04课堂练习

例 1 证明：函数 f (x )＝
sin x x
在区间 证明 f ′(x )＝ x cos x －sin x x 2 ，又 x 则 cos x <0，sin x ＞0，∴x cos x －sin x <0，
∴f ′(x )<0，∴f (x )
跟踪演练 1 证明：函数 f (x )＝
ln x 在区间(0，e)上是增函数．
x
ln x x ·1－ln x 1－ln x 证明 ∵f (x )＝ ，∴f ′(x )＝ x
＝ . x x 2 x 2 又 0<x <e ，∴ln x <ln e ＝1.
∴f ′(x )＝1－ln x >0，故 f (x )在区间(0，e)上是增函数． x 2
要点二 利用导数求函数的单调区间
例 2 求下列函数的单调区间：
(1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1； (2)f (x )
＝sin x －x (0<x <π)； (3)f (x )＝3x 2－
2ln x ；
解 (1)f ′(x )＝ 6x 2＋6x －36，
由 f ′(x )>0 得 6x 2＋6x －36>0，解得 x < －3 或 x >2；
由 f ′(x )＜0 解得－3<x <2.
故 f (x )的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
单调递减区间是(－3,2)．
(2)f ′(x )＝cos x －1.因为 0＜x ＜π，
所以 cos x －1＜0 恒成立，
故函数 f (x )的单调递减区间为(0，π)．
(3)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x 2 2·3x 2－1 － ＝ . x x
令 f ′(x )>0，即 2·3x 2－1＞0，
x
又∵x ＞0，∴x 3
令 f ′(x )＜0，即 2·3x 2－1＜0，
x
. ) 又∵x ＞0，∴0＜x
3
∴f (x )的单调递增区间为
要点三 已知函数单调性求参数的取值范围
例 3 已知函数 f (x )＝x 2 a ＋ (x ≠0，常数 a ∈R )．若函数 f (x )在 x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，
x
求 a 的取值范围．
解 f ′(x )＝2x － a ＝2x 3－a .
x 2 x 2
要使 f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，
则 f ′(x )≥0 在 x ∈[2，＋∞)时恒成立，
2x 3－a
2 即
≥0 在 x ∈[2，＋∞)时恒成立．∵x >0， x 2
∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3 在 x ∈[2，＋∞)上恒成立．
∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3 是单调递增的，
∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.
当 a ＝16 时，f ′(x )＝2x 3－16≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有 f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是(－∞，
x 2
16]．
跟踪演练 3 若函数 f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1 是 R 上的单调函数，求实数 m 的取值范围． 解 f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由于 f (x )是 R 上的单调函数，所以 f ′(x )≥0 恒成立或 f ′(x )≤0 恒成立．
由于导函数的二次项系数 3>0，所以只能有 f ′(x )≥0 恒成立．
方法一 由上述讨论可知Δ＝4－12m ≤0，故 m ≥1 经检验，当 m ＝ 3 ＝0，符合题意，所以实数 m 的取值范围是[1，＋∞)．
3
1时，只有一个点使 3
f ′(x ) 方法二 由上述讨论可知 3x 2＋2x ＋m ≥恒成立，即 m ≥－3x 2－2x 恒成立．
设 g (x )＝－3x 2－2x ＝－3(x ＋1 2＋ 3 1 1，易知函数 3 1 g (x )在 R 1 上的最大值为 ，故 3 m ≥1 3
，经检验 m ＝ 符合题意．所以 m 的取值范围是[ 3 ，＋∞). 3。