那么反原那么：假设问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题.
1． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝S n ·S n －1 (n ≥2)，a 1＝2
9
，那么a 10＝________.
答案
4
63
解析 由a n ＝S n ·S n －1 (n ≥2)，得
1
S n －1
S n －1＝－1，∴1
S n ＝9
2＋(n －1)×(－1)， ∴S n ＝2
11－2n ，∴a 10＝S 10－S 9＝4
63.
2． 假设方程m ＋
1－x ＝x 有解，那么m 取得最大值为________．
答案 1
解析 由原式得m ＝x －1－x ，
设1－x ＝t (t ≥0)，
则
m ＝1－t 2－t ＝
54－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
t ＋122， ∴m ＝54－⎝ ⎛⎭⎪⎫
t ＋122在[0，＋∞)上是减函数，
∴t ＝0时，m 的最大值为1. 3． 过双曲线x 2a
2－
y 2b
2
＝1上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R 、Q 两点，那么PR →·PQ →
的值为________． 答案 a 2
解析 当直线RQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a ，故PR →·PQ →
＝a 2. 4． 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，那么
a 1＋a 3＋a 9
a 2＋a 4＋a 10
的值是________．
答案 1316
解析 由题意知，只要知足a 1、a 3、a 9成等比数列的条件，{a n }取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列a n ＝n (n ∈N *)，那么
a 1＋a 3＋a 9
a 2＋a 4＋a 10＝
1＋3＋9
2＋4＋10
＝1316
.
5． 已知函数f (x )＝x 3＋2x 2－ax ＋1.假设函数g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，那么实数a 的取值范围是
_______________________________________________________．
答案 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－43，7
解析 g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋4x －a ，g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x 2＋4x ＝a 在区间(－1，1)上有解，等价于a 的取值范围是函数y ＝3x 2＋4x 在区间(－1,1)上的值域，不难求出那个函数的值域是
⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－43，7. 故所求的a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
－43，7.
6． 设函数
f (x )＝x 3＋sin
x ，假设0≤θ≤π
2
时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，那么实数m 的取值范围是
____________． 答案 (－∞，1)
解析 易知f (x )为奇函数、增函数，
f (m cos θ)＋f (1－m )>0，
即f (m cos θ)>f (m －1)，∴m cos θ>m －1，
而0≤θ≤π2时，cos θ∈[0,1]，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
m >m －1，
0>m －1
得m <1.
7． 抛物线y ＝x 2中的所有弦都不能被直线y ＝m (x －3)垂直平分，那么常数m 的取值范围是____________．
答案 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
－12，＋∞
解析 假设抛物线上两点(x 1，x 21)，(x 2，x 22)关于直线y ＝m (x －3)对称，那么知足
⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 21＋x 22
2＝m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 1＋x 22－3，x 2
1
－x 22x 1
－x 2＝－1
m ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
1
＋x 22
＝m x 1
＋x 2
－6，
x 1
＋x 2
＝－1
m ，
消去x 2，得2x 21＋
2m x 1＋1
m
2＋6m ＋1＝0.
∵x 1∈R ，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2－8⎝ ⎛⎭
⎪⎫1m 2＋6m ＋1>0，∴m <－12.
即m <－1
2时，抛物线上存在两点关于直线y ＝m (x －3)对称，因此若是抛物线y ＝x 2中的
所有弦都不能被直线y ＝m (x －3)垂直平分，那么m ≥－1
2
.
8． 已知奇函数f (x )的概念域为实数集R ，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，当0≤θ≤π
2
时，是不是存在如此的实
数m ，使f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>f (0)对所有的θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0，π2均成立？假设存在，求出所有适合条
件的实数m ；假设不存在，请说明理由．
解 因为f (x )在R 上为奇函数，又在[0，＋∞)上是增函数，故f (x )在R 上为增函数，且f (0)＝0. 由题设条件可得，f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0. 又由f (x )为奇函数，可得
f (cos 2θ－3)>f (2m cos θ－4m )．
∵f (x )在R 上为增函数， ∴cos 2θ－3>2m cos θ－4m ， 即cos 2θ－m cos θ＋2m －2>0. 令cos θ＝t ，∵0≤θ≤π
2，∴0≤t ≤1.
于是问题转化为对一切0≤t ≤1， 不等式t 2－mt ＋2m －2>0恒成立． ∴t 2－2>m (t －2)，即m >
t 2－2t －2
恒成立．
又∵
t 2－2t －2
＝(t －2)＋
2
t －2
＋4≤4－22，∴m >4－2
2，
∴存在实数m 知足题设的条件，且m >4－2
2.。