2019-2020学年新教材素养突破人教A版数学必修第一册课件：第四章 指数函数与对数函数 4.5.
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第十九页，编辑于星期日：点 分。
题型二 用二分法求函数零点的近似值 例 2 用二分法求函数 f(x)＝x3－x－1 在区间[1,1.5]内的一个零 点．(精确度 0.01)
第二十页，编辑于星期日：点 分。
【解析】 经计算 f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以函数在[1,1.5]内存
在零点 x0. 取(1,1.5)的中点 x1＝1.25，经计算 f(1.25)＜0， 因为 f(1.5)·f(1.25)＜0，所以 x0∈(1.25,1.5)， 如此继续下去，如下表：
第八页，编辑于星期日：点 分。
[基础自测] 1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函 数零点近似值的是( )
第九页，编辑于星期日：点 分。
解析：根据二分法的基本方法，函数 f(x)在区间[a，b]上的图象 连续不断，且 f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间 [a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选 项 A、B、D 都符合条件，而选项 C 不符合，因为图象在零点两侧 函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．
第二十四页，编辑于星期日：点 分。
跟踪训练 2 利用计算器求方程 x2－2x－1＝0 的正解的近似值 (精确度 0.1)．
【解析】 设 f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，又 f(x)在(2,3)内递增，∴在区间(2,3)内，方程 x2－2x－1＝0 有唯一实
数根，记为 x0. 取区间(2,3)的中点 x1＝2.5，∵f(2.5)＝0.25＞0， ∴x0∈(2,2.5)． 再取区间(2,2.5)的中点 x2＝2.25，∵f(2.25)＝－0.437 5＜0， ∴x0∈(2.25,2.5)． 同理可得，x0∈(2.375,2.5)，x0∈(2.375,2.437 5)． ∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5＜0.1， 故方程 x2－2x－1＝0 的一个精确度为 0.1 的近似正解可取为
第一页，编辑于星期日：点 分。
知识点一 用二分法求方程的近似解 1．二分法 对于在区间[a，b]上连__续__不__断___且_f(_a_)·_f_(b_)_＜__0的函数 y＝f(x)，通 过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间_一__分__为__二__，使区间的两个端 点逐步逼近_零__点___，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
【答案】 (1)D (2)B
第十五页，编辑于星期日：点 分。
状元随笔 (1)在无法通过解方程 f(x)＝0 求出方程根的情况下，需用二分 法求函数的零点． (2)可以用二分法求出的零点左右函数值异号.
第十六页，编辑于星期日：点 分。
方法归纳 二分法的适用条件
第十一页，编辑于星期日：点 分。
3．某同学最近 5 年内的学习费用 y(千元)与时间 x(年)的关系如 图所示，则可选择的模拟函数模型是( )
A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c C．y＝a·ex＋b D．y＝aln x＋b 解析：由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模 型是 y＝ax2＋bx＋c. 答案：B
第十三页，编辑于星期日：点 分。
题型一 二分法概念的理解[经典例题] 例 1 (1)下列函数中，必须用二分法求其零点的是( ) A．y＝x＋7 B．y＝5x－1 C．y＝log3x D．y＝12x－x (2)下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函 数零点的是( )
第十四页，编辑于星期日：点 分。
第二十七页，编辑于星期日：点 分。
【解析】 借助信息技术画出函数 y＝5，y＝0.25x，y＝log7x ＋1，y＝1.002x 的图象(图 1)．观察图象发现，在区间[10,1 000]上， 模型 y＝0.25x，y＝1.002x 的图象都有一部分在直线 y＝5 的上方，
只有模型 y＝log7x＋1 的图象始终在 y＝5 的下方，这说明只有按模 型 y＝log7x＋1 进行奖励时才符合公司的要求．
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点 附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数 的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零 点不适用．
第十七页，编辑于星期日：点 分。
跟踪训练 1 用二分法求方程 2x＋3x－7＝0 在区间[1,3]内的 根，取区间的中点为 x0＝2，那么下一个有根的区间是________．
第五页，编辑于星期日：点 分。
4．幂函数模型 幂函数 y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
第六页，编辑于星期日：点 分。
状元随笔 函数模型的选取 (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型． (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时， 常常选用对数函数模型． (3)幂函数模型 y＝xn(n＞0)则可以描述增长幅度不同的变化，n 值越小(n≤1)时，增长较慢；n 值较大(n＞1)时，增长较快．
答案：C
第十页，编辑于星期日：点 分。
2．在用二分法求函数 f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64) ＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确度为 0.1 的正实数 零点的近似值为( )
A．0.6 B．0.75 C．0.7 D．0.8 解析：已知 f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数 f(x)的零点的初始区 间为[0.64,0.72]． 又 0.68＝0.64＋2 0.72，且 f(0.68)＜0， 所以零点在区间[0.68,0.72]上，因为|0.68－0.72|＝0.04＜0.1，因 此所求函数的一个正实数零点的近似值约为 0.7，故选 C. 答案：C
－0.02
第二十一页，编辑于星期日：点 分。
因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5＜0.01， 所以函数 f(x)＝x3－x－1 精确度为 0.01 的一个近似零点可取为 1.328 125.
