高考数学一轮复习讲义(新高考版) 第9章 第6讲 高效演练分层突破

[基础题组练]
1．(2019·高考北京卷)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率是5,则a ＝( )
A ． 6
B ．4
C ．2
D ．1
2
解析:选D ．由双曲线方程x 2a 2－y 2
＝1,
得b 2＝1, 所以c 2＝a 2＋1. 所以
5＝e 2＝
c 2a 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a
2. 结合a ＞0,解得a ＝1
2.
故选D ．
2．若双曲线C 1:x 22－y 28＝1与C 2:x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的渐近线相同,且双曲线C 2的焦距
为45,则b ＝( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解析:选B ．由题意得,b
a ＝2⇒
b ＝2a ,C 2的焦距2
c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4,故选
B ．
3．设双曲线
x 2－
y 2
8
＝1的两个焦点为F 1,F 2,P 是双曲线上的一点,且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4,则△PF 1F 2的面积等于( )
A ．10 3
B ．8 3
C ．8 5
D ．16 5
解析:选C ．依题意|F 1F 2|＝6,|PF 2|－|PF 1|＝2,因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4,所以|PF 1|＝6,|PF 2|＝8,所以等腰三角形PF 1F 2的面积S ＝1
2
×8×
62－⎝⎛⎭⎫822
＝8 5.
4．(2020·长春市质量监测(一))已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的两个顶点分别为A ,B ,
点P 为双曲线上除A ,B 外任意一点,且点P 与点A ,B 连线的斜率分别为k 1,k 2,若k 1k 2＝3,则双曲线的渐近线方程为( )
A ．y ＝±x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±3x
D ．y ＝±2x
解析:选C ．设点P (x ,y ),由题意知k 1·k 2＝y x －a ·y x ＋a ＝y 2x 2－a 2＝y 2a 2y 2b 2
＝b 2a 2
＝3,所以其渐近线
方程为y ＝±3x ,故选C ．
5．(多选)(2021·预测)已知F 1,F 2分别是双曲线C :y 2－x 2＝1的上、下焦点,点P 是其中一条渐近线上的一点,且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ,则( )
A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x
B ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1
C ．点P 的横坐标为±1
D ．△PF 1F 2的面积为 2
解析:选ACD ．等轴双曲线C :y 2－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ,故A 正确;由双曲线的方程可知|F 1F 2|＝22,所以以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2,故B 错误;点P (x 0,y 0)在圆x 2
＋y 2＝2上,不妨设点P (x 0,y 0)在直线y ＝x 上,所以⎩
⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝2y 0＝x 0解得|x 0|＝1,则点P 的横坐标为±1,
故C 正确;由上述分析可得△PF 1F 2的面积为1
2
×22×1＝2,故D 正确．故选ACD ．
6．(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2－
y 2
b 2
＝1(b ＞0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是________．
解析:因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)经过点(3,4),所以9－16
b 2
＝1(b ＞0),解得b ＝2,即双曲线方程为
x 2－
y 2
2
＝1,其渐近线方程为y ＝±2x . 答案:y ＝±2x
7．(2020·云南昆明诊断测试改编)已知点P (1,3)在双曲线C :x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的渐
近线上,F 为双曲线C 的右焦点,O 为原点．若∠FPO ＝90°,则双曲线C 的方程为________,其离心率为________．
解析:因为双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b
a x ,点P (1,3)在渐近线上,
所以b
a ＝ 3.在Rt △OPF 中,|OP |＝(3)2＋1＝2,∠FOP ＝60°,所以|OF |＝c ＝4.又c 2＝a 2＋
b 2,
所以b ＝23,a ＝2,所以双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1,离心率e ＝c
a
＝2.
答案:x 24－y 2
12
＝1 2
8.如图,F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右两个焦点,若直线y ＝x 与双曲线C
交于P ,Q 两点,且四边形PF 1QF 2为矩形,则双曲线的离心率为________．
解析:由题意可得,矩形的对角线长相等,将直线y ＝x 代入双曲线C 方程,可得x ＝±
a 2
b 2
b 2－a 2
,所以2·a 2b 2
b 2－a
2
＝c ,所以2a 2b 2＝c 2(b 2－a 2),即2(e 2－1)＝e 4－2e 2,所以e 4－4e 2＋2＝0.因为e ＞1,所以e 2＝2＋2,所以e ＝2＋ 2.
