辽宁省大连经济技术开发区高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)

2016～2017学年度第二学期期末考试试卷
高二数学（理科）
一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知是虚数单位，则复数（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ,选B.
2. “任何实数的平方大于0，因为是实数，所以＞0”，这个三段论推理（）
A. 大前题错误
B. 小前题错误
C. 推理形式错误
D. 是正确的
【答案】A
【解析】任何实数的平方大于或等于0,所以大前题错误,选A.
3. 某校食堂的原料费支出与销售额（单位：万元）之间有如下数据，
根据表中提供的数据，用最小二乘法得出对的回归直线方程为，则表中
的值为（）
A. 60
B. 50
C. 55
D. 65
【答案】B
【解析】 ,选B
点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.
4. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于”时，假设正确的是（）
A. 假设三个内角都不大于
B. 假设三个内角都大于
C. 假设三个内角至多有一个大于
D. 假设三个内角至多有两个大于
【答案】B
【解析】至少有一个不大于的反面为三个内角都大于,所以选B.
5. 下面几种推理中是演绎推理的为（）
A. 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；
B. 猜想数列的通项公式为；
C. 由半径为的圆的面积，得单位圆的面积；
D. 由平面直角坐标系中圆的方程为，推测空间直角坐标系中球的方程为
【答案】C
【解析】试题分析：演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程，结合定义可知只有C项为演绎推理
考点：演绎推理
6. 用数学归纳法证明（），在验
证时，等式的左边等于
（）
A. 1
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】时，等式的左边等于,选C.
7. 在的二项展开式中，的系数为（）
A. 10
B.
C. 40
D.
【答案】D
【解析】试题分析：展开式通项公式为
，令，系数为
考点：二项式定理
8. 5张卡片上分别标有号码1,2,3,4,5，现从中任取3张，则3张卡片中最大号码为4的
概率是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】从5张卡片中任取3张有种方法,其中3张卡片中最大号码为4的有
种方法,因此概率为，选B.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
9. 若且则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为
，选C.
10. 将5封不同的信全部投入4个邮筒，每个邮筒至少投一封，不同的投法共有（）
A. 120种
B. 356种
C. 264种
D. 240种
【答案】D
【解析】4个邮筒有一个邮筒投2封信，其它三个邮筒投1封信，所以共有,选D.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列
组合问题——间接法.
11. 袋中装有标号为1，2，3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次.若每次抽到各球的机会均等，事件表示“三次抽到的号码之和为6”，事件B 表示“三次抽到的号码都是2”，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：由题意得，事件“三次抽到的号码之和为”的概率为
，事件同时发生的概率为，所以根据条件概率的计算公式.
考点：条件概率的计算.
12. 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）
A. 243
B. 252
C. 261
D. 352
【答案】B
【解析】有三个重复数字的三位数为9个；有两个重复数字的三位数分以下情况讨论：个位与十位重复：有；个位与百位重复：有；十位与百位重复：有；故共有，选B.
二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）
13. 已知随机变量服从正态分布，如图所示．若在内取值的概率为0.4，则
在内取值的概率为_______________．
【答案】0.8
【解析】解：∵ξ服从正态分布N（1，σ2）
∴曲线的对称轴是直线x=1，
∵ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，
∴根据正态曲线的性质知在（0，2）内取值的概率为0.8
14. 掷两颗骰子，掷得的点数和大于9的概率为_________.
【答案】
【解析】掷得的点数和大于9有 6种，所以概率为
15. 若，则
_______
【答案】33
【解析】令得；令得，所以
33
点睛：赋值法研究二项式的系数和问题
“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如
的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令
即可.
16. 若是离散型随机变量，，，且.又已知，
，则的值为 _____________.
【答案】3
【解析】因为所以
三．解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 已知复数在复平面内对应的点分别为，，（）．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若复数对应的点在二、四象限的角平分线上，求的值．
【答案】（1）或（2）
【解析】试题分析：（1）根据复数的模可得方程，解得或（2）根据复数共轭及复数乘法得z=在直线上，再根据复数几何意义得在直线上,列方程，解得
试题解析：解：（I）由复数的几何意义可知：．
因为，所以．
解得或
（II）复数
由题意可知点在直线上
所以，解得
点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为
18. 为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员名,其中种子选手名;乙协会的运动员名,其中种子选手名.从这名运动员中随机选择人参加比赛.
