2020-2021下海市九年级数学下期中第一次模拟试题(含答案)

2020-2021下海市九年级数学下期中第一次模拟试题(含答案)
一、选择题
1．如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（）
A．B．C．D．
2．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（）
A．（2，5）B．（2.5，5）C．（3，5）D．（3，6）
3．P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？（）
A．1条B．2条C．3条D．4条
4．如图所示，在△ABC中， cos B＝
2
2
，sin C＝
3
5
，BC＝7，则△ABC的面积是()
A．21
2
B．12C．14D．21
5．如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x轴的正半轴上，反比例函
数y=k
x
（x＞0）的图象经过顶点B，则反比例函数的表达式为（）
A ．y=12x
B ．y=24x
C ．y=32x
D ．y=40x
6．如图，点D ，E 分别在△ABC 的AB ，AC 边上，增加下列条件中的一个：①∠AED ＝∠
B ，②∠ADE ＝∠
C ，③
AE DE AB BC
=，④AD AE AC AB =，⑤AC 2＝AD •AE ，使△ADE 与△ACB 一定相似的有（ ）
A ．①②④
B ．②④⑤
C ．①②③④
D ．①②③⑤
7．如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1:3，堤高BC ＝12m ，则坡面AB 的长度是（ ）
A ．15m
B ．203m
C ．24m
D ．103m 8．已知两个相似三角形的面积比为 4：9，则周长的比为 ( ) A ．2：3
B ．4：9
C ．3：2
D ．2:3 9．已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是（ ） A ．a ：d ＝c ：b B ．a ：b ＝c ：d C ．c ：a ＝d ：b D ．b ：c ＝a ：d
10．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是BC 上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果70A ∠︒＝，那么DOE ∠的度数为（ ）
A ．35︒
B ．38︒
C ．40︒
D ．42︒
11．图（1）所示矩形ABCD 中，BC x =，CD y =，y 与x 满足的反比例函数关系如图（2）所示，等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过点C ，M 为EF 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．当3x =时，EC EM <
B ．当9y =时，E
C EM <
C ．当x 增大时，EC CF ⋅的值增大
D ．当x 增大时，B
E D
F ⋅的值不变
12．如图所示，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，P 是AC 的中点，过 P 点的直线交AB 于点Q ，若以 A 、P 、Q 为顶点的三角形和以A 、B 、C 为顶点的三角形相似，则AQ 的长为 ( )
A ．3
B ．3或43
C ．3或34
D ．43
二、填空题
13．如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为
51-的矩形称作黄金矩形.那么，现将长度为20cm 的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是_____cm . 14．如图，点A 在双曲线y=
2x 上，点B 在双曲线y= 5x
上，且AB ∥y 轴，C ，D 在y 轴上，若四边形ABCD 为平行四边形，则它的面积为________．
15．如图，已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP 的长度为__时，△ADP 和△ABC 相似．
16．如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 与l 1、l 2、l 3分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若AB =3，DE =2，BC =6，则EF =______．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A 是函数k y x
=
（x ＜0）图象上的点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点C 在x 轴上，若△ABC 的面积为1，则k 的值为 ______ ．
18．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=1，AC=4，把边长分别为1x ，2x ，3x ，…，n x 的n ()1n ≥个正方形依次放入△ABC 中，则第n 个正方形的边长
n x =_______________（用含n 的式子表示）．
19．若函数y ＝(k －2)2k 5x -是反比例函数，则k ＝______.
20．近视眼镜的度数(y 度)与镜片焦距(x 米)呈反比例，其函数关系式为120.y x
=
如果近似眼镜镜片的焦距0.3x =米，那么近视眼镜的度数y 为______． 三、解答题
21．（1）计算：tan 609tan308sin 602cos 45︒︒︒︒+-+
（2）在ABC 中，90,2,6C AC BC ︒∠===A ∠的度数
22．如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向的B 处，求此时轮船所在的B 处与灯塔P 6≈2.449，结果保留整数）
23．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．
24．如图，在△ABC中，∠A=30°，cosB=4
5
，AC=63.求AB的长.
