数学作业练52
人教版2020高考数学(理科)一轮复习课时作业：52 椭圆_含解析
课时作业52 椭圆一、选择题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( A )A ．4B ．3C ．2D ．5解析：由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3， ∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.2．(2019·开封模拟)曲线C 1：x 225＋y 29＝1与曲线C 2：x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( D )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：因为c 21＝25－9＝16，c 22＝(25－k )－(9－k )＝16，所以c 1＝c 2，所以两个曲线的焦距相等．3．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( C )A.306B.7C.306或7D.56或7 解析：由题意知m 2＝36，解得m ＝±6.当m ＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a ＝6，b ＝1，c ＝5，则e ＝306；当m ＝－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a ＝1，b ＝6，c ＝7，则e ＝7.故选C.4．(2019·贵州六盘水模拟)已知点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( A )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：由|PF 1|＋|PF 2|＝4， |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60° ＝|F 1F 2|2，得3|PF 1|·|PF 2|＝12， 所以|PF 1|·|PF 2|＝4，故选A.5．焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( C )A.14B.13C.12D.23 解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ·b ＝12(2a ＋2c )·b 3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝12，故选C.6．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3－12解析：设正方形的边长为2m ，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m >c .又正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，∴m 2a 2＋m 2b 2＝1>c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e 21－e 2，整理得e 4－3e 2＋1>0，e 2<3－52＝(5－1)24，∴0<e <5－12.故选B. 二、填空题7．(2019·河北保定一模)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.解析：设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r .所以|PC 1|＋|PC 2|＝10>|C 1C 2|＝6，即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.8．(2019·四川南充模拟)已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是 3.解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2a ＝3，所以b 2＝3，即b ＝ 3.9．(2019·云南昆明质检)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是(－3,0)或(3,0)．解析：记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.所以点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．10．(2019·南宁市摸底联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是32.解析：设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2－＝14，于是椭圆的离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2＝32.三、解答题11．(2019·云南曲靖模拟)已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意可得⎩⎨⎧a 2－b 2＝3，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线OP 的方程为y ＝32x ，设直线AB 的方程为y ＝32x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得x 2＋3mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝3m 2－4(m 2－1)>0，得m 2<4，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－3m ，x 1x 2＝m 2－1.由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋32x 2＋m 32x 1＋m ＝74x 1x 2＋32m (x 1＋x 2)＋m 2＝74(m 2－1)＋32m ·(－3m )＋m 2＝54m 2－74＝0，得m 2＝75.又|AB |＝1＋34(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝72·4－m 2，O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋34＝|m |72. 所以S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×72×4－m 2×|m |72＝9110.12．已知椭圆C ：x 23m ＋y 2m ＝1，直线l ：x ＋y －2＝0与椭圆C 相交于两点P ，Q ，与x 轴交于点B ，点P ，Q 与点B 不重合．(1)求椭圆C 的离心率；(2)当S △OPQ ＝2时，求椭圆C 的方程；(3)过原点O 作直线l 的垂线，垂足为N .若|PN |＝λ|BQ |，求λ的值．解：(1)a 2＝3m ，b 2＝m ，c 2＝2m ，e 2＝c 2a 2＝23，故e ＝63.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将x ＋y －2＝0代入椭圆C 的方程并整理得4x 2－12x ＋12－3m ＝0，依题意，由Δ＝(－12)2－4×4×(12－3m )>0得m >1.且有⎩⎨⎧x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝12－3m4，|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·9－(12－3m )＝6m －1， 原点到直线l 的距离d ＝2，所以S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12×6·m －1×2＝2，解得m ＝73>1，故椭圆方程为x 27＋3y 27＝1.(3)直线l 的垂线为ON ：y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，解得交点N (1,1)． 因为|PN |＝λ|BQ |，又x 1＋x 2＝3，所以λ＝|PN ||BQ |＝|x 1－1||x 2－2|＝|2－x 2||x 2－2|＝1，故λ的值为1.13．(2019·合肥市质量检测)如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H .若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为( D )A ．20B ．10C ．2 5D ．4 5解析：由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 1(－c,0)，∴点N 的横坐标为c ，联立方程，得⎩⎨⎧x ＝c ，x 2a 2＋y 24＝1，得N (c ，4a )，∴H (0，2a )，M (－2c ，－2a )．把点M 的坐标代入椭圆方程得4c 2a 2＋(－2a )24＝1，化简得c 2＝a 2－14，又c 2＝a 2－4，∴a 2－14＝a 2－4，解得a 2＝5，∴a ＝ 5.由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D.14．(2019·南昌摸底调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．解：(1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2， ∴b ＝1，a ＝2，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，化简得m 2<4k 2＋1，①x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， 若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，∴(4k 2－5)·4(m 2－1)4k 2＋1＋4km ·(－8km4k 2＋1)＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2<65，120<k 2≤54， ∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2， ∴d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94(1＋k 2)，又120<k 2≤54，∴0≤d 2<87，∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是[0，2147)． 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·郑州市第一次质量预测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点和上顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的平方为( B )A.32B.3－52 C.－1＋52D.3－12解析：如图，由题意得，A (－a,0)，B (0，b )，由在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，得点P 是以点O 为圆心，线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2与线段AB 的切点，连接OP ，则OP ⊥AB ，且OP ＝c ，即点O 到直线AB 的距离为c .又直线AB 的方程为y ＝ba x ＋b ，整理得bx －ay ＋ab ＝0，点O 到直线AB 的距离d ＝abb 2＋a 2＝c ，两边同时平方整理得，a 2b 2＝c 2(a 2＋b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)＝a 4－b 4，可得b 4＋a 2b 2－a 4＝0，两边同时除以a 4，得(b 2a 2)2＋b 2a 2－1＝0，可得b 2a 2＝－1＋52，则e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝1－－1＋52＝3－52，故选B. 16．(2019·重庆六校联考)如图，记椭圆x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1内部重叠区域的边界为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列四个命题：①P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)，E 1(0，－4)，E 2(0,4)四点的距离之和为定值；②曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称； ③曲线C 所围区域的面积必小于36； ④曲线C 的总长度不大于6π. 其中正确命题的序号是②③.解析：对于①，若点P 在椭圆x 225＋y 29＝1上，P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和为定值，到E 1(0，－4)，E 2(0,4)两点的距离之和不为定值，故①错；对于②，联立两个椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1，得y 2＝x 2，结合椭圆的对称性知，曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称，故②正确；对于③，曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C 所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C 的总长度必大于圆的周长6π，故④错．故答案为②③.。
