北京市昌平区第三中学数学初中九年级勾股定理选择题易错题压轴难题综合训练

北京市昌平区第三中学数学初中九年级勾股定理选择题易错题压轴难题综合训
练
一、易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题
1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长是（）
A．3 B．3C．5D．3或5
3．圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（）
A．813B．28 C．20 D．122
4．如图，是一长、宽都是3 cm，高BC＝9 cm的长方体纸箱，BC上有一点P，PC＝
2
BC，一只蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是()
3
A．2B．3C．10 cm D．12 cm
5．如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D 的边长为( )
A ．3cm
B ．14cm
C ．5cm
D ．4cm
6．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是
（ ） A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
7．如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 于O ，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝5，则AD 的长为（ ）
A ．1
B ．32
C ．4
D ．23
8．如图，在ABC 中，,904C AC ︒∠==cm ，3BC =cm ，点D 、E 分别在AC 、BC 上，现将DCE 沿DE 翻折，使点C 落在点'C 处，连接AC '，则AC '长度的最小值 （ ）
A ．不存在
B ．等于 1cm
C ．等于 2 cm
D ．等于 2.5 cm
9．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，BD 平分∠ABC ，E 是AB 中点，连接
DE ，则DE 的长为（ ）
A ．
102 B ．2 C ．51
2
+ D ．32
10．如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ∆沿
直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为
（ ）
A ．1cm
B ．1.5cm
C ．2cm
D ．3cm
11．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =．现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）
A ．2cm
B ．3cm
C ．4cm
D ．5cm
12．如图，在△ABC ，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足恰好是边AB 的中点E ，若AD ＝3cm ，则BE 的长为（ ）
A ．
33
cm B ．4cm
C ．32cm
D ．6cm
13．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，90ACB ∠=︒，
10AC AB +=尺，4BC =尺，求AC 的长. AC 的长为（ ）
A ．3尺
B ．4.2尺
C ．5尺
D ．4尺
14．由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（ ）
A ．∠A+∠B=∠C
B ．∠A ：∠B ：∠C=1：3：2
C．a=2，b=3，c=4 D．(b+c)(b-c)=a²
15．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为5和3，则小正方形的面积为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
16．在下列以线段a、b、c的长为边，能构成直角三角形的是（）
A．a=3，b=4，c=6 B．a=5，b=6，c=7 C．a=6，b=8，c=9 D．a=7，b=24，c=25 17．下列命题中，是假命题的是( )
A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形
18．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)()
A．3 B．5 C．4.2D．4
19．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）
A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直20．如图，在等边△ABC中，AB＝15，BD＝6，BE＝3，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（）
A．8 B．10 C．43D．12
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题
1．C
解析：C
【分析】
观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知2
+=21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。

a b
()
【详解】
由于大正方形的边长为22
a b
+，又大正方形的面积为13，
即2213
+=，而小正方形的面积表达式为
a b
a b
+=，而小正方形的面积表达式为2213
2222
-=+-+=⨯-=
a b a b a b
()2()()213215
故本题正确答案为C．
【点睛】
本题主要考查直角三角形，用到勾股定理的证明，正确计算是解题的关键．
2．D
解析：D
【解析】
当一直角边、斜边为1和2时，第三边==；
当两直角边长为1和2时，第三边==；
故选：D．
3．C
解析：C
【解析】
分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.
详解：如图所示，将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′，
连接A′B,则A′B即为最短距离，
A′B2222
=1216=20
'++ (cm)
A D BD
故选C.