25．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC 所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．
【详解】
正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件，故A不符合题意;锐角三角形、菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件，故B、D不符合题意；矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件，故A符合题意；故选C．
【点睛】
本题主要考查了相似图形判定，解决本题的关键是要注意边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．
2．B
解析：B
【解析】
试题分析：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，
∴B点与D点是对应点，则位似比为5：2，
∵C（1，2），
∴点A的坐标为：（2.5，5）
故选B．
考点：位似变换；坐标与图形性质．
3．C
解析：C
【解析】
试题分析：根据相似线的定义，可知截得的三角形与△ABC有一个公共角.①公共角为∠A 时，根据相似三角形的判定：当过点P的角等于∠C时，即图中PD∥BC时，
△APD∽△ACB；当过点P的角等于∠B时，即图中当PF⊥AB时，△APF∽△ABC；②公共角为∠C时，根据相似三角形的判定：当过点P的角等于∠A时，即图中P E∥AB时，
△CPE∽△CAB；当过点P的角等于∠B时，根据∠CPB<60°，可知此时不成立；③公共角为∠B，不成立.
解：①公共角为∠A时：当过点P的角等于∠C时，即图中PD∥B C时，△APD∽△ACB；当过点P的角等于∠B时，即图中当PF⊥AB时，△APF∽△ABC；
②公共角为∠C时：当过点P的角等于∠A时，即图中P E∥AB时，△CPE∽△CAB；当过点P的角等于∠B时，∵∠CPB=∠A+∠ABP，∴PB＞PC，PC=PA，∴PB＞PA，∴∠PBA＜
∠A，∴∠CPB＜60°，可知此时不成立；③公共角为∠B，不成立.
综上最多有3条.
4．A
解析：A 【解析】【分析】【详解】
试题分析：过点A作AD⊥BC，∵△ABC中，cosB=
2
2
，sinC=
3
5
，AC=5，∴
cosB=
2
2
=
BD
AB
，∴∠B=45°，∵sinC=
3
5
=
AD
AC
=
5
AD
，∴AD=3，∴CD=4，∴BD=3，则
△ABC的面积是：1
2
×AD×BC=
1
2
×3×（3+4）=
21
2
．故选A．
考点：1．解直角三角形；2．压轴题．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，根据菱形性质得出OA=BC=AB=OC，AB ∥OC，OA∥BC，求出∠AOM=∠BCN，OM=3，AM=4，OC=OA=AB=BC=5，证△AOM ≌△BCN，求出BN=AM=4，CN=OM=3，ON=8，求出B点的坐标，把B的坐标代入
y=kx求出k即可．
【详解】
过A 作AM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴于N ，
则∠AMO=∠BNC=90°，
∵四边形AOCB 是菱形，
∴OA=BC=AB=OC,AB ∥OC,OA ∥BC ，
∴∠AOM=∠BCN ，
∵A(3,4)，
∴OM=3，AM=4，由勾股定理得：OA=5，
即OC=OA=AB=BC=5，
在△AOM 和△BCN 中
AMO BNC AOM BCN OA BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AOM ≌△BCN(AAS)，
∴BN=AM=4，CN=OM=3，
∴ON=5+3=8，
即B 点的坐标是(8,4)，
把B 的坐标代入y=kx 得：k=32，
即y=
32x
， 故答案选C.
【点睛】 本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形的性质.