2020版高考数学(理)一轮总复习层级快练：第八章 立体几何 作业52 含解析
题组层级快练(五十二)1．下列关于线、面的四个命题中不正确的是()A．平行于同一平面的两个平面一定平行B．平行于同一直线的两条直线一定平行C．垂直于同一直线的两条直线一定平行D．垂直于同一平面的两条直线一定平行答案 C解析垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，可能相交或异面．本题可以以正方体为例证明．2．设α，β，γ为平面，a，b为直线，给出下列条件：①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的条件是()A．①②B．②③C．②④D．③④答案 C3．若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为()A．10 B．20C．8 D．4答案 B解析设截面四边形为EFGH，F，G，H分别是BC，CD，DA的中点，∴EF＝GH＝4，FG＝HE ＝6.∴周长为2×(4＋6)＝20.4．(2019·安徽毛坦厂中学月考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A．有无数条B．有2条C．有1条D．不存在答案 A解析因为平面D1EF与平面ADD1A1有公共点D1，所以两平面有一条过D1的交线l，在平面ADD1A1内与l平行的任意直线都与平面D1EF平行，这样的直线有无数条，故选A.5．(2019·陕西西安模拟)在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，H ，G 分别是BC ，CD 的中点，则( ) A ．BD ∥平面EFG ，且四边形EFGH 是平行四边形 B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形 C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形 答案 B解析 如图，由条件知，EF ∥BD ，EF ＝15BD ，HG ∥BD ，HG ＝12BD ，∴EF ∥HG ，且EF ＝25HG ，∴四边形EFGH 为梯形．∵EF ∥BD ，EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，∴EF ∥平面BCD.∵四边形EFGH 为梯形，∴线段EH 与FG 的延长线交于一点，∴EH 不平行于平面ADC.故选B.6．(2019·衡水中学调研卷)如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点，F 为PC 上一点，当PA ∥平面EBF 时，PFFC＝( )A.23B.14 C.13 D.12答案 D解析 连接AC 交BE 于G ，连接FG ，因为PA ∥平面EBF ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面BEF ＝FG ，所以PA ∥FG ，所以PF FC ＝AG GC .又AD ∥BC ，E 为AD 的中点，所以AG GC ＝AE BC ＝12，所以PF FC ＝12.7．(2019·蚌埠联考)过三棱柱ABC －A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有( ) A ．4条 B ．6条 C ．8条 D ．12条答案 B解析 作出如图的图形，E ，F ，G ，H 是相应棱的中点， 故符合条件的直线只能出现在平面EFGH 中．由此四点可以组成的直线有：EF ，GH ，FG ，EH ，GE ，HF 共有6条．8．(2019·郑州市高三质量预测)如图，在直三棱柱ABC －A′B′C′中，△ABC 是边长为2的等边三角形，AA ′＝4，点E ，F ，G ，H ，M 分别是边AA′，AB ，BB ′，A ′B ′，BC 的中点，动点P 在四边形EFGH 的内部运动，并且始终有MP ∥平面ACC′A′，则动点P 的轨迹长度为( ) A ．2 B ．2π C ．2 3 D ．4答案 D解析 连接MF ，FH ，MH ，因为M ，F ，H 分别为BC ，AB ，A ′B ′的中点，所以MF ∥平面AA′C′C ，FH ∥平面AA′C′C ，所以平面MFH ∥平面AA′C′C ，所以M 与线段FH 上任意一点的连线都平行于平面AA′C′C ，所以点P 的运动轨迹是线段FH ，其长度为4，故选D. 9．(2019·沧州七校联考)有以下三种说法，其中正确的是________． ①若直线a 与平面α相交，则α内不存在与a 平行的直线；②若直线b ∥平面α，直线a 与直线b 垂直，则直线a 不可能与α平行； ③若直线a ，b 满足a ∥b ，则a 平行于经过b 的任何平面． 答案 ①解析 对于①，若直线a 与平面α相交，则α内不存在与a 平行的直线，是真命题，故①正确；对于②，若直线b ∥平面α，直线a 与直线b 垂直，则直线a 可能与α平行，故②错误；对于③，若直线a ，b 满足a ∥b ，则直线a 与直线b 可能共面，故③错误．10．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案 平面ABC 和平面ABD解析 连接AM 并延长交CD 于E ，连接BN 并延长交CD 于F.由重心的性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E.由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB.因此MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD.11.(2019·吉林一中模拟)如图，在四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，直线AB 与CD 所成的角为90°，点E ，F ，G ，H 分别在棱AD ，BD ，BC ，AC 上，若直线AB ，CD 都平行于平面EFGH ，则四边形EFGH 面积的最大值是________．答案 1解析 ∵直线AB 平行于平面EFGH ，且平面ABC ∩平面EFGH ＝HG ， ∴HG ∥AB.同理：EF ∥AB ，FG ∥CD ，EH ∥CD. ∴FG ∥EH ，EF ∥HG.故四边形EFGH 为平行四边形． 又AB ⊥CD ，∴四边形EFGH 为矩形． 设BF BD ＝BG BC ＝FGCD＝x(0≤x ≤1)，则FG ＝2x ，HG ＝2(1－x)， S 四边形EFGH ＝FG ×HG ＝4x(1－x)＝－4(x －12)2＋1，根据二次函数的图像与性质可知，四边形EFGH 面积的最大值为1.12.(2019·湘东五校联考)如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面； (2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F. 答案 (1)略 (2)略 解析 (1)连接FG.∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2. ∴BG 綊A 1E ，∴A 1G ∥BE.又∵C 1F 綊B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形．∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1.∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綊D 1F ，∴D 1F 綊EB. 故E ，B ，F ，D 1四点共面． (2)∵H 是B 1C 1的中点， ∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23. 又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， ∴△B 1HG ∽△CBF.∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB.又由(1)知，A 1G ∥BE ，且A 1G ⊂平面A 1GH ，HG ⊂平面A 1GH ，BF ⊄平面A 1GH ，BE ⊄平面A 1GH ， ∴BF ∥平面A 1GH ，BE ∥平面A 1GH. 又∵BF ∩BE ＝B ，∴平面A 1GH ∥平面BED 1F.13.如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．证明：EF ∥平面PAB. 答案 略解析 证明：如图，取PB 的中点M ，连接MF ，AM. 因为F 为PC 的中点，故MF ∥BC 且MF ＝12BC.由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD. 因为E 为AD 的中点， 即AE ＝12AD ＝12BC ，所以MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM.又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊄平面PAB ，所以EF ∥平面PAB.14．(2019·福建四地六校联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中M ，N 分别是AF ，BC 中点)．(1)求证：MN ∥平面CDEF ； (2)求多面体A —CDEF 的体积． 答案 (1)略 (2)83解析 (1)证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且AB ＝BC ＝BF ＝2， DE ＝CF ＝22，∴∠CBF ＝90°.取BF 中点G ，连接MG ，NG ，由M ，N 分别是AF ，BC 中点，可知NG ∥CF ，MG ∥EF.又MG ∩NG ＝G ，CF ∩EF ＝F ，∴平面MNG ∥平面CDEF ，∴MN ∥平面CDEF.(2)作AH ⊥DE 于H ，由于三棱柱ADE —BCF 为直三棱柱，∴AH ⊥平面CDEF ，且AH ＝ 2. ∴V A －CDEF ＝13S 四边形CDEF ·AH ＝13×2×22×2＝83.15.(2019·湖南长沙一中阶段性检测)如图，已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2，E 是侧棱PC 上的动点．(1)求四棱锥P －ABCD 的表面积；(2)在棱PC 上是否存在一点E ，使得AP ∥平面BDE ？若存在，指出点E 的位置，并证明；若不存在，请说明理由． 答案 (1)3＋5 (2)存在，E 为PC 中点解析 (1)∵四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2，∴PC ⊥BC ，PC ⊥DC ，∴S △PCD ＝S △PCB ＝12×1×2＝1，PB ＝PD ＝22＋12＝ 5. ∵AB ⊥CB ，AB ⊥PC ， ∴AB ⊥平面PCB ，∴AB ⊥PB ，∴S △PAB ＝12AB ·PB ＝52.同理，S △PAD ＝52.又S 正方形ABCD ＝1，∴S P －ABCD ＝S 正方形ABCD ＋S △PAB ＋S △PAD ＋S △PCD ＋S △PCB ＝1＋52＋52＋1＋1＝3＋ 5.(2)在棱PC 上存在点E ，且E 是PC 的中点时，AP ∥平面BDE.证明：如图，连接AC 交BD 于点O ，连接OE ，则在△ACP 中，O ，E 分别为AC ，PC 的中点， ∴OE ∥AP ，又OE ⊂平面BDE ，AP ⊄平面BDE ， ∴AP ∥平面BDE.。
