线性代数中矩阵可对角化的几种实用方法

线性代数中矩阵可对角化的几种实用方法作者：黄杰英刁林
来源：《科技视界》 2013年第15期
黄杰英刁林
（商丘学院，河南商丘 476000）
【摘要】矩阵可对角化的判定方法有很多种，针对工科生的数学程度，本文给出几种实用的判定方法。

【关键词】矩阵；可对角化；初等行变换
0 引言
线性代数中矩阵可对角化即矩阵与对角矩阵相似是矩阵论中一个重要的概念。

有关n阶方阵对角化问题的研究有很多（见[1]-[4]），但是这些文章中所用到的理论都是针对数学系的学生，对于数学基础薄弱的工科生来说，这些理论有些高深莫测，本文就给出一些简单、实用、明了的可对角化的判别法。

１有关定义
定义在实数域上，若ｎ阶方阵Ａ存在一个可逆矩阵Ｐ使Ｐ－１ＡＰ为对角形矩阵，则称矩阵Ａ可对角化，当Ａ可对角化时，我们说将Ａ对角化，即求可逆阵Ｐ使Ｐ－１ＡＰ为对角形矩阵。

命题1 ｎ阶方阵Ａ有ｎ个不同的特征值，则Ａ与对角阵相似。

命题2 ｎ阶方阵Ａ与对角阵相似的充分必要条件是Ａ有ｎ个线性无关的特征向量。

命题3 ｎ阶方阵Ａ与对角阵相似的充分必要条件是对于每一个ｎｉ重特征根λｉ，ｒ（λｉＩ－Ａ）＝ｎ－ｎｉ。

２矩阵对角化的方法
２．１利用特征值和特征向量
步骤：①计算特征多项式λＩ－Ａ
②特征方程λＩ－Ａ＝０的根就是Ａ的特征值
③对每一个特征值λｉ（ｎｉ重根），求出齐次线性方程组（λｉＩ－Ａ）ｘ＝０的一个基础解系ξ１，ξ２，…，ξｒ，若基础解系所含线性无关向量的个数等于λｉ的重数ｎｉ，则Ａ可对角化，且Ｐ＝（ξ１，ξ２，…，ξｒ）。

此种方法过程比较基础、简单、机械，难点在特征多项式上，因为它是一个含有参数的行列式，求解起来比较麻烦，资料[5]都有详细介绍。

２．２利用初等变换
定理如果{（λＩ－Ａ）Ｔ，Ｉ}经过初等变换化为{Ｄ（λ），Ｐ（λ）},其中Ｄ（λ）为对角矩阵，
则（1）Ａ的特征值为Ｄ（λ）对角线上元素乘积所得的关于λ多项式的根
总结：上述3种方法各有利弊，在使用的时候须结合矩阵本身的特点加以区别对待，灵活把握。

【参考文献】
［１］贾正华.矩阵可对角化的几个判定方法[J].巢湖学院学报,2010,12(6):6-10.
［２］富成华,崔殿军.矩阵可对角化的一个充分必要条件[J].辽宁师专学报,2007,9(1).
［３］王志斌.方阵可对角化的一个充要条件[J].山东农业大学学报,2008,39(4):641-642.
［４］高艳春.线性变换可对角化的条件[J].宁夏师范学院学报,2010,31(3):105-108. ［责任编辑：杨扬］。