6．A
解析：A
【解析】
①AED B ∠=∠，且DAE CAB ∠=∠，
∴ADE ACB ∽，成立．
②ADE C ∠=∠且DAE CAB ∠=∠，
∴ADE ACB ∽，成立． ③
AE DE AB BC =，但AED 比一定与B 相等，故ADE 与ACD 不一定相似． ④AD AE AC AB
=且DAE CAB ∠=∠， ∴ADE ACB ∽，成立．
⑤由2AC AD AE =⋅，得AC AE AD AC
=无法确定出ADE ， 故不能证明：ADE 与ABC 相似．
故答案为A ．
点睛：本题考查了相似三角形的判定定理:(1)两角对应相等的两个三角形相似;(2)两边对应
成比例且夹角相等的两个三角形相似;(3)三边对应成比例的两个三角形相似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
直接利用坡比的定义得出AC的长，进而利用勾股定理得出答案．
【详解】
解：Rt△ABC中，BC＝12cm，tanA＝1
∴AC＝BC÷tanA＝cm，
∴AB24cm．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡比的定义是解题关键．
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知了两个相似三角形的面积比，即可求出它们的相似比；再根据相似三角形的周长比等于相似比即可得解．
【详解】
∵两个相似三角形的面积之比为4：9，
∴两个相似三角形的相似比为2：3，
∴这两个相似三角形的周长之比为2：3．
故选：A
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．【详解】
解：A、a：d=c：b⇒ab=cd，故正确；
B、a：b=c：d⇒ad=bc，故错误；
C、d：a=b：c⇒dc=ab，故正确；
D、a：c=d：b⇒ab=cd，故正确．
故选B．
【点睛】
本题考查比例的基本性质，解题关键是根据比例的基本性质实现比例式和等积式的互相转换．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接CD，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠ACD=90°-∠A=20°，再由圆周角定理得出∠DOE=2∠ACD=40°即可，
【详解】
连接CD，如图所示：
∵BC是半圆O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=20°，
∴∠DOE=2∠ACD=40°，
故选C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．11．D
解析：D
【解析】
【分析】
由于等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，则△BEC和△DCF都是直角三角形；观察反
比例函数图像得出反比例函数解析式为y=9
x
；当x=3时，y=3，即BC=CD=3，根据等腰直
角三角形的性质得2，CF=32，则C点与M点重合；当y=9时，根据反比例函数的解析式得x=1，即BC=1，CD=9，所以2，而2；利用等腰直角三角形的性质BE•DF=BC•CD=xy，然后再根据反比例函数的性质得BE•DF=9，其值为定值；由于2x×2=2xy，其值为定值．
【详解】
解：因为等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过C 点，M 为EF 的中点，所以△BEC 和△DCF 都是直角三角形；观察反比例函数图像得x =3，y =3，则反比例解析式为y=9x ． A 、当x =3时，y =3，即BC=CD=3，所以CE=2BC=32，CF=2CD=32，C 点与M 点重合，则EC=EM ，所以A 选项错误；
B 、当y =9时，x =1，即BC=1，CD=9，所以EC=2，EF=102，EM=52，所以B 选项错误；
C 、因为EC•CF=2x •2y =2×xy =18，所以，EC•CF 为定值，所以C 选项错误；
D 、因为BE•DF=BC•CD=xy =9，即BE•DF 的值不变，所以D 选项正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图像：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图像，注意自变量的取值范围．
12．B
解析：B
【解析】
AP AQ AB AC =,264AQ =，AQ=43
，
AP AQ AC AB =,246
AQ =，AQ =3.
故选B.