高考数学一轮总复习 52平面向量基本定理及向量的坐标表示课后强化作业 新人教B版
高考数学一轮总复习 52平面向量基本定理及向量的坐标表示课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] D[解析] ∵a ＝(1，k )，b ＝(2,2)， ∴a ＋b ＝(3，k ＋2)， ∵(a ＋b )∥a ，∴1·(k ＋2)＝3k ，∴k ＝1，∴a ＝(1,1)， ∴a ·b ＝2＋2＝4.(理)(2013·荆州质检)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n ＝( )A ．－2B ．2C ．－12D.12[答案] C[解析] 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋n b 与a －2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12.2．(文)已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 [答案] B[解析] AB →＝(2,3)，∵AB →⊥a ，∴2(2k －1)＋3×2＝0，∴k ＝－1，∴选B.(理)(2013·广州综合测试二)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(m ，m ＋1)，若AB →∥OC →，则实数m 的值为( )A ．－32B ．－14C.12D.32[答案] A[解析] 依题意得，AB →＝(3,1)，由AB →∥OC →得3(m ＋1)－m ＝0，m ＝－32，选A.3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形[答案] C[解析] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →， ∴四边形ABCD 为梯形．4．(文)(2012·天津文，8)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，若BQ →·CP →＝－2，则λ＝( )A.13B.23C.43 D ．2 [答案] B[解析] 由题意，BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →，CP →＝CA →＋AP →＝－AC →＋λAB →，BQ →·CP →＝(λ－1)AC →2－λAB →2＝3λ－4＝－2，∴λ＝23.用模与夹角都已知的AC →，AB →来表示BQ →，CP →是解题关键，(AC →，AB →看作一组基底)．另外本题可以将向量坐标化去解答．(理)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14 D ．1[答案] A[解析] 本题考查向量的线性运算．据已知N 为AM 的中点，可得AN →＝12AM →＝λAB →＋μAC →，整理得AM →＝2λAB →＋2μAC →，由于点M 在直线BC 上，故有2λ＋2μ＝1，即λ＋μ＝12.5．已知平行四边形ABCD ，点P 为四边形内部或者边界上任意一点，向量AP →＝xAB →＋yAD →，则“0≤x ≤12，0≤y ≤23”的概率是( )A.13 B.23 C.14 D.12[答案] A [解析]根据平面向量基本定理，点P 只要在如图所示的区域AB 1C 1D 1内即可，这个区域的面积是整个四边形面积的12×23＝13，故所求的概率是13.6．(文)(2013·安庆二模)已知a ，b 是不共线的两个向量，AB →＝x a ＋b ，AC →＝a ＋y b (x ，y∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则点P (x ，y )的轨迹是( )A ．直线B ．双曲线C ．圆D ．椭圆[答案] B[解析] ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λAC →.则x a ＋b ＝λ(a ＋y b )⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，1＝λy⇒xy ＝1，故选B.(理)如图，△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝⎛⎭⎫12，12 B.⎝⎛⎭⎫23，23 C.⎝⎛⎭⎫13，13 D.⎝⎛⎭⎫23，12[答案] C[解析] 设CF →＝λCD →，∵E 、D 分别为AC 、AB 的中点， ∴BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋12b ，BF →＝BC →＋CF →＝(b －a )＋λ(12a －b )＝⎝⎛⎭⎫12λ－1a ＋(1－λ)b ， ∵BE →与BF →共线，∴12λ－1－1＝1－λ12，∴λ＝23，∴AF →＝AC →＋CF →＝b ＋23CD →＝b ＋23⎝⎛⎭⎫12a －b ＝13a ＋13b ，故x ＝13，y ＝13. 二、填空题7．(文)(2014·金山中学月考)已知向量a ＝(sin x,1)，b ＝(cos x ，－3)，且a ∥b ，则tan x ＝________.[答案] －13[解析] ∵a ∥b ，∴sin x cos x ＝1－3，∴tan x ＝－13.(理)已知a ＝(2，－3)，b ＝(sin α，cos 2α)，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，若a ∥b ，则tan α＝________. [答案] －33[解析] ∵a ∥b ，∴sin α2＝cos 2α－3，∴2cos 2α＝－3sin α，∴2sin 2α－3sin α－2＝0， ∵|sin α|≤1，∴sin α＝－12，∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴cos α＝32，∴tan α＝－33. 8．已知G 是△ABC 的重心，直线EF 过点G 且与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，AE →＝αAB →，AF →＝βAC →，则1α＋1β＝________.[答案] 3[解析] 连结AG 并延长交BC 于D ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，设EG →＝λGF →，∴AG →－AE →＝λ(AF →－AG →)，∴AG →＝11＋λAE →＋λ1＋λAF →，∴13AB →＋13AC →＝α1＋λAB →＋λβ1＋λAC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ α1＋λ＝13，λβ1＋λ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧1α＝31＋λ，1β＝3λ1＋λ，∴1α＋1β＝3. 9．(文)(2013·烟台调研)在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，如果AB 的长为2，则(AB →＋AC →)·AD →的值为________．[答案] 4[解析] 由题意可知，AD ＝12BC ＝222＝2，(AB →＋AC →)·AD →＝2AD →·AD →＝2|AD →|2＝4.(理)在△ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交AB 、AC 于M 、N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则4x ＋y 的最小值为________．[答案] 94[解析]如图所示，由题意知AD →＝12(AB →＋AC →)，AE →＝12AD →，又M ，E ，N 三点共线，所以AE →＝λAM →＋(1－λ)AN →(其中0<λ<1)， 又AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，所以14(AB →＋AC →)＝λx AB →＋(1－λ)yAC →，因此有⎩⎪⎨⎪⎧4λx ＝1，4(1－λ)y ＝1，解得x ＝14λ，y ＝14(1－λ)，令1λ＝t ，∴t >1， 则4x ＋y ＝1λ＋14(1－λ)＝t ＋t4(t －1)＝(t －1)＋14(t －1)＋54≥94，当且仅当t ＝32，即λ＝23时取得等号．三、解答题10．(文)已知O (0,0)、A (2，－1)、B (1,3)、OP →＝OA →＋tOB →，求 (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第四象限？ (2)四点O 、A 、B 、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．[解析] (1)OP →＝OA →＋tOB →＝(t ＋2,3t －1)． 若点P 在x 轴上，则3t －1＝0，∴t ＝13；若点P 在y 轴上，则t ＋2＝0，∴t ＝－2；若点P 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＋2>03t －1<0，∴－2<t <13.(2)OA →＝(2，－1)，PB →＝(－t －1，－3t ＋4)．若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.∴⎩⎪⎨⎪⎧－t －1＝2－3t ＋4＝－1无解． ∴ 四边形OABP 不可能为平行四边形．同理可知，当t ＝1时，四边形OAPB 为平行四边形，当t ＝－1时，四边形OP AB 为平行四边形．(理)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)，设m ＝a ＋t b (t 为实数)． (1)若α＝π4，求当|m |取最小值时实数t 的值；(2)若a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a －b 和向量m 的夹角为π4，若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵α＝π4，∴b ＝(22，22)，a ·b ＝322，∴|m |＝(a ＋t b )2＝5＋t 2＋2t a ·b ＝t 2＋32t ＋5＝(t ＋322)2＋12， ∴当t ＝－322时，|m |取到最小值，最小值为22.(2)由条件得cos π4＝(a －b )·(a ＋t b )|a －b ||a ＋t b |，∵|a －b |＝(a －b )2＝6，|a ＋t b |＝(a ＋t b )2＝5＋t 2，(a －b )·(a ＋t b )＝5－t ，∴5－t 65＋t 2＝22，且t <5， ∴t 2＋5t －5＝0，∴存在t ＝－5±352满足条件.能力拓展提升一、选择题11．平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，满足(AB →－BC →)·(AD →－CD →)＝0，则三角形ABC是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形[答案] B[解析] (AB →－BC →)·(AD →－CD →) ＝(AB →－BC →)·(AD →＋DC →) ＝(AB →－BC →)·AC →＝(AB →－BC →)·(AB →＋BC →) ＝|AB →|2－|BC →|2＝0， 故|AB →|＝|BC →|，即△ABC 是等腰三角形．12．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°，记向量AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.2a －(1＋22)b B ．