第二十二页，编辑于星期日：点 分。
状元随笔 方程 x3－x－1＝0 的正解对应函数 f(x)＝x3－x－1 的图象与 x 轴正半轴交点的横坐标，确定出解的初始区间，利用二分法求出近 似解.
第三页，编辑于星期日：点 分。
状元随笔 二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法， 找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某 个数值近似地表示真正的零点．
第四页，编辑于星期日：点 分。
知识点二 常见的增长模型 1．线性函数模型 线性函数模型 y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长 速度不变． 2．指数函数模型 能利用_指__数__函__数__(底___数__a_＞__1_)___表达的函数模型叫指数函数模 型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越 来越快，常形象地称为指数爆炸． 3．对数函数模型 能用__对__数__函__数__(_底__数__a_＞__1_)__表达的函数模型叫做对数函数模 型，对数函数增长的特点是_随__自__变__量__的__增__大__，函数值增长速度 _越__来__越__慢__．
第二页，编辑于星期日：点 分。
2．给定精确度 ε，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 第一步：确定闭区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)＜0，给定精确度 ε. 第二步：求区间(a，b)的中点 c. 第三步：计算 f(c)． (1)若 f(c)＝0，则 c 就是函数的零点； (2)若 f(a)·f(c)＜0， 则令 b＝c(此时零点 x0∈(a，c))； (3)若 f(c)·f(b)＜0， 则令 a＝c(此时零点 x0∈(c，b))． 第四步：判断是否达到精确度 ε，即若|a－b|＜ε，则得到零点 近似值 a(或 b)，否则重复第二步至第四步．
【解析】 (1)
A × 解方程 x＋7＝0，得 x＝－7
B×
解方程 5x－1＝0，得 x＝0
C×
解方程 log3x＝0，得 x＝1
D √ 无法通过方程12x－x＝0 得到零点 (2)利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在 B
中，不满足 f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点，由于 A、C、D 中
2.437 5.