点睛：相似常见图形
（1）称为“平行线型”的相似三角形（如图,有“A 型”与“X 型”图）
（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形，有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”，如下图：
二、填空题
13．【解析】【分析】设这个黄金矩形较长的边长是xcm 根据题意得：解方程可得【详解】设这个黄金矩形较长的边长是xcm 根据题意得：解得：x=则这个黄金矩形较短的边长是cm 故答案为：【点睛】考核知识点：黄金分 解析：(1555)-
【解析】
【分析】
设这个黄金矩形较长的边长是xcm ，根据题意得：51220x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
，解方程可得. 【详解】
设这个黄金矩形较长的边长是xcm ，根据题意得：
512202x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
， 解得：x= 555， 则这个黄金矩形较短的边长是
51(555)(1555)2
⨯=-cm ． 故答案为：(1555)-
【点睛】
考核知识点：黄金分割点的应用.理解黄金分割的意义是关键. 14．3【解析】试题分析：由AB∥y 轴可知AB 两点横坐标相等设A （m ）B （m ）求出AB=﹣=再根据平行四边形的面积公式进行计算即可得=•m=3考点：反比例
函数系数k的几何意义解析：3
【解析】
试题分析：由AB∥y轴可知，A、B两点横坐标相等，设A（m，2
m
），B（m，
5
m
），求
出AB=5
m
﹣
2
m
=
3
m
，再根据平行四边形的面积公式进行计算即可得ABCD
S=
3
m
•m=3．
考点：反比例函数系数k的几何意义
15．4或9【解析】当△ADP∽△ACB时需有∴解得AP＝9当△ADP∽△ABC时需有∴解得AP＝4∴当AP的长为4或9时△ADP和△ABC相似
解析：4或9．
【解析】
当△ADP∽△ACB时，需有AP AD
AB AC
=，∴
6
128
AP
=，解得AP＝9．当△ADP∽△ABC时，需
有AP AD
AC AB
=，∴
6
812
AP
=，解得AP＝4．∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相
似．
16．4【解析】【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式求出EF结合图形计算即可【详解】∵∥∥∴又DE=2∴EF=4故答案为：4【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理灵活运用定理找准对应关系是解题
解析：4
【解析】
【分析】
利用平行线分线段成比例定理列出比例式，求出EF，结合图形计算即可．
【详解】
∵1l∥2l∥3l，
∴
3
6 DE AB
EF BC
==
又DE=2，
∴EF=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．17．-2【解析】【分析】根据已知条件得到三角形ABC的面积=得到|k|=2即可得到结论【详解】解：∵AB⊥y轴∴AB∥CO∴∴∵∴故答案为：-2【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义明确是解题的关
解析：-2【解析】【分析】
根据已知条件得到三角形ABC的面积=1
•=1
2
AB OB，得到|k|=2，即可得到结论．
【详解】
解：∵AB⊥y轴，∴AB∥CO，
∴
111
•1
222
ABC
S AB OB x y k
====
三角形
，
∴2
k=，
∵0
k＜，
∴2
k=-，
故答案为：-2．【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，明确
1
•=1
2
ABC
S AB OB
=是解题的关键．
18．【解析】【分析】根据正方形的对边平行证明△BDF∽△B CA然后利用相似三角形对应边成比例列出比例式即可求出第1个正方形的边长同理利用前两个小正方形上方的三角形相似根据相似三角形对应边成比例列出比例式
解析：
4 () 5
n
【解析】
【分析】
根据正方形的对边平行证明△BDF∽△BCA，然后利用相似三角形对应边成比例列出比例式即可求出第1个正方形的边长，同理利用前两个小正方形上方的三角形相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式即可求出前两个小正方形的边长的关系，以此类推，找出规律便可求出第n个正方形的边长．
【详解】
解：如下图所示，
∵四边形DCEF是正方形，
∴DF∥CE，
∴△BDF∽△BCA，
∴DF：AC=BD：BC，
即x 1：4=（1-x 1）：1
解得x 1= 45
， 同理，前两个小正方形上方的三角形相似，
11212
1-=-x x x x x 解得x 2=x 12 同理可得，11323
1,-=-x x x x x 解得：33121==x x x x
以此类推，第n 个正方形的边长1n 45=⎛⎫= ⎪⎝⎭