－2a ＋(1＋22)b C ．－2a ＋(1－22)b D.2a ＋(1－22)b [答案] B [解析]根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形，由∠BCD ＝135°，得∠ACD ＝135°－45°＝90°，以B 为原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE ⊥y 轴于点E ，则△CDE 也为等腰直角三角形，由CD ＝1，得CE ＝ED ＝22，则A (1,0)，B (0,0)，C (0,1)，D (22，1＋22)，∴AB →＝(－1,0)，AC →＝(－1,1)，AD →＝(22－1,1＋22)，令AD →＝λAB →＋μAC →，则有⎩⎨⎧－λ－μ＝22－1，μ＝1＋22，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝1＋22.∴AD →＝－2a ＋(1＋22)b . 13.(2013·济宁模拟)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )A ．1B. 2C. 3 D ．2[答案] B[解析] 方法一：以O 为原点，向量OA →，OB →所在直线分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，设〈OA →，OC →〉＝θ，θ∈[0，π2]，则OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OC →＝(cos θ，sin θ)．∵OC →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ.∴x ＋y ＝cos θ＋sin θ＝2sin(θ＋π4)，又θ＋π4∈[π4，3π4]，∴x ＋y 的最大值为 2.方法二：因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上，所以|OC →|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB →＝x 2＋y 2＝1≥(x ＋y )22.所以x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝22时等号成立． 二、填空题14．(2013·广东江门质检)设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a－2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值是________．[答案] －1[解析] ∵A 、B 、D 三点共线，∴AB →与BD →共线， ∵AB →＝2a ＋p b ，BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ， ∴存在实数λ，使2a ＋p b ＝λ(2a －b )， ∵a 与b 不共线，∴λ＝1，p ＝－1. 三、解答题 15.(2013·天津一模)如图所示，P 是△ABC 内一点，且满足P A →＋2PB →＋3PC →＝0，设Q 为CP 延长线与AB 的交点．令CP →＝p ，试用p 表示PQ →.[解析] 设P A →＝a ，PB →＝b ，由已知条件得3CP →＝P A →＋2PB →，即3p ＝a ＋2b ， 设PQ →＝λCP →(λ为实数)，则PQ →＝λ3(a ＋2b )．设AQ →＝μAB →(μ为实数)， 又PQ →＝P A →＋AQ →＝P A →＋μAB →＝P A →＋μ(PB →－P A →) ＝(1－μ)a ＋μb ，由平面向量基本定理知⎩⎨⎧λ3＝1－μ，2λ3＝μ.解得λ＝1，因此PQ →＝λCP →＝p .16．(文)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知c ＝2b ，向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin A ，32，n ＝(1，sin A ＋3cos A )，且m 与n 共线．(1)求角A 的大小； (2)求ac的值．[解析] (1)∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1.∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，11π6. ∴2A －π6＝π2.∴A ＝π3.(2)由余弦定理及c ＝2b 、A ＝π3得，a 2＝⎝⎛⎭⎫c 22＋c 2－2·c 2·c cos π3， a 2＝34c 2，∴a c ＝32.(理)设a 、b 是不共线的两个非零向量，(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线； (2)若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，求实数k 的值；(3)设OM →＝m a ，ON →＝n b ，OP →＝αa ＋βb ，其中m 、n 、α、β均为实数，m ≠0，n ≠0，若M 、P 、N 三点共线，求证：αm ＋βn＝1.[解析] (1)∵AB →＝(3a ＋b )－(2a －b )＝a ＋2b . 而BC →＝(a －3b )－(3a ＋b )＝－2a －4b ＝－2AB →，∴AB →与BC →共线，且有公共端点B ，∴A 、B 、C 三点共线． (2)∵8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，∴存在实数λ使得 (8a ＋k b )＝λ(k a ＋2b )⇒(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0，∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0.⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，∴k ＝2λ＝±4.(3)证法1：∵M 、P 、N 三点共线，∴存在实数λ，使得MP →＝λPN →，∴OP →＝OM →＋λON →1＋λ＝m1＋λa ＋λn1＋λb ， ∵a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＝m1＋λ，β＝λn1＋λ∴αm ＋βn ＝11＋λ＋λ1＋λ＝1. 证法2：∵M 、P 、N 三点共线，∴OP →＝xOM →＋yON →且x ＋y ＝1， 由已知可得：xm a ＋yn b ＝αa ＋βb ， ∴x ＝αm ，y ＝βn ，∴αm ＋βn＝1.考纲要求了解平面向量的基本定理及其意义．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．补充材料1．证明共线(或平行)问题的主要依据：(1)对于向量a ，b ，若存在实数λ，使得b ＝λa ，则向量a 与b 共线(平行)． (2)a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a ∥b . (3)对于向量a ，b ，若|a ·b |＝|a |·|b |，则a 与b 共线． 要注意向量平行与直线平行是有区别的．2．用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功．在进行向量运算时，要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中，以便使用向量的运算法则进行求解．充分利用平面几何的性质，可把未知向量用已知向量表示出来．3．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 备选习题1．已知两不共线向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则下列说法不正确的是( ) A ．(a ＋b )⊥(a －b ) B ．a 与b 的夹角等于α－β C ．|a ＋b |＋|a －b |>2D ．a 与b 在a ＋b 方向上的射影相等 [答案] B[解析] 注意到|a |＝|b |＝1，因此(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0，所以(a ＋b )⊥(a －b )；注意到α－β未必属于(0，π)，因此a ，b 的夹角未必等于α－β；由三角形法则可知，|a ＋b |＋|a －b |2>1，于是有|a ＋b |＋|a －b |>2；结合三角形法则及一个向量在另一个向量上的射影的意义可知，a ，b 在a ＋b 方向上的射影相等．综上所述，其中不正确的说法是B ，选B.2．在平面直角坐标系中，O 为原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是( )[答案] A[解析] OC →＝λa ＋μb ＝(3λ＋μ，λ＋3μ)， 令OC →＝(x ，y )，则x －y ＝(3λ＋μ)－(λ＋3μ) ＝2(λ－μ)≤0，∴点C 对应区域在直线y ＝x 的上方，故选A.3．(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10[答案] C[解析] ∵AC →·BD →＝(1,2)·(－4,2)＝0，∴AC ⊥BD ， 又|AC →|＝5，|BD →|＝25， ∴S ＝12×5×25＝5.4．(2013·哈尔滨质检)已知平面向量a ＝(2m ＋1,3)，b ＝(2，m )，且a 与b 反向，则|b |等于( )A.1027B ．2 2 C.52 D.52或2 2 [答案] B[解析] 据题意a ∥b 则m (2m ＋1)－3×2＝0，解得m ＝－2或m ＝32，当m ＝32时a ＝(4,3)，b ＝(2，32)，则a ＝2b ，此时两向量同向，与已知不符，故m ＝－2，此时b ＝(2，－2)，故|b |＝2 2.5.(2013·铜陵一模)如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．9[答案] D[解析] 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，如图所示，因为∠A ＝60°，菱形的边长为2，所以D (1，3)，B (2,0)，C (3，3)．因为M 为DC 的中点，所以M (2，3)，设N (x ，y )，则N 点的活动区域为四边形ABCD 内(含边界)，则AM →·AN →＝(2，3)·(x ，y )＝2x ＋3y ，令z ＝2x ＋3y ，得y ＝－23x ＋z3，由线性规划知识可知，当直线经过点C 时，直线y ＝－23x ＋z3的截距最大，此时z 最大，所以最大值为z ＝2x ＋3y ＝2×3＋3×3＝6＋3＝9.故选D.6．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －1)，若A 、B 、C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝2[答案] D[解析] ∵A 、B 、C 三点构不成三角形， ∴A 、B 、C 三点在同一条直线上，∴存在实数λ，使OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴(k ＋1，k －1)＝(2－λ，－2λ－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝2－λ，k －1＝－2λ－1，解之得k ＝2. [点评] 由于三点A 、B 、C 构不成三角形，∴A 、B 、C 共线，∴AB →与AC →共线，∴存在λ，使AC →＝λAB →，解λ、k 的方程可得k 值．。
2020高三数学一轮复习(人教版理)：课时作业52直线的倾斜角与斜率、直线方程
4．过点(－10,10)且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 4 倍的直线的 方程为( )
A．x－y＝0 B．x＋4y－30＝0 C．x＋y＝0 或 x＋4y－30＝0 D．x＋y＝0 或 x－4y－30＝0
解析 由题意，当直线经过原点时，直线的方程为 x＋y＝0；当直线不 经过原点时，设直线的方程为4xa＋ay＝1，则－4a10＋1a0＝1，解得 a＝125，此 时直线的方程为3x0＋125y＝1，即 x＋4y－30＝0。故选 C。
答案 x＋13y＋5＝0
10．已知直线 l 过坐标原点，若直线 l 与线段 2x＋y＝8(2≤x≤3)有公共 点，则直线 l 的斜率的取值范围是________。
