第一节 平面向量的概念及线性运算【高考文数专题复习——平面向量、数系的扩充与复数的引入】

1．(数形结合)若四边形 ABCD 满足―A→D ＝12―B→C 且|―A→B |＝|―D→C |，则四边形 ABCD
的形状是
()
A．等腰梯形
B．矩形
C．正方形 解析：因为―A→D ＝12―B→C ，
D．菱形
所以―A→D ∥―B→C ，且|―A→D |＝12|―B→C |，
所以四边形 ABCD 为以 AD 为上底，BC 为下底的梯形．
2．如图，等腰梯形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 P，点 E，
F 分别在两腰 AD，BC 上，EF 过点 P，且 EF∥AB，则下列
等式成立的是
()
A．―A→D ＝―B→C
B．―A→C ＝―B→D
C．―P→E ＝―P→F
D．―E→P ＝―P→F
解析：根据相等向量的定义，A 中，―A→D 与―B→C 的方向不同，故 A 错误；B
题点(三) 由向量的线性运算求参数
[例3]
如图，在直角梯形ABCD中，
―D→C
＝
1 4
―A→B
，
―B→E
＝
2―E→C ，且―A→E ＝r―A→B ＋s―A→D ，则2r＋3s＝
()
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 法一：由题图可得―A→E ＝―A→B ＋―B→E ＝―A→B ＋23―B→C
＝―A→B ＋23(―B→A ＋―A→D ＋―D→C )＝13―A→B ＋23(―A→D ＋―D→C )
＝13―A→B ＋23―A→D ＋14
―→ AB
＝12＋23―A→D .
因为―A→E ＝r―A→B ＋s―A→D ，所以r＝12，s＝23，则2r＋3s＝1＋2＝3.
法二：因为―B→E ＝2―E→C ，
所以―A→E －―A→B ＝2(―A→C －―A→E )，
整理，得―A→E ＝13―A→B ＋23―A→C ＝13―A→B ＋23(―A→D ＋―D→C )＝12―A→B ＋23―A→D ，
B．14―A→B －34―A→C D．―A→B ＋34―A→C
()
[解析] 法一：作出示意图如图所示． ―E→B ＝ED―→＋
―D→B ＝
1 2
―→ AD
＋12―C→B ＝
1 2
×
1 2
(―A→B ＋
―→ AC
)＋ 12 (
―→ AB
－
―A→C )＝
3 4
―A→B －14―A→C .故选A.
法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝

a
(4)非零向量 a 与 的关系： 是与 a 同方向的单位向量．
| a|
| a|
[备课札记]
命题点二 平面向量的线性运算(多角探明) [逐点例析]
题点(一) 向量加、减运算的几何意义
[例 1] 设非零向量 a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则
A．a ⊥b
B．|a |＝|b |
C．a ∥b
[解题方略] 此类问题是向量线性运算的逆运算，解决含有参数的向量的线性运算 问题一般采用待定系数法，根据向量的加、减及数乘运算，将已知等式中 的向量表示出来，然后对比系数就可以求出参数．
二、“基本技能”运用好 1．(好题分享——新苏教版必修第二册 P13T5)
若非零向量 a 和 b 互为相反向量，则下列说法中错误的是
A．a ∥b
B．a ≠b
C．|a |≠|b | 答案：C
D．b ＝－a
()
2．(好题分享——新人教 A 版必修第二册 P15T2) 点 C 在线段 AB 上，且ACCB＝52，则―A→C ＝________―A→B ，―B→C ＝________―A→B . 答案：57 －27
③a 与 b 是非零向量，若 a 与 b 同向，则 a 与－b 反向
④设 λ，μ 为实数，若 λa ＝μb ，则 a 与 b 共线
A．①②
B．①④
C．②④
D．③④
解析：根据向量的有关概念可知①③正确，②④错误．
答案：C
[一“点”就过] 对于向量的有关概念应注意以下几点 (1)平行向量就是共线向量，二者是等价的，它们均与起点无关；非零向量 的平行具有传递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量； 相等向量具有传递性． (2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负 数，可以比较大小． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它 与函数图象的平移混为一谈．
[解题方略] 解题的关键：一是搞清各向量间的关系，找出问题对应的几何图形，二 是熟练运用向量的加、减法法则和运算律以及几何意义求解．
题点(二) 向量的线性运算
[例 2] (2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的