n
n x x . 故答案为：4()5
n 【点睛】
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形对应边成比例找出后面正方形的边长与第一个正方形的边长的关系． 19．-2【解析】【分析】根据反比例函数的定义列出方程解出k 的值即可【详解】解：若函数y ＝(k －2)是反比例函数则解得k ＝﹣2故答案为﹣2 解析：-2
【解析】
【分析】
根据反比例函数的定义列出方程2k -5=-1k-20
⎧⎨≠⎩，解出k 的值即可． 【详解】
解：若函数y ＝(k －2)2k 5x -是反比例函数，
则2k -5=-1k-20⎧⎨≠⎩
解得k ＝﹣2，
故答案为﹣2．
20．400【解析】分析：把代入即可算出y 的值详解：把代入故答案为400点睛：此题主要考查了反比例函数的定义本题实际上是已知自变量的值求函数值的问题比较简单
解析：400
【解析】
分析：把0.3x =代入120y x
=，即可算出y 的值．
详解：把0.3x =代入120x ， 400y =， 故答案为400． 点睛：此题主要考查了反比例函数的定义，本题实际上是已知自变量的值求函数值的问题，比较简单． 三、解答题
21．（1）2；（2）∠A ＝60°
【解析】
【分析】
（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）由锐角三角函数定义求出∠A 度数即可．
【详解】
（1）原式＝3323+9-8+2=3+33-43+2=22
⨯⨯⨯； （2）∵90,2,6C AC BC ︒∠==
=， ∴tanA ＝632
BC AC ==， ∴∠A ＝60°
【点睛】
此题考查了实数的运算以及解直角三角形，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是98海里．
【解析】
【分析】过点P 作PC ⊥AB ，则在Rt △APC 中易得PC 的长，再在直角△BPC 中求出PB 的长即可．
【详解】作PC ⊥AB 于C 点，
∴∠APC=30°，∠BPC=45°
，AP=80（海里）， 在Rt △APC 中，cos ∠APC=PC PA
，
∴PC=PA•cos ∠（海里），
在Rt △PCB 中，cos ∠BPC=
PC PB ，
∴PB=cos PC BPC =∠≈98（海里）， 答：此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是98海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用举例，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.
23．(1)见解析 (2) △ABD ∽△ACE
【解析】
分析：
（1）由∠BAD=∠CAE 易得∠BAC=∠DAE ，这样结合∠ABC=∠ADE ，即可得到△ABC ∽△ADE ．
（2）由（1）中结论易得
AB AC AD AE =，从而可得： AB AD AC AE =，这样结合∠BAD=∠CAE 即可得到
△ABD ∽△ACE 了．
详解；
（1）∵∠BAD=∠CAE ，
∴∠BAC=∠DAE ，
∵∠ABC=∠ADE ，
∴△ABC ∽△ADE ．
（2）△ABD ∽△ACE ，理由如下：
由（1）可知△ABC ∽△ADE ， ∴
AB AC AD AE =， ∴AB AD AC AE
=， 又∵∠BAD=∠CAE ，
∴△ABD ∽△ACE ．
点睛：这是一道考查“相似三角形的判定与性质的题目”，熟悉“相似三角形的判定定理和性质”是解答本题的关键.
24．259x -=
【解析】
试题分析：
过点C 作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △ACD 中先由已知条件求得AD 和CD ，再在Rt △BCD 中求得BD 即可求出AB.
试题解析：
过点C 作CD ⊥AB 于点D ，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴AD=cosA⋅AC=
3
639
2
⨯=，CD=sinA⋅AC=
1
6333
2
⨯=，
∵cosB=4
5
=
BD
BC
，
∴可设BD=4m，BC=5m，则在Rt△BCD中由勾股定理可得CD=3m=33，
∴m=3，
∴BD=4m=43，
∴AB=AD+BD=9+43.
25．(1)画图见解析；(2)DE=4.
【解析】
【分析】
（1）连接CB延长CB交DE于O，点O即为所求．连接OG，延长OG交DF于H．线段FH即为所求．
（2）根据AB CA
OD CD
=，可得
1.6 1.4
1.4
2.1
DO
=
+
，即可推出DO=4m．
【详解】
（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．
（2）解：由已知可得，AB CA OD CD
=，
∴1.6 1.4
1.4
2.1 DO
=
+
，
∴OD=4m，
∴灯泡的高为4m．【点睛】
本题考查中心投影、解题的关键是正确画出图形，记住物长与影长的比的定值，属于基础题，中考常考题型．。