解析 设直线 l 与线段 2x＋y＝8(2≤x≤3)的公共点 为 P(x，y)。则点 P(x，y)在线段 AB 上移动，且 A(2,4)， B(3,2)，设直线 l 的斜率为 k。又 kOA＝2，kOB＝23。如 图所示，可知23≤k≤2。所以直线 l 的斜率的取值范围 是32，2。
－cosθ＝3 5 5，②
sinθ＝25 5， 由①②解得
cosθ＝－ 55，
所以 tanθ＝－2，即 l 的斜
率为－2。故选 D。 答案 D
15．如图，已知 A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束光线 从 F 点出发射到 BC 上的 D 点，经 BC 反射后，再经 AC 反射，落到线段 AE 上(不含端点)，则直线 FD 的斜率的取值范围为________。
答案 C
5．(2019·广州质检)若直线 l 与直线 y＝1，x＝7 分别交于点 P，Q，且
线段 PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线 l 的斜率为( )
一升二 数学暑假作业全套(52天计算+应用题)
一升二数学暑假作业全套52天计算题＋应用题日期：2022年7月12日姓名：一、计算64-20=79-7=75-30=28+13=53-46=64-26+18=46+9-18=17-8=12-4=6+9=8+28+25=69+31-27=91-17-25=18-9=5+40=53+38=59-25=47-19=30+47=20+6=二、应用题1、同学们排队做操，从前面数，小明排第4，从后面数，小明排第5，这一队一共有多少人？2、有8个皮球，如果男生每人发一个，就多2个，如果女生每人发一个，就少2个，男生有多少人，女生有多少人？3、老师给9个三好生每人发一朵花，还多出1朵红花，老师共有多少朵红花？日期：2022年7月13日姓名：一、计算73-40=85-7=8+45=76-60=65-47= 28+54=68+29=92-46=36+57=70-25= 65-17=38+2353-28=12-7=14-5=4+9=9+8=15-5=18-9=59-9=二、应用题1、有5个同学投沙包，老师如果发给每人2个沙包就差1个，老师共有多少个沙包？2、刚刚有9本书，爸爸又给他买了5本，小明借去2本，刚刚还有几本书？3、一队小学生，李平前面有8个学生比他高，7个学生比他矮，这队小学生共有多少人？日期：2022年7月14日姓名：一、计算23+6=65+30=23+5=5+61+2=40+20+32= 37+50=80-40=5+32=20+60+13=63―3+26=□+5=811-□=27+□=918-□=10□+2=125-□=59+□=16□+□=144角+5角=□角8角+7角=□角二、应用题1、小华有23张红色彩纸，15张黄色彩纸，送给妹妹14张，还剩多少张？2、小明家有19只小羊，卖了9只，现在还有多少只？3、一本故事书，我昨天看了8页，今天看了9页，两天看了多少页？日期：2022年7月15日姓名：一、计算61+38=72-37=81-36=7+81=16+76= 86-83=54+39=55+27=52+8=78-9= 91-57=73+6=67+19=45-42=29+36= 100-40=46+40=21+64=51-40=50-22=二、应用题1、原来有7只猴子，又跑来了6只，现在有()只？2、小军吃了5个苹果,还剩下3个,小军原有多少个苹果？3、同学们要种14棵树,已经种了10棵,还要种多少棵？日期：2022年7月16日姓名：一、计算93-26=19-5=69+6=72+12=97-55=69-25=53+47=54-30=62+26=20+78=16+50=79-73=17+73=97-70=76+23=60-53=80-75=47-11=88-88=54+13=二、应用题1、同学们在马路两边各插了8面小旗,一共插了多少面？2、小强有5个苹果，给了小明1个，给了小张2个，还剩几个？3、一支铅笔2元，小兰买了5只，共花多少元？日期：2022年7月17日姓名：一、计算35-6=85+11=45+30=63-29=82-46=67+33=59+4=17+42=60-13=100-21=39+47=97-9=38-17=50-44=11-11=85-7=72-6=34-9=23-5=91-28=二、应用题1、小明买了5块糖，共10元，小明付了20元，应找回多少元？2、小红去买书，买了两本书，一本是32元钱，一本是64元钱，请问，小红一共花了多少钱？3、小明去买玩具，买了三个玩具，一个是25元钱，总共花了100元钱，问：其他两样玩具一共要多少钱？一、计算51-30=15+43=100-79=82-54=99-23= 50+22=51+45=87-55=73+8=48-11=48+44=85-23=17+68=14+55=91-74=39+17=50-7=36-11=46+52=21+74=二、应用题1、小明买了9个足球，8个篮球，送给小红5个足球，小红送给小明6个篮球。
【北师大版】高三数学一轮课时作业【52】(含答案)
课时作业52 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题(每小题5分，共40分)1．(2014·嘉兴一模，8)经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB→等于( ) A ．－3 B ．－13 C ．－13或－3D ．±13解析：依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，(43，13)，∴OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.答案：B2．(2014·石家庄一模)直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |的值为( )A ．16 B.116 C ．4D.14解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y 得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，y A ＝14，x D ＝4，y D ＝4，直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)，且该圆圆心为F (0,1)，∴|AF |＝y A ＋1＝54，|DF |＝y D ＋1＝5， ∴|AB ||CD |＝|AF |－1|DF |－1＝116，故选B答案：B3．(2014·潍坊一模)直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94D ．4解析：直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k (x －14)，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点(14，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.答案：C4．直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的最大弦长是( )A ．4B.433C ．2D ．不能确定解析：方法一：直线y ＝kx ＋1恒过定点P (0,1)，且是椭圆的上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P 与椭圆上任意一点Q 的距离，设椭圆上任意一点Q (2cos θ，sin θ)， ∴|PQ |2＝(2cos θ)2＋(sin θ－1)2 ＝－3sin 2θ－2sin θ＋5∴当sin θ＝－13时，|PQ |2max＝163， ∴|PQ |max ＝43 3.方法二(排除法)：直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，该点是椭圆x 24＋y 2＝1的上顶点，椭圆的长轴长为4，短轴长为2，而直线不经过椭圆的长轴和短轴，因此排除A ，C ；将直线y ＝kx ＋1绕点(0,1)旋转，与椭圆有无数条相交弦，其中必有最大弦长，因此排除D.故选B.答案：B5．(2014·台州质检)设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )A.33B.12C.22D.13解析：由于直线与椭圆的两交点A ，B 在x 轴上的射影分别为左、右焦点F 1，F 2，故|AF 1|＝|BF 2|＝b 2a ，设直线与x 轴交于C 点，又直线倾斜角θ的正切值为22，结合图形易得tanθ＝22＝|AF1||CF1|＝|BF2||CF2|，故|CF1|＋|CF2|＝22b2a＝|F1F2|＝2c，整理并化简得2b2＝2(a2－c2)＝ac，即2(1－e2)＝e，解得e＝2 2.答案：C6．(2014·吉安一模)抛物线y2＝2px与直线2x＋y＋a＝0交于A，B两点，其中点A的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F，则|F A|＋|FB|的值等于()A．7 B．3 5C．6 D．5解析：点A(1,2)在抛物线y2＝2px和直线2x＋y＋a＝0上，则p＝2，a＝－4，F(1,0)，则B(4，－4)，故|F A|＋|FB|＝7.答案：A7．(2014·宁波十校联考)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝() A．1＋2 2 B．4－2 2C．5－2 2 D．3＋2 2解析：如图，设|AF 1|＝m ，则|BF 1|＝2m ，|AF 2|＝m －2a ，|BF 2|＝2m －2a ，∴|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝m －2a ＋2m －2a ＝m ，得m ＝22a ，又由|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，可得m 2＋(m －2a )2＝4c 2，即得(20－82)a 2＝4c 2，∴e 2＝c2a 2＝5－22，故应选C.答案：C8．(2014·辽宁大连一模)已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A ．(－33，33)B ．(－3，3)C ．[－33，33]D ．[－3，3]解析：由题意知，F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图像，数形结合可知应选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)9．直线l ：x ＋y 2＝1与椭圆x 2＋y24＝1交于A ，B 两点，O 为原点，则△OAB 的面积为________．解析：l 过椭圆的顶点(1,0)和(0,2)，S △OAB ＝12×2×1＝1. 答案：110．(2014·琼海一模，13)椭圆x 22＋y 2＝1的弦被点(12，12)平分，则这条弦所在的直线方程是________．解析：设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1.∵A ，B 在椭圆上，∴x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1. (x 1＋x 2)(x 1－x 2)2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－12， 即直线AB 的斜率为－12. ∴直线AB 的方程为 y －12＝－12(x －12)， 即2x ＋4y －3＝0. 答案：2x ＋4y －3＝011．(2014·郑州一模)已知双曲线x 2－y23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________．解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1 ①x 22－y223＝1， ②x 1＋x 2＝2x 0， ③y 1＋y 2＝2y 0， ④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2. ∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3， ∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，∴k MN ＝－1， ∴y 0＝－3x 0，又∵y 0＝x 0＋m ， ∴P (－m 4，3m4)，代入抛物线方程得 916m 2＝18·(－m4)，解得m ＝0或－8，经检验都符合． 