答案:2＋ 2
9．已知椭圆D :x 250＋y 2
25＝1与圆M :x 2＋(y －5)2＝9,双曲线G 与椭圆D 有相同焦点,它的两
条渐近线恰好与圆M 相切,求双曲线G 的方程．
解:椭圆D 的两个焦点坐标为(－5,0),(5,0), 因而双曲线中心在原点,焦点在x 轴上,且c ＝5. 设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0,b ＞0),
所以渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25, 又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为3. 所以
|5a |
b 2＋a 2
＝3,得a ＝3,b ＝4, 所以双曲线G 的方程为x 29－y 2
16
＝1.
10．已知双曲线的中心在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,离心率为2,且过点(4,－10)． (1)求双曲线方程;
(2)若点M (3,m )在双曲线上,求证:点M 在以F 1F 2为直径的圆上． 解:(1)因为离心率e ＝2, 所以双曲线为等轴双曲线, 可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0), 则由点(4,－10)在双曲线上, 可得λ＝42－(－10)2＝6, 所以双曲线的方程为x 2－y 2＝6. (2)证明:因为点M (3,m )在双曲线上, 所以32－m 2＝6,所以m 2＝3,
又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23,0),F 2(23,0),
所以MF 1→·MF 2→
＝(－23－3,－m )·(23－3,－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0,所以MF 1⊥MF 2,所以点M 在以F 1F 2为直径的圆上．
[综合题组练]
1．设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的右焦点是F ,左、右顶点分别是A 1,A 2,过F 作A 1A 2的
垂线与双曲线交于B ,C 两点．若A 1B ⊥A 2C ,则该双曲线的渐近线方程为( )
A ．y ＝±1
2x
B ．y ＝±2
2x
C ．y ＝±x
D ．y ＝±2x
解析:选C ．如图,不妨令B 在x 轴上方,因为BC 过右焦点F (c ,0),且垂直于x 轴,所以可求
得B ,C 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c b 2a ,⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
c －b 2a .又A 1,A 2的坐标分别为(－a ,0),(a ,0)．
所以A 1B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c ＋a b 2a ,A 2C →
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫c －a －b 2a .
因为A 1B ⊥A 2C ,所以A 1B →·A 2C →
＝0, 即(c ＋a )(c －a )－b 2a ·b 2
a ＝0,
即c 2－a 2－
b 4a 2＝0,所以b 2
－b 4a 2＝0,故b 2a 2＝1,即b a
＝1. 又双曲线的渐近线的斜率为±b
a ,
故该双曲线的渐近线的方程为y ＝±x .
2．过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的左焦点F (－
c ,0)作圆O :x 2＋y 2＝a 2的切线,切点为E ,
延长FE 交双曲线于点P ,若E 为线段FP 的中点,则双曲线的离心率为( )
A ． 5
B ．52
C ．5＋1
D ．
5＋1
2
解析:选A ．法一:如图所示,不妨设E 在x 轴上方,F ′为双曲线的右焦点,连接OE ,PF ′,因为PF 是圆O 的切线,所以OE ⊥PE ,又E ,O 分别为PF ,FF ′的中点,所以|OE |＝1
2
|PF ′|,又|OE |＝a ,所
以|PF′|＝2a,根据双曲线的性质,|PF|－|PF′|＝2a,所以|PF|＝4a,所以|EF|＝2a,在Rt△OEF 中,|OE|2＋|EF|2＝|OF|2,即a2＋4a2＝c2,所以e＝5,故选A．
法二:连接OE,因为|OF|＝c,|OE|＝a,OE⊥EF,所以|EF|＝b,设F′为双曲线的右焦点,连接PF′,因为O,E分别为线段FF′,FP的中点,所以|PF|＝2b,|PF′|＝2a,所以|PF|－|PF′|＝2a,所以b ＝2a,所以e＝1＋⎝⎛⎭⎫
b
a
2
＝ 5.
3．已知M(x0,y0)是双曲线C:
x2
2－y
2＝1上的一点,F1,F2是双曲线C的两个焦点．若MF1
→
·MF2
→
＜0,则y0的取值范围是________．
解析:由题意知a＝2,b＝1,c＝3,
设F1(－3,0),F2(3,0),
则MF1
→
＝(－3－x0,－y0),MF2
→
＝(3－x0,－y0)．
因为MF1
→
·MF2
→
＜0,
所以(－3－x0)(3－x0)＋y20＜0,
即x20－3＋y20＜0.