中点，则―E→B ＝ A．34―A→B －14―A→C C．34―A→B ＋14―A→C
2．向量的线性运算
向量 运算
定义
法则(或几何意义)
求两个向量 加法
和的运算
运算律
(1)交换律： a ＋b ＝b ＋a ；
(2)结合律： (a ＋b )＋c＝
a ＋(b ＋c)
续表
求 a 与 b 的相反向 减法
量－b 的和的运算
a －b ＝a ＋(－b )
(1)|λa |＝ |λ||a | ；
(2)当 λ＞0 时，λa 的方向 λ(μ a )＝ (λμ)a ；
(3)在四边形 ABCD 中，若 E 为 AD 的中点，F 为 BC 的中点，则―A→B ＋―D→C ＝ ―→ 2 EF .
(4)―O→A ＝λ―O→B ＋μ―O→C (λ，μ 为实数)，若点 A，B，C 三点共线，则 λ＋μ＝1. (5)解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的 是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特 殊性．
又|―A→B |＝|―D→C |，所以梯形 ABCD 的两腰相等．
因此四边形 ABCD 是等腰梯形．
答案：A
2．(转化与化归)设向量 a ，b 不共线，―A→B ＝2a ＋pb ，―B→C ＝a ＋b ，―C→D ＝a －2b ，若 A，B，D 三点共线，则实数 p＝________. 解析：因为―B→C ＝a ＋b ，―C→D ＝a －2b ， 所以―B→D ＝―B→C ＋―C→D ＝2a －b . 又因为 A，B，D 三点共线，
其中正确命题的个数是
()
A．0
B．1
C．2
D．30
解析：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，如 0；②
不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；③不正确，当 b ＝0 时，
则 a 与 c 不一定共线；④不正确，向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |·a 0 的模相同，但方向不一定相同，故④不正确．所以①②③④均不正确．故选 A. 答案：A
π 2
，AB
＝AC＝1.建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D
12，12
，E
14，14
.故
―→ AB
＝
(1,0)，―A→C ＝(0,1)，―E→B ＝(1,0)－14，14＝34，－14，即―E→B ＝34―A→B －14―A→C . [答案] A
[解题方略] (1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从 同一顶点出发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运 算来求解． (2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需 要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未 知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
第一节 平面向量的概念及线性运算
课标要求 1.了解向量的背景． 2.理解向量的概念． 3.掌握向量的运算．
一、“基础知识”掌握牢
1．向量的有关概念
名称
定义
既有 大小 又有 方向 的量；向量的 向量
大小叫做向量的 长度 (或称 模 )
备注 平面向量是自由向量
零向量 长度为 0 的向量；其方向是任意的
D．|a |＞|b |
()
[解析] 法一：∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2， ∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ， ∴a ·b ＝0，∴a ⊥b . 法二：利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设―A→B ＝a ，―A→D ＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |，知|―A→C |＝|―D→B |， 从而四边形 ABCD 为矩形，即 AB⊥AD，故 a ⊥b . [答案] A
以下同法一．
法三：如图，
延长AD，BC交于点P，
则由―D→C ＝14―A→B 得DC∥AB，且AB＝4DC.
又―B→E ＝2―E→C ，
所以E为PB的中点，
且―A→P ＝43―A→D .
于是，―A→E ＝12(―A→B ＋―A→P )＝12―A→B ＋43
―→ AD
＝12―A→B ＋23―A→D .