答案：0或－8三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，3)、(0，－3)的距离之和等于4.设点P 的轨迹为C .(1)写出C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA→⊥OB →？ 解：(1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴为a ＝2的椭圆，它的短半轴b ＝22－(3)2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y24＝1. (2)由⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，Δ＝(2k )2－4×(k 2＋4)×(－3)＝16(k 2＋3)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.由OA →⊥OB →，得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＝1， 于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝－4k 2＋1k 2＋4.由－4k 2＋1k 2＋4＝0，得k ＝±12，此时OA →⊥OB →.13．给出双曲线x 2－y 22＝1.(1)求以A (2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)若过点A (2,1)的直线l 与所给双曲线交于P 1，P 2两点，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程；(3)过点B (1,1)能否作直线m ，使得m 与双曲线交于两点Q 1，Q 2，且B 是Q 1Q 2的中点？这样的直线m 若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设弦的两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2，两式相减得到2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)，又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，所以直线斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4.故求得直线方程为4x －y －7＝0. (2)设P (x ，y )，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，① 按照(1)的解法可得y 1－y 2x 1－x 2＝2xy ，由于P 1，P 2，P ，A 四点共线． 得y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －2.② 由①②可得2x y ＝y －1x －2，整理得2x 2－y 2－4x ＋y ＝0，检验当x 1＝x 2时，x ＝2，y ＝0也满足方程，故P 1P 2的中点P 的轨迹方程是2x 2－y 2－4x ＋y ＝0.(3)假设满足题设条件的直线m 存在，按照(1)的解法可得直线m 的方程为y ＝2x －1.考虑到方程组⎩⎨⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1无解，因此满足题设条件的直线m 是不存在的．14．(2014·临沂一模)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段，D 为垂足，点M 在线段PD 上，且|DP |＝2|DM |，点P 在圆上运动．(1)求点M 的轨迹方程；(2)过定点C (－1,0)的直线与点M 的轨迹交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点N ，使NA →·NB →为常数，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则x 0＝x ，y 0＝2y .∵P (x 0，y 0)在x 2＋y 2＝4上，∴x 20＋y 20＝4. ∴x 2＋2y 2＝4，即x 24＋y22＝1.点M 的轨迹方程为x 24＋y 22＝1(x ≠±2)． (2)假设存在．当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (n,0)，联立方程组⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 22＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－4＝0， ∴x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.∴NA →·NB →＝(x 1－n ，y 1)·(x 2－n ，y 2) ＝(1＋k 2)x 1·x 2＋(x 1＋x 2)(k 2－n )＋n 2＋k 2＝(1＋k 2)×2k 2－41＋2k 2＋(k 2－n )×－4k 21＋2k 2＋k 2＋n 2 ＝k 2(4n －1)－41＋2k 2＋n 2 ＝12(2k 2＋1)(4n －1)－12(4n －1)－41＋2k 2＋n 2 ＝12(2n 2＋4n －1)－2n ＋721＋2k 2. ∵NA →·NB→是与k 无关的常数， ∴2n ＋72＝0.∴n ＝－74，即N (－74，0)，此时NA →·NB →＝－1516.当直线AB 与x 轴垂直时，若n ＝－74，则NA →·NB →＝－1516.综上所述，在x 轴上存在定点N (－74，0)，使NA →·NB→为常数．。
高三数学第一轮复习课时作业(52)圆锥曲线中的热点问题
课时作业(五十二) 第52讲 圆锥曲线中的热点问题时间：45分钟 分值：100分基础热身1．2011·山东实验中学二模 过抛物线y ＝2x 2的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝( )A ．－2B ．－12C ．－4D ．－1162．2011·银川一中二模 双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则b 2＋13a 的最小值为( )A.33 B.233C ．2D ．1 3．2011·福州模拟 已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．5B ．8C.17－1D.5＋24．2011·广东六校联考 过点P (－3,0)的直线l 与双曲线x216－y29＝1交于点A ，B ，设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，弦AB 的中点为M ，OM 的斜率为k 2(O 为坐标原点)，则k 1·k 2＝( )A.916B.34C.169 D ．16 能力提升5．2011·哈九中月考 抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点的坐标是( ) A ．(1,2) B ．(0,0) C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1,4) 6．2011·浙江五校联考 已知点F 是双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)7．2011·开封模拟 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115 D.37168．若AB 为过椭圆x225＋y216＝1中心的弦，F 1为椭圆的左焦点，则△F 1AB 面积的最大值为( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．48 9．设P 为双曲线x 2－y212＝1右支上的一点，F 1、F 2是该双曲线的左、右焦点．若△PF 1F 2的面积为12，则∠F 1PF 2等于( )A.π4B.π3C.π2D.2π310．2011·银川一中二模 若A 为抛物线y ＝14x 2的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点，则·等于________．11．2011·龙岩模拟 已知曲线x 2a y 2b ＝1与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且·＝0(O 为原点)，则1a－1b的值为________．12．以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线．若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别是e 1，e 2，则当它们的实轴，虚轴都在变化时，e 21＋e 22的最小值是________．13．2011·重庆卷 设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．14．(10分)2011·合肥高三质检 已知抛物线y 2＝4x ，过点M (0,2)的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且直线l 与x 轴交于点C .(1)求证：|MA |、|MC |、|MB |成等比数列；(2)设＝α，＝β，试问α＋β是否为定值．若是，求出此定值；若不是，请说明理由．15．(13分)2011·山东实验中学二模 已知椭圆E ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝22，点D (0,1)在椭圆E 上． (1)求椭圆E 的方程；(2)设过点F 2且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E 于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G (t,0)，求点G 横坐标t 的取值范围．(3)试用t 表示△GAB 的面积，并求△GAB 面积的最大值．难点突破16．(12分)2011·山东卷 已知动直线与椭圆C ：x23＋y22＝1交于P 、Q 两不同点，且△OPQ 的面积S △OPQ ＝62，其中O 为坐标原点．(1)证明x 21＋x 22和y 21＋y 22均为定值；(2)设线段PQ 的中点为M ，求|OM |·|PQ |的最大值；(3)椭圆C 上是否存在点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62？若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．课时作业(五十二)【基础热身】1．D 解析 抛物线的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，18，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋18，代入抛物线方程得2x 2－kx －18＝0，根据韦达定理得x 1x 2＝－116.2．B 解析 根据基本不等式b 2＋13a ≥2b 3a ，只要根据双曲线的离心率是2，求出ba 的值即可．由于已知双曲线的离心率是2，故2＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，解得b a 3，所以b 2＋13a 的最小值是233. 3．C 解析 点P 到抛物线的准线距离等于点P 到抛物线焦点F (1,0)的距离．圆心坐标是(0,4)，圆心到抛物线焦点的距离为17，即圆上的点Q 到抛物线焦点的距离的最小值是17－1，即点P 到Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值为17－1.4．A 解析 A 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 的中点M 的坐标是⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，AB 的斜率k 1＝y 2－y 1x 2－x 1，OM 的斜率k 2＝y 1＋y 2x 1＋x 2，故k 1·k 2＝y 22－y 21x 22－x 21，根据双曲线方程y 2＝916(x 2－16)，故y 22－y 21＝916(x 22－x 21)，故k 1·k 2＝916. 