因为点M(x0,y0)在双曲线C上,
所以
x20
2－y
2
＝1,即x20＝2＋2y20,
所以2＋2y20－3＋y20＜0,所以－
3
3＜y0＜
3
3.
答案:
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
3
3
3
3
4．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C:
x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,若F1A
→
＝AB
→
,F1B
→
·F2B
→
＝0,则C的离心率为________．
解析:法一:因为F1B
→
·F2B
→
＝0,所以F1B⊥F2B,如图．
所以|OF 1|＝|OB |,所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ,所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →
,所以点A 为F 1B 的中点,又点O 为F 1F 2的中点,所以OA ∥BF 2,所以F 1B ⊥OA ,因为直线OA ,OB 为双曲线C 的两条渐近线,所以tan ∠BF 1O ＝a b ,tan ∠BOF 2＝b a .因为tan ∠BOF 2＝tan(2∠BF 1O ),所以
b
a ＝2×a
b 1－⎝⎛⎭
⎫a b 2,所以b 2＝3a 2,所以c 2－a 2＝3a 2
,即2a ＝c ,所以双曲线的离心率e ＝c a ＝2. 法二:因为F 1B →·F 2B →
＝0,所以F 1B ⊥F 2B ,在Rt △F 1BF 2中,|OB |＝|OF 2|,所以∠OBF 2＝∠OF 2B ,又F 1A →＝AB →
,所以A 为F 1B 的中点,所以OA ∥F 2B ,所以∠F 1OA ＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝
∠BOF 2
,所以△OBF 2
为等边三角形．由F 2
(c ,0)可得B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫c
23c
2,因为点B 在直线y ＝b a x 上,所以3
2c ＝b a ·c 2,所以b
a
＝3,所以e ＝1＋b 2
a
2＝2. 答案:2
5．已知双曲线C :x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的离心率为3,点(3,0)是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线,直线与双曲线交于不同的两点A ,B ,求|AB |. 解:(1)因为双曲线C :x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0,b ＞0)的离心率为3,点(3,0)是双曲线的一个顶点,
所以⎩⎨⎧c
a
＝3a ＝
3
解得c ＝3,b ＝6,
所以双曲线的方程为x 23－y 2
6＝1.
(2)双曲线x 23－y 2
6
＝1的右焦点为F 2(3,0),
所以经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝
3
3
(x －3)．
联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 2
6
＝1y ＝33(x －3)
得5x 2
＋6x －27＝0.
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝－65,x 1x 2＝－27
5.
所以|AB |＝
1＋1
3
× ⎝⎛⎭⎫－652
－4×⎝⎛⎭⎫－275＝1635
. 6．已知双曲线C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率e ＝5
2
,虚轴长为2. (1)求双曲线C 的标准方程;
(2)若直线l :y ＝kx ＋m 与双曲线C 相交于A ,B 两点(A ,B 均异于左、右顶点),且以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ,求证:直线l 过定点．
解:(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0,b ＞0)．
由已知得c a ＝5
2
,2b ＝2,又a 2＋b 2＝c 2,
所以a ＝2,b ＝1,所以双曲线的标准方程为x 24
－y 2
＝1.
(2)证明:设A (x 1
,y 1
),B (x 2
,y 2
),联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m
x 2
4
－y 2
＝1
得(1－4k 2)x 2－8kmx －4(m 2＋1)＝0, 所以
Δ＝64m 2k 2＋16(1－4k 2)(m 2＋1)＞0,x 1＋x 2＝
8mk
1－4k 2＞0,x 1x 2＝－4(m 2＋1)1－4k 2
＜0,所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝
m 2－4k 2
1－4k 2
.
因为以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D (－2,0),所以k AD ·k BD ＝－1,即y 1x 1＋2·y 2
x 2＋2
＝－1, 所以y 1y 2＋x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝0, 即m 2－4k 21－4k 2＋－4(m 2＋1)1－4k 2＋16mk 1－4k 2＋4＝0, 所以3m 2－16mk ＋20k 2＝0, 解得m ＝2k 或m ＝10k 3
.
当m ＝2k 时,l 的方程为y ＝k (x ＋2),直线过定点(－2,0),与已知矛盾;
当m ＝10k
3时,l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋103,直线过定点⎝ ⎛⎭⎪
⎪⎫－1030,经检验符合已知条件． 故直线l 过定点⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
－1030.。