记作 0
单位 向量
长度等于1 个单位 的向量
非零向量 a 的单位向量为±|aa|
续表 平行 方向 相同或 相反 的非零向量 向量 (又叫做共线向量)
0 与任一向量 平行 或共线
相等
两向量只有相等或不等，不能
长度 相等 且方向相同的向量
向量
比较大小
相反 长度相等 且方向相反的向量 向量
0 的相反向量为 0
3．点 D 是△ABC 的边 AB 上的中点，以―B→C 和―B→A 表示―C→D ，则向量―C→D ＝____. 解析：如图，由于 D 是 AB 的中点，所以―C→D ＝―C→B ＋―B→D ＝―C→B ＋12―B→A ＝ －―B→C ＋12―B→A .
答案：－―B→C ＋12―B→A
三、“基本思想”很重要
解：分别作向量―O→A ，―O→B ，―O→C ，过点 A，C 作直线 AC(如图)．观 察发现，不论向量 a ，b 怎样变化，点 B 始终在直线 AC 上，猜 想 A，B，C 三点共线． 事实上，因为―A→B ＝―O→B －―O→A ＝a ＋2b －(a ＋b )＝b ， ―A→C ＝―O→C －―O→A ＝a ＋3b －(a ＋b )＝2b ， 所以―A→C ＝2―A→B . 因此，A，B，C 三点共线．
数乘
求实数 λ 与向量 a 的积的运算
与 a 的方向相同 ；当 λ＜0 (λ＋μ)a ＝λa ＋μ a； 时，λa 的方向与 a 的方向 λ(a ＋b )＝λa ＋λb
相反 ；当 λ＝0 时，λa ＝ 0
3.共线向量定理 向量 a (a ≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ，使得 b ＝λa .
命题点一 平面向量的有关概念(自主练通) [题组练透]
1．已知下列四个命题： ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量―A→B 与向量―C→D 共线，则 A，B，C，D 四点共线； ③如果 a ∥b ，b ∥c，那么 a ∥c；
④若 a 为平面内的某个向量，a 0为单位向量，则 a ＝|a |·a 0.
谨记结论·谨防易错 (1)设 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则―O→P ＝12(―O→A ＋―O→B )． (2)若 G 是△ABC 的重心，D 是 BC 边的中点，则 ①―G→A ＋―G→B ＋―G→C ＝0；
②―A→G ＝13(―A→B ＋―A→C )； ③―G→D ＝12(―G→B ＋―G→C )＝16(―A→B ＋―A→C )．
所以―A→B ，―B→D 共线． 设―A→B ＝λ―B→D ，所以 2a ＋pb ＝λ(2a －b )， 所以 2＝2λ，p＝－λ，即 λ＝1，p＝－1. 答案：－1
四、“基本活动经验”不可少 如图，已知任意两个非零向量 a ，b ，试作―O→A ＝a ＋b ，―O→B ＝a ＋2b ，―O→C ＝a ＋3b .猜想 A，B，C 三点之间的位置关系， 并证明你的猜想．
以下同法一．
法四：如图，建立平面直角坐标系xAy， 依题意可设点B(4m,0)，D(3m,3h)，E(4m,2h)，其中m>0，h>0. 由―A→E ＝r―A→B ＋s―A→D ， 得(4m,2h)＝r(4m,0)＋s(3m,3h)，
所以42mh＝＝34hms，r＋3ms， 解得rs＝ ＝1223，， 所以2r＋3s＝1＋2＝3. [答案] C
中，―A→C 与―B→D 的方向不同，故 B 错误；C 中，―P→E 与―P→F 的方向相反，故
C 错误；D 中，―E→P 与―P→F 的方向相同，且长度都等于线段 EF 长度的一半，
故 D 正确．
答案：D
3．下列说法错误的是
()
①非零向量 a 与 b 同向是 a ＝b 的必要不充分条件
②向量―A→B ∥―C→D (―A→B ，―C→D 为非零向量)就是―A→B 所在直线平行于―C→D 所 在直线