【能力提升】5．C 解析 抛物线上的点到直线y ＝4x －5的距离是d ＝|4x －y －5|17＝|4x －4x 2－5|17＝4⎝⎛⎭⎫x －122＋417，显然这个函数当x ＝12时取得最小值，此时y ＝1.6．B 解析 根据对称性，只要∠AEF <π4即可．直线AB ：x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a 2，取点A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a |EF |＝a ＋c ，只要|AF |<|EF |就能使∠ABF <π4，即b 2a<a ＋c ，即b 2<a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2<0，即e2－e －2<0，即－1<e <2.又e >1，故1<e <2.7．A 解析 点P 到直线l 2的距离等于到焦点F 的距离，故所求的线段之和的最小值就是焦点F 到直线l 1的距离，即|4＋6|32＋42＝2.8．B 解析 设AB 的方程为x ＝my ，代入椭圆方程得16m 2y 2＋25y 2＝400⇒y ＝±2016m 2＋25，所以S △ABF 1＝12c |y 1－y 2|＝32·22016m 2＋25≤3·4＝12.9．C 解析 F 1(－13，0)，F 2(13，0)，|F 1F 2|＝213，设P (x 0，y 0)，则△PF 1F 2的面积S ＝12×213|y 0|＝12，故y 20＝12213，代入双曲线方程得x 20＝2513，根据对称性取点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫51313，121313，此时 |PF 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫51313＋132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1213132 ＝13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫18132＋⎝⎛⎭⎫12132＝62(32＋22)13＝6，根据双曲线定义可得|PF 2|＝|PF 1|－2a ＝4，即三角形∠F 1PF 2是三边长分别是6,4,213，由于62＋42＝(213)2，故∠F 1PF 2＝π210．－3 解析 抛物线方程为x 2＝4y ，其顶点是坐标原点，焦点坐标是(0,1)．设直线BC 的方程为y ＝kx＋1，代入抛物线方程整理得x 2－4kx －4＝0，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则·＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，根据韦达定理代入得结果是－3.11．2 解析 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b＝1得，(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a a －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b.·＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.所以2a ＋2ab a －b －2a a －b ＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b＝2.12．4 解析 e 21＝a 2＋b 2a 2，e 22＝a 2＋b 2b 2，则e 21＋e 22＝a 2＋b 2a 2＋a 2＋b 2b 2＝2＋b 2a 2＋a 2b2≥2＋2＝4.13.6－1 解析 由题意知，半径取得最大值的圆的圆心必在x 轴上．设圆心C (a,0)(0＜a ＜3)，则半径为3－a ，于是圆的方程为(x －a )2＋y 2＝(3－a )2，将抛物线方程y 2＝2x 代入圆的方程得(x －a )2＋2x ＝(a －3)2，即x 2－2(a －1)x ＋6a －9＝0，由Δ＝4(a －1)2－4(6a －9)＝0，即a 2－8a ＋10＝0，解得a ＝4±6， ∵0＜a ＜3，∴a ＝4－ 6.故圆C 的半径能取到的最大值为3－a ＝6－1.14．解答 (1)证明：设直线l 的方程为：y ＝kx ＋2(k ≠0)，联立方程：⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(4k －4)x ＋4＝0，①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，则x 1＋x 2＝－4k －4k 2，x 1x 2＝4k2，② |MA |·|MB |＝1＋k 2|x 1－0|·1＋k 2|x 2－0|＝4(1＋k 2)k2， 而|MC |2＝⎝⎛⎭⎫1＋k 2⎪⎪⎪⎪－2k －02＝4(1＋k 2)k2， ∴|MC |2＝|MA |·|MB |≠0，即|MA |、|MC |、|MB |成等比数列． (2)由＝α，＝β得，(x 1，y 1－2)＝α⎝⎛⎭⎫－x 1－2k ，－y 1，(x 2，y 2－2)＝β⎝⎛⎭⎫－2k －x 2，－y 2，即得α＝－kx 1kx 1＋2，β＝－kx 2kx 2＋2， 则α＋β＝－2k 2x 1x 2－2k (x 1＋x 2)k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，由(1)中②代入得α＋β＝－1， 故α＋β为定值，且定值为－1.15．解答 (1)b ＝1，e 2＝c 2a ＝a 2－b 2a ＝12，∴a 2＝2，a ＝2，∴椭圆E 的方程为x22＋y 2＝1. 解法一：(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入x22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. ∵直线AB 过椭圆的右焦点F 2， ∴方程有两个不等实根．记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－21＋2k2，x 0＝12(x 1＋x 2)＝2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0－1)＝－k2k 2＋1，∴AB 垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得t ＝x 0＋ky 0＝2k 22k 2＋1－k 22k 2＋1＝k 22k 2＋1＝12－14k 2＋2.∵k ≠0，∴0<t <12.∴t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12.(3)S △GAB ＝12·|F 2G |·|y 1－y 2|＝12|F 2G ||k |·|x 1－x 2|.而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝8(k 2＋1)2k 2＋1， 0<t <12，由t ＝k22k 2＋1，可得k 2＝t 1－2t ，k 2＋1＝1－t 1－2t ，2k 2＋1＝11－2t.所以|x 1－x 2|＝22(1－2t )1－t1－2t. 又|F 2G |＝1－t ，所以S △GAB ＝12(1－t )t 1－2t ·22(1－2t )1－t 1－2t ＝2(1－t )3t ⎝⎛⎭⎫0<t <12.令f (t )＝t (1－t )3，则f ′(t )＝(1－t )2(1－4t )．可知f (t )在区间⎝⎛⎭⎫0，14上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫14，12上单调递减．所以，当t ＝14时，f (t )有最大值f ⎝⎛⎭⎫14＝27256.所以，当t ＝14时，△GAB 的面积有最大值3616.解法二：(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1，可得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则y 1＋y 2＝－2m m ＋2，y 1y 2＝－1m ＋2.可得y 0＝y 1＋y 22＝－mm 2＋2，x 0＝my 0＋1＝2m 2＋2.∴AB 垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－m (x －x 0)． 令y ＝0，得t ＝x 0＋y 0m ＝2m 2＋2－1m 2＋2＝1m 2＋2.∵m ≠0，∴0<m <12.∴t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12. (3)S △GAB ＝12·|F 2G |·|y 1－y 2|，而|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝8(m 2＋1)m 2＋2， 由t ＝1m 2＋2，而得m 2＋2＝1t.所以|y 1－y 2|＝8⎝⎛⎭⎫1t －11t2＝8t (1－t ). 又|F 2G |＝1－t ，所以S △MPQ ＝2t (1－t )3.所以△MPQ 的面积为2t (1－t )3⎝⎛⎭⎫0<t <12.下同解法一． 【难点突破】16．解答 (1)(i)当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以x 2＝x 1，y 2＝－y 1. 因为P (x 1，y 1)在椭圆上，因此x 213＋y 212＝1.①又因为S △OPQ ＝62，所以|x 1|·|y 1|＝62.② 由①、②得|x 1|＝62，|y 1|＝1. 此时x 21＋x 22＝3，y 21＋y 22＝2，(ii)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， 由题意知m ≠0，将其代入x23＋y22＝1，得(2＋3k 2)x 2＋6akmx ＋3(m 2－2)＝0，其中Δ＝36k 2m 2－12(2＋3k 2)(m 2－2)>0，即3k 2＋2>m 2，(*)又x 1＋x 2＝－6km 2＋3k 2，x 1x 2＝3(m 2－2)2＋3k 2，所以|PQ |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·263k 2＋2－m22＋3k2， 因为点O 到直线l 的距离为d ＝|m |1＋k 2，，所以S △OPQ ＝12|PQ |·d ，＝121＋k 2·263k 2＋2－m 22＋3k 2·|m |1＋k 2， ＝6|m |3k 2＋2－m22＋3k2. 又S △OPQ ＝62， 整理得3k 2＋2＝2m 2，且符合(*)式，此时x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝⎝⎛⎫－6km 2＋3k 2－2×3(m 2－2)2＋3k ＝3，y 21＋y 22＝23(3－x 21)＋23(3－x 22)＝4－23(x 21＋x 22)＝2.综上所述，x 21＋x 22＝3；y 21＋y 22＝2，结论成立． (2)解法一：①当直线l 的斜率存在时， 由(1)知|OM |＝|x 1|＝62，|PQ |＝2|y 1|＝2， 因此|OM |·|PQ |＝62×2＝ 6. ②当直线l 的斜率存在时，由(i)知 x 1＋x 22＝3k2m， y 1＋y 22＝k ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋m ＝－3k 22m ＋m ＝－3k 2＋2m 22m ＝1m ， |OM |2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222＝9k 24m 21m2＝6m 2－24m 2＝12⎝⎛⎭⎫3－1m 2， |PQ |2＝(1＋k 2)24(3k 2＋2－m 2)(2＋3k 2)2＝2(2m 2＋1)m 2＝2⎝⎛⎭⎫2＋1m 2， 所以|OM |2·|PQ |2＝12×⎝⎛⎭3－1m 2×2×⎝⎛⎭⎫2＋1m 2＝⎝⎛⎭⎫3－1m 2⎝⎛⎭2＋1m 2≤⎝⎛⎭⎪⎪⎫3－1m 2＋2＋1m 222＝254.所以|OM |·|PQ |≤52，当且仅当3－1m 2＝2＋1m2m ＝±2时，等号成立．综合①②得|OM |·|PQ |的最大值为52.解法二：因为4|OM |2＋|PQ |2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＋(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2(x 21＋x 22)＋(y 21＋y 22)＝10，所以2|OM |·|PQ |≤4|OM |2＋|PQ |22＝102＝5.即|OM |·|PQ |≤52，当且仅当2|OM |＝|PQ |＝5时等号成立．因此|OM |·|PQ |的最大值为52.(3)椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62. 证明：假设存在D (u ，v )，E (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)满足S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62， 由(1)得 u 2＋x 21＝3，u 2＋x 22＝3，x 21＋x 22＝3；v 2＋y 21＝2，v 2＋y 22＝2，y 21＋y 22＝2，解得u 2＝x 21＝x 22＝32；v 2＝y 21＝y 22＝1.因此u ，x 1，x 2只能从±62中选取，v ，y 1，y 2只能从±1中选取， 因此D ，E ，G 只能在⎝⎛⎭⎪⎫±62，±1这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62矛盾， 所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G .。