第二十五页，编辑于星期日：点 分。
状元随笔 本题用求根公式可以求得 x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2，取精确到 0.1 的近似值是 x1≈2.4，x2≈－0.4.这与用二分法所得结果相同．
第二十六页，编辑于星期日：点 分。
题型三 函数模型的选择问题[教材 P152 例 6] 例 3 某公司为了实现 1 000 万元利润的目标，准备制定一个 激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到 10 万元时，按销售利 润进行奖励，且奖金 y(单位：万元)随销售利润 x(单位：万元)的增 加而增加，但奖金总数不超过 5 万元，同时奖金不超过利润的 25%. 现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个 模型能符合公司的要求？
第七页，编辑于星期日：点 分。
[教材解难] 教材 P149 思考
因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生 了较大矛盾，所以我国从 20 世纪 70 年代逐步实施了计划生育政 策．因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型 的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况．
图1
第二十八页，编辑于星期日：点 分。
下面通过计算确认上述判断． 先计算哪个模型的资金总数不超过 5 万元． 对于模型 y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上单调递增，而且当 x ＝20 时，y＝5，因此，当 x＞20 时，y＞5，所以该模型不符合要求； 对于模型 y＝1.002x，由函数图象，并利用信息技术，可知在区 间(805,806)内有一个点 x0 满足 1.002x0＝5，由于它在区间[10,1 000] 上单调递增，因此当 x＞x0 时，y＞5，所以该模型也不符合要求； 对于模型 y＝log7x＋1，它在区间[10, 1 000]上单调递增，而且 当 x＝1 000 时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不 超过 5 万元的要求．
第二十三页，编辑于星期日：点 分。
方法归纳 (1)用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 ①需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值 的方法完成)． ②取区间端点的平均数 c，计算 f(c)，确定有解区间是[m，c] 还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合 精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值． (2)二分法求函数零点步骤的记忆口诀 定区间，找中点，中值计算两边看． 同号丢，异号算，零点落在异号间． 重复做，何时止，精确度来把关口．
区间
中点值 中点函数近似值
(1,1.5)
1.25
－0.30
(1.25,1.5)
1.375
0.22
(1.25,1.375)
1.312 5
－0.05
(1.312 5,1.375) 1.343 75
0.08
(1.312 5,1.343 75) 1.328 125
0.01
(1.312 5,1.328 125) 1.320 312 5
解析：设 f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－2＜0，f(3)＝10 ＞0，f(2)＝3＞0，f(x)零点所在的区间为(1,2)，所以方程 2x＋3x－7 ＝0 有根的区间是(1,2)．
答案：(1,2)
第十八页，编辑于星期日：点 分。
状元随笔 先构建函数 f(x)＝2x＋3x－7，再判断 f(1)，f(2)，f(3)的符号， 寻找函数值与 f(2)异号的自变量．
第十二页，编辑于星期日：点 分。
4．已知函数 y＝f(x)在区间(2,4)上连续，验证 f(2)·f(4)＜0，取 区间(2,4)的中点 x1＝2＋2 4＝3，计算得 f(2)·f(x1)＜0，则此时零点所 在的区间为________．
解析：∵f(2)·f(3)＜0，∴零点在区间(2,3)内． 答案：(2,3)
题型二 用二分法求函数零点的近似值 例 2 用二分法求函数 f(x)＝x3－x－1 在区间[1,1.5]内的一个零 点．(精确度 0.01)
第二十页，编辑于星期日：点 分。
【解析】 经计算 f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以函数在[1,1.5]内存
在零点 x0. 取(1,1.5)的中点 x1＝1.25，经计算 f(1.25)＜0， 因为 f(1.5)·f(1.25)＜0，所以 x0∈(1.25,1.5)， 如此继续下去，如下表：
第八页，编辑于星期日：点 分。
[基础自测] 1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函 数零点近似值的是( )
第九页，编辑于星期日：点 分。
解析：根据二分法的基本方法，函数 f(x)在区间[a，b]上的图象 连续不断，且 f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间 [a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选 项 A、B、D 都符合条件，而选项 C 不符合，因为图象在零点两侧 函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．
第二十四页，编辑于星期日：点 分。
跟踪训练 2 利用计算器求方程 x2－2x－1＝0 的正解的近似值 (精确度 0.1)．
【解析】 设 f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，又 f(x)在(2,3)内递增，∴在区间(2,3)内，方程 x2－2x－1＝0 有唯一实
数根，记为 x0. 取区间(2,3)的中点 x1＝2.5，∵f(2.5)＝0.25＞0， ∴x0∈(2,2.5)． 再取区间(2,2.5)的中点 x2＝2.25，∵f(2.25)＝－0.437 5＜0， ∴x0∈(2.25,2.5)． 同理可得，x0∈(2.375,2.5)，x0∈(2.375,2.437 5)． ∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5＜0.1， 故方程 x2－2x－1＝0 的一个精确度为 0.1 的近似正解可取为
第一页，编辑于星期日：点 分。
知识点一 用二分法求方程的近似解 1．二分法 对于在区间[a，b]上连__续__不__断___且_f(_a_)·_f_(b_)_＜__0的函数 y＝f(x)，通 过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间_一__分__为__二__，使区间的两个端 点逐步逼近_零__点___，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
【答案】 (1)D (2)B
第十五页，编辑于星期日：点 分。
状元随笔 (1)在无法通过解方程 f(x)＝0 求出方程根的情况下，需用二分 法求函数的零点． (2)可以用二分法求出的零点左右函数值异号.