(1)设为事件“选出的人中恰有名种子选手,且这名种子选手来自同一个协会”求事件发生的概率;
(2)设为选出的人中种子选手的人数,求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】（1）（2）分布列见解析，
【解析】试题分析：（1）从这名运动员中随机选择人参加比赛有种方法，而事件A包含
种方法，最后根据古典概型概率求法得概率（2）先确定随机变量取法为，再利用组合求出对应概率。

列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望
试题解析：解：（I）由已知，有，
所以事件发生的概率为
（II）随机变量的所有可能取值为
.
所以，随机变量的分布列为
随机变量的数学期望
19.
某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为
1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（Ⅰ）设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件发生的概率； （Ⅱ）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1）（2）分布列见解析，
【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用概率公式求解；(2)借助题设条件运用概率公式和数学期望公式求解. 试题解析： 由题得：
的可能取值为
，
，
∴的分布列为：
∴
考点：概率公式及数学期望的计算公式等有关知识的综合运用．
20. 某校随机调查80名学生，以研究学生爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的
列联表：
（Ⅰ）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查本校的3名学生，设这3人中爱好羽毛球运动的人数为，求的分布列和数学期望；
（Ⅱ）根据表3中数据，能否认为爱好羽毛球运动与性别有关？
附：
【答案】（1）分布列见解析，（2）没有理由
【解析】试题分析：（1）服从二项分布：，根据二项分布公式写出分布列及数学期望（2）由卡方公式可得，再与参考公式数据比较可得结论
试题解析：解：（I）任一学生爱好羽毛球的概率为,故.
，
所以，随机变量的分布列为
随机变量的数学期望
（II）因为
所以没有理由认为爱好羽毛球运动与性别有关
21. 在极坐标系中，点，曲线的方程为 .以极点为原点，以极轴为
轴正半轴建立直角坐标系.
（Ⅰ）求点的直角坐标及曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）斜率为的直线过点，且与曲线交于两点，求点到两点的距离之积. 【答案】（1）（2）2
【解析】试题分析：（1）由将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；将点的极坐标化为直角坐标（2）先建立直线参数方程（具有几何意义），再代入抛物线方程，利用参数几何意义及韦达定理求点到两点的距离之积.
试题解析：解:（I）点M的直角坐标为，
曲线C的直角坐标方程为
（II）直线的参数方程为.
把直线的参数方程代入曲线C的方程得
，，
设A、B对应的参数分别为，则，
由t的几何意义得
22. 已知函数 .
（Ⅰ）写出函数的分段解析表达式，并作出的图象；
（Ⅱ）求不等式的解集.
【答案】（1）图像见解析（2）
【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将函数化为分段函数形式，再作出图像（2）利用翻折作出图像，结合图像，求出在y=2上点的范围，即为不等式解集
试题解析：解：（I）
的图象如图所示
（II）方法一：由的表达式及图象，当时，可得；当时，可得；
故的解集为；的解集为；
所以不等式的解集为
方法二：由（I）可知
所以
当时，，解得
当时，，解得
当时，，解得
当时，，解得
综上，的解集为
23. 在平面直角坐标系中，曲线，曲线：（为参数）.
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线，的极坐标方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的极坐标系中，射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1），先根据三角平方关系将曲线参数方程化为直角坐标方程，再由
将曲线，的直角坐标方程化为极坐标方程（2）利用解直角三角形得M点到直线距离为三角形的高，再根据极径关系可得底边边长为，最后根据三角形面积公式求面积
试题解析：（Ⅰ）解：，
（Ⅱ）到射线的距离为
则
24. 设对于任意实数，不等式恒成立，且的最大值为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，且，求证：．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：（1）由不等式恒成立知最大值为零，所以的最大值为1，即
（2）由柯西不等式得,即得结论
试题解析：解：（I）因为不等式恒成立，
所以，即，所以
（II）因为，所以
即，
故，
于是，
因为，于是得.当时取等号.
点睛:柯西不等式的一般形式：设为实数，则
当且仅当
或存在一个数，使时，等号成立.。