四年级数学下册《暑假作业》全52套
四年级数学下册《暑假作业》四年级数学暑假作业一、口算题138-89= 5400÷54=200×34= 550-450=18000÷600=2700÷30=45×14= 890÷100=0.82+0.08= 73×11=二、脱式计算题630÷（21－12）×16（420－42×7）÷6186－900÷（100－95）30＋54×4÷8三、应用题1、一个长方形的面积是225平方米，如果长除以5，宽乘以5，这个长方形就变成了一个正方形，这个正方形的面积是多少？这个正方形的边长是多少？2、学校将360本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的2倍，问二、三年级各分得多少本图书？0.63×10= 40÷10=17÷1000=0.56+0.4=80×25= 1-0.93= 1.25×100= 5.6+99=100÷25=90-0.9=二、脱式计算题6.2＋16＋3.8＝ 1.2＋1.8＋1.4＝2.5＋67＋7.5＝ 5.6+2.7+4.4=三、应用题1、用一根长24米的铁丝围成一个正方形或长方形，它的面积最大是多少？最少是多少？2、小宁有钢笔30枝，小青有钢笔15支，问小青给多少支钢笔给小宁后，小宁的钢笔枝数是小青的8倍？41×100=8800÷400= 0.12×10= 600÷30=7.59÷100= 150+70= 356-98= 125×8=612÷6=12×80=二、脱式计算题64+36-58 40×38×252×96×5(18+25)×4三、应用题1、一列火车身长800米，每秒40米行驶，经过一座为1600米的大桥，请问车头上桥到车尾需要多少时间？2、两数相除商为17余6，被除数、除数、商和余数的和是479，被除数和除数分别是多少？1.5×100=840÷40=0.125×100=80÷10=2.3+3.6= 0.28+0.12= 7.3+2.7= 7.5-3.4=1-0.35= 3.6÷10=二、脱式计算题645-(500-1) 870-130-15053-38-14 19×6+11×6三、应用题1、生活委员给大家买笔记本，商店有促销活动每本6元，买5送1本，34名同学要买多少笔记本，花多少元钱？2、两数之和是792，其中一个数的最后一位数字是0，如果把0去掉，就与另一个数相同。
部编版五年级数学上册课后作业52
一、口算。
1.9×5＝2×0.3＝0.16÷0.4＝1×0.2＝1.1×3＝ 1.2×0.2＝0.13×0.3＝ 1.2×0.3＝1.3×3＝0.8×0.5＝ 1.2－0.6＝0.15＋0.3＝1.3×4＝0.5×0.2＝0.96÷1.6＝0.24÷0.04＝二、列竖式计算。
129÷8.6 3.6×0.37 0.8×6.8 7.45＋6.5180.6÷4.3 1.75÷0.25 32×0.48 6.9＋3.99三、简便计算。
2.4 ×4.2 ＋5.8 ×2.4 5.4 ＋2.81 ＋7.19 ＋19.6( 9.5 ×4.5 ) ×6 5.3 ×9.9 ＋0.532.83 ×0.83 ＋2.83 ×0.17 5.9 ÷2.5 ÷4四、解方程。
20x＋7＝48 x÷3.1＝14 9.3x－0.5x＝2210(x－6)＝11.3 x÷8.32＝0.1 16x－0.4＝4.8五、解决问题1、学校航模组有41人，比电脑组人数的2倍少17人。
电脑组有多少人？2、福娃公司的4台编织机8.5小时编织了2074m彩绳，平均每台编织机每小时可以编织多少米彩绳？一、口算。
2÷4＝3×0.2＝1×0.9＝0.12＋0.4＝2.8÷14＝ 1.6×0.2＝11×0.04＝1×0.6＝0.9×0.08＝ 1.6×0.3＝0.16×0.6＝0.14×0.6＝0.9×0.02＝1＋0.3＝11×0.05＝0.16×3＝二、列竖式计算。
五年级数学暑假作业52
1 2 13 8 131 －——+ ——+ —3 3 6 7 147 8 1 73 －——+ ——－ 1.758 9 8 4二、脱式计算（能简算的要简算）。
1 4 1 32 1—+ —+ ——－—－—2 5 2 23 33 1 1 1 1 74 －—－—－——－—+ —4 3 4 2 2 8三、解方程。
1 7 2X －—＝——+ X ＝79 6 3四、解决问题。
一个棱长是3dm的正方体水缸，放入一块石块后，水面上升0.3dm，这块石块的体积是多少dm ？1 4 11 6 151 －——+ ——+ —4 3 6 7 141 5 1 97 + ——－——+ 1.1254 6 7 8二、脱式计算（能简算的要简算）。
1 2 19 5 8 1—+ —+ ——－—－—20 3 20 4 9 96 1 1 4 1 16 －—－—－——+ —+ —7 6 7 5 8 4三、解方程。
1 7 1X －—＝——+ X ＝ 59 6 6四、解决问题。
小红花每5天浇一次水，兰花第9天浇一次水，花匠今天给两种花同时浇了水，至少多少天后给这两种花同时浇水？1 4 1 4 11 －——+ ——+ —3 5 10 5 104 6 1 72 + ——+ ——－ 1.45 7 8 5二、脱式计算（能简算的要简算）。
1 5 11 72 1—+ —+ ——－—－—12 6 12 6 3 33 1 1 6 1 62 －—－—－——－—+ —4 6 4 7 9 7三、解方程。
1 7 2X －—＝——+ X ＝ 54 6 3四、解决问题。
小红家有大米108千克，吃了54千克，剩下的大米占原来大米质量的几分之几？1 5 11 5 111 －——+ ——+ —4 6 12 6 128 8 1 73 + ——－——+ 1.49 9 2 5二、脱式计算（能简算的要简算）。
1 6 11 3 6 1—+ —+ ——－—－—12 7 12 2 7 74 1 1 3 1 33 －—－—－——+ —+ —5 7 5 4 8 4三、解方程。
数学作业练52
商店买出4箱肥皂，每箱90块，买出多少块？
人生自古谁无死，留取丹心照汗青。(文天祥)
数学
三年级应用题姓名：评分：
食堂九月份烧煤300千克，十月分比九月份节约用煤40千克。两个月共烧煤多少千克？
小刚有5角3分，买8分一块的橡皮，可以买多少块？还剩多少钱？
用25除160，商是多少，余数是多少？
一件羊毛衫是120元，一件大衣的价钱是一件羊毛衫的4倍。买7件这样的大衣需要多少元钱？
三年级(1)班有46人，其中21人是女生，男生比女生多多少人？
一个长方形花坛的长是5米，宽是3米。这个花坛的周长是多少米？
同学位要栽2500棵树，如果每个同学栽4棵，大约需要多少同学参加植树劳动？
一人唱一首歌要用4分钟，15个人合唱这首歌需要（）分钟。
一个林场要栽树2000棵，前3天平均每天栽350棵．其余的要求2天栽完，平均每天要栽多少棵？
两位数乘两位数，积可能是几位数？
数学人教版四年级上册《5-2+平行四边形和梯形》同步作业 (1)
数学人教版四年级上册《5-2 平行四边形和梯形》同步作业题号一二三四得分注意事项：1.本试卷共XX页，四个大题，满分85分，考试时间为1分钟。
请用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
一、单选题（共30分）评卷人得分1．在同一平面内，两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线( )。
(5分)A. 相交B. 平行C. 垂直2．过直线外一点A画已知直线b的平行线，可以画( )条。
(5分)A. 1条B. 2条C. 无数条3．过直线外一点A画已知直线b的垂线，可以画( )条。
(5分)A. 1条B. 2条C. 无数条4．在同一平面内，两条直线分别与第三条垂直，那么这两条直线( )。
(5分)A. 相交B. 平行C. 垂直5．有一个角是直角的平行四边形一定是( )。
(5分)A. 直角梯形B. 长方形C. 梯形6．平行四边形有( )条高。
(5分)A. 1条B. 2条C. 无数条二、判断题（共25分）评卷人得分7．长方形和正方形是特殊的平行四边形。
( )(5分) 8．不相交的两条直线叫做平行线。
( )(5分)9．在同一平面内，两条直线不相交就一定平行。
( )(5分)10．直角梯形只有一条高。
( )(5分)11．用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。
( )(5分)三、填空题（共25分）评卷人得分12．在同一平面内两条直线的位置关系为( )和( )。
(5分)13．只有一组对边平行的四边形叫做( )。
(5分)14．平行四边形具有( )性。
(5分)15．在长方形中，相邻的两条边互相( )，相对的两条边互相( )。
(5分)16．从直线外一点到这条直线所画的( )线段最短，它的长度叫做这点到直线的( )。
(5分)四、作图题（共5分）评卷人得分17．画出下面平行四边形和梯形的一条高，并标出底和高。
(5分)******答案及解析******一、单选题（共30分）1．答案：B2．答案：A3．答案：A4．答案：B5．答案：B6．答案：B二、判断题（共25分）7．答案：√8．答案：×9．答案：√10．答案：×11．答案：√三、填空题（共25分）12．答案：平行相交13．答案：梯形14．答案：对边平行15．答案：垂直平行16．答案：垂直距离四、作图题（共5分）17．答案：。
〔精品〕二年级上册数学一课一练-5.2做家务 北师大版
二年级上册数学一课一练-5.2做家务一、单选题1.2个2相加，和是（）。
A. 4B. 5C. 62.5×2=（）A. 20B. 25C. 10D. 303.甲＝37×60，乙＝370×6，那么（）。
A. 甲＞乙B. 甲＝乙C. 甲＜乙D. 不能确定甲、乙谁大二、判断题4.判断对错．5.2的2倍是4。
6.6×2=2+2+2+2+2+2。
三、填空题7.填空有________朵，有________个3，是的________倍，3×2＝________。
8.把乘法口诀补充完整。
________十二________二十________二十四9.一个盘子里有9个桃子，2个盘子里共有________个桃子。
10.把下面的数,改写成两个数相乘的积6=________×________11.填一填．□、△、○表示3个不同的数，且○＜△＜□，如果○＋△＋□=○×△×□，那么○=________，△=________，□=________．四、解答题12.画点图并计算10×213.聪聪、文文和松松一起去公园玩。
（1）三人全部乘小火车需要多少钱？（2）如果带30元钱，三人全部坐海盗船，够吗？（3）如果两人坐碰碰车，一人坐过山车，要多少钱？（4）再提出一个数学问题，并解答。
五、综合题14.填一填。
（1）（2）六、应用题15.同学们摘西红柿。
第一小队有7人，第二小队是第一小队的2倍，第二小队有多少人？两队一共有多少人？参考答案一、单选题1.【答案】A2.【答案】C3.【答案】B二、判断题4.【答案】错误5.【答案】正确6.【答案】正确三、填空题7.【答案】3；2；2；68.【答案】二六(答案不唯一) ；四五；四六(答案不唯一)9.【答案】1810.【答案】2；311.【答案】1；2；3四、解答题12.【答案】解：2013.【答案】（1）解：7×3＝21(元)或3×7＝21(元)答：三人全部乘小火车需要21元。