第十六页，编辑于星期日：点 分。
方法归纳 二分法的适用条件
第十一页，编辑于星期日：点 分。
3．某同学最近 5 年内的学习费用 y(千元)与时间 x(年)的关系如 图所示，则可选择的模拟函数模型是( )
A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c C．y＝a·ex＋b D．y＝aln x＋b 解析：由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模 型是 y＝ax2＋bx＋c. 答案：B
第十三页，编辑于星期日：点 分。
题型一 二分法概念的理解[经典例题] 例 1 (1)下列函数中，必须用二分法求其零点的是( ) A．y＝x＋7 B．y＝5x－1 C．y＝log3x D．y＝12x－x (2)下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函 数零点的是( )
第十四页，编辑于星期日：点 分。
第二十七页，编辑于星期日：点 分。
【解析】 借助信息技术画出函数 y＝5，y＝0.25x，y＝log7x ＋1，y＝1.002x 的图象(图 1)．观察图象发现，在区间[10,1 000]上， 模型 y＝0.25x，y＝1.002x 的图象都有一部分在直线 y＝5 的上方，
只有模型 y＝log7x＋1 的图象始终在 y＝5 的下方，这说明只有按模 型 y＝log7x＋1 进行奖励时才符合公司的要求．
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点 附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数 的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零 点不适用．
第十七页，编辑于星期日：点 分。
跟踪训练 1 用二分法求方程 2x＋3x－7＝0 在区间[1,3]内的 根，取区间的中点为 x0＝2，那么下一个有根的区间是________．
第五页，编辑于星期日：点 分。
4．幂函数模型 幂函数 y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
第六页，编辑于星期日：点 分。
状元随笔 函数模型的选取 (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型． (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时， 常常选用对数函数模型． (3)幂函数模型 y＝xn(n＞0)则可以描述增长幅度不同的变化，n 值越小(n≤1)时，增长较慢；n 值较大(n＞1)时，增长较快．
答案：C
第十页，编辑于星期日：点 分。
2．在用二分法求函数 f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64) ＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确度为 0.1 的正实数 零点的近似值为( )
A．0.6 B．0.75 C．0.7 D．0.8 解析：已知 f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数 f(x)的零点的初始区 间为[0.64,0.72]． 又 0.68＝0.64＋2 0.72，且 f(0.68)＜0， 所以零点在区间[0.68,0.72]上，因为|0.68－0.72|＝0.04＜0.1，因 此所求函数的一个正实数零点的近似值约为 0.7，故选 C. 答案：C
－0.02
第二十一页，编辑于星期日：点 分。
因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5＜0.01， 所以函数 f(x)＝x3－x－1 精确度为 0.01 的一个近似零点可取为 1.328 125.
第二十二页，编辑于星期日：点 分。
状元随笔 方程 x3－x－1＝0 的正解对应函数 f(x)＝x3－x－1 的图象与 x 轴正半轴交点的横坐标，确定出解的初始区间，利用二分法求出近 似解.
第三页，编辑于星期日：点 分。
状元随笔 二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法， 找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某 个数值近似地表示真正的零点．
第四页，编辑于星期日：点 分。
知识点二 常见的增长模型 1．线性函数模型 线性函数模型 y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长 速度不变． 2．指数函数模型 能利用_指__数__函__数__(底___数__a_＞__1_)___表达的函数模型叫指数函数模 型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越 来越快，常形象地称为指数爆炸． 3．对数函数模型 能用__对__数__函__数__(_底__数__a_＞__1_)__表达的函数模型叫做对数函数模 型，对数函数增长的特点是_随__自__变__量__的__增__大__，函数值增长速度 _越__来__越__慢__．
第二页，编辑于星期日：点 分。
2．给定精确度 ε，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 第一步：确定闭区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)＜0，给定精确度 ε. 第二步：求区间(a，b)的中点 c. 第三步：计算 f(c)． (1)若 f(c)＝0，则 c 就是函数的零点； (2)若 f(a)·f(c)＜0， 则令 b＝c(此时零点 x0∈(a，c))； (3)若 f(c)·f(b)＜0， 则令 a＝c(此时零点 x0∈(c，b))． 第四步：判断是否达到精确度 ε，即若|a－b|＜ε，则得到零点 近似值 a(或 b)，否则重复第二步至第四步．
【解析】 (1)
A × 解方程 x＋7＝0，得 x＝－7
B×
解方程 5x－1＝0，得 x＝0
C×
解方程 log3x＝0，得 x＝1
D √ 无法通过方程12x－x＝0 得到零点 (2)利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在 B
中，不满足 f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点，由于 A、C、D 中
2.437 5.
第二十五页，编辑于星期日：点 分。
状元随笔 本题用求根公式可以求得 x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2，取精确到 0.1 的近似值是 x1≈2.4，x2≈－0.4.这与用二分法所得结果相同．
第二十六页，编辑于星期日：点 分。
题型三 函数模型的选择问题[教材 P152 例 6] 例 3 某公司为了实现 1 000 万元利润的目标，准备制定一个 激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到 10 万元时，按销售利 润进行奖励，且奖金 y(单位：万元)随销售利润 x(单位：万元)的增 加而增加，但奖金总数不超过 5 万元，同时奖金不超过利润的 25%. 现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个 模型能符合公司的要求？
第七页，编辑于星期日：点 分。
[教材解难] 教材 P149 思考
因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生 了较大矛盾，所以我国从 20 世纪 70 年代逐步实施了计划生育政 策．因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型 的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况．
图1
第二十八页，编辑于星期日：点 分。
下面通过计算确认上述判断． 先计算哪个模型的资金总数不超过 5 万元． 对于模型 y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上单调递增，而且当 x ＝20 时，y＝5，因此，当 x＞20 时，y＞5，所以该模型不符合要求； 对于模型 y＝1.002x，由函数图象，并利用信息技术，可知在区 间(805,806)内有一个点 x0 满足 1.002x0＝5，由于它在区间[10,1 000] 上单调递增，因此当 x＞x0 时，y＞5，所以该模型也不符合要求； 对于模型 y＝log7x＋1，它在区间[10, 1 000]上单调递增，而且 当 x＝1 000 时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不 超过 5 万元的要求．
第二十三页，编辑于星期日：点 分。
方法归纳 (1)用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 ①需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值 的方法完成)． ②取区间端点的平均数 c，计算 f(c)，确定有解区间是[m，c] 还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合 精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值． (2)二分法求函数零点步骤的记忆口诀 定区间，找中点，中值计算两边看． 同号丢，异号算，零点落在异号间． 重复做，何时止，精确度来把关口．
区间
中点值 中点函数近似值
(1,1.5)
1.25
－0.30
(1.25,1.5)
1.375
0.22
(1.25,1.375)
1.312 5
－0.05
(1.312 5,1.375) 1.343 75
0.08
(1.312 5,1.343 75) 1.328 125
0.01
(1.312 5,1.328 125) 1.320 312 5
解析：设 f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－2＜0，f(3)＝10 ＞0，f(2)＝3＞0，f(x)零点所在的区间为(1,2)，所以方程 2x＋3x－7 ＝0 有根的区间是(1,2)．
答案：(1,2)
第十八页，编辑于星期日：点 分。
状元随笔 先构建函数 f(x)＝2x＋3x－7，再判断 f(1)，f(2)，f(3)的符号， 寻找函数值与 f(2)异号的自变量．
第十二页，编辑于星期日：点 分。
4．已知函数 y＝f(x)在区间(2,4)上连续，验证 f(2)·f(4)＜0，取 区间(2,4)的中点 x1＝2＋2 4＝3，计算得 f(2)·f(x1)＜0，则此时零点所 在的区间为________．
解析：∵f(2)·f(3)＜0，∴零点在区间(2,3)内． 答案：(2,3)