点睛：本题考查了勾股定理、最短路径等知识.将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出A关
于EF 的对称点A ′是解题的关键.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
将图形展开，可得到安排AP 较短的展法两种，通过计算，得到较短的即可． 【详解】
解：(1)如图1，AD=3cm ，DP=3+6=9cm ， 在Rt △ADP 中，AP=2239+＝310cm
((2)如图2， AC=6cm ，CP=6cm ， Rt △ADP 中，2266+62
综上，蚂蚁从点A 出发沿纸箱表面爬行到点P 的最短距离是62． 故选A ． 【点睛】
题考查了平面展开--最短路径问题，熟悉平面展开图是解题的关键．
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
先求出S A 、S B 、S C 的值，再根据勾股定理的几何意义求出D 的面积，从而求出正方形D 的边长. 【详解】
解∵S A =6×6=36cm 2，S B =5×5=25cm 2，Sc=5×5=25cm 2， 又∵1010A B C D S S S S +++=⨯ ， ∴36+25+25+S D =100， ∴S D =14，
∴正方形D 14 故选：B. 【点睛】
本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据完全平方公式利用a+b=10，ab=18求出22a b +，即可得到三角形的形状. 【详解】
∵a+b=10，ab=18，
∴22a b +=（a+b ）2-2ab=100-36=64， ∵,c=8， ∴2c =64， ∴22a b +=2c ，
∴该三角形是直角三角形， 故选：B. 【点睛】
此题考查勾股定理的逆定理，完全平方公式，能够利用完全平方公式由已知条件求出
22a b +是解题的关键.
7．B
解析：B 【分析】
设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，根据勾股定理求出a 2+b 2＝AB 2＝9，c 2+b 2＝BC 2＝16，c 2+d 2＝CD 2＝25，即可证得a 2+d 2＝18，由此得到答案. 【详解】
设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，
由勾股定理得，a 2+b 2＝AB 2＝9，c 2+b 2＝BC 2＝16，c 2+d 2＝CD 2＝25， 则a 2+b 2+c 2+b 2+c 2+d 2＝50， ∴a 2+d 2+2（b 2+c 2）＝50， ∴a 2+d 2＝50﹣16×2＝18，
∴AD = 故选：B ． 【点睛】
此题考查勾股定理的运用，根据题中的已知条件得到直角三角形，再利用勾股定理求出未知的边长，解题中注意直角边与斜边.
8．C
解析：C 【分析】
当C ′落在AB 上，点B 与E 重合时，AC'长度的值最小，根据勾股定理得到AB=5cm ，由折叠的性质知，BC ′=BC=3cm ，于是得到结论．
【详解】
解：当C ′落在AB 上，点B 与E 重合时，AC'长度的值最小， ∵∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ， ∴AB=5cm ，
由折叠的性质知，BC ′=BC=3cm ， ∴AC ′=AB-BC ′=2cm ． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9．A
解析：A 【解析】
试题解析：如图，过D 作AB 垂线交于K ，
∵BD 平分∠ABC ， ∴∠CBD=∠ABD ∵∠C=∠DKB=90°， ∴CD=KD ，
在△BCD 和△BKD 中，
CD KD
BD BD ⎧⎨
⎩
＝＝ ∴△BCD ≌△BKD ， ∴BC=BK=3 ∵E 为AB 中点 ∴BE=AE=2.5，EK=0.5， ∴AK=AE-EK=2， 设DK=DC=x ，AD=4-x ， ∴AD 2=AK 2+DK 2
即（4-x ）2=22+x 2 解得：x=
32
∴在Rt △DEK 中， 故选A ．
10．D
解析：D 【分析】
根据折叠的性质可得AD=A'D ，AE=A'E ，易得阴影部分图形的周长为=AB+BC+AC ，则可求得答案． 【详解】
解：因为等边三角形ABC 的边长为1cm ，所以AB=BC=AC=1cm ， 因为△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A'处，所以AD=A'D ，AE=A'E ，
所以阴影部分图形的周长=BD+A'D+BC+A'E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC =1+1+1=3（cm ）． 故选：D ． 【点睛】
此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用以及折叠前后图形的对应关系．
11．B
解析：B 【分析】
根据翻折的性质可知：AC ＝AE ＝6，CD ＝DE ，设CD ＝DE ＝x ，在Rt △DEB 中利用勾股定理解决． 【详解】
解：在Rt △ABC 中， ∵AC ＝6，BC ＝8，
∴AB ＝10，
△ADE 是由△ACD 翻折，
∴AC ＝AE ＝6，EB ＝AB−AE ＝10−6＝4， 设CD ＝DE ＝x ， 在Rt △DEB 中， ∵222DE EB DB +=，
∴()2
22
48x x +=-，
∴x＝3，
∴CD＝3．
故答案为：B．
【点睛】
本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．
12．A
解析：A
【分析】
先根据角平分线的性质可证CD=DE，从而根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED，由DE为AB中线且DE⊥AB，可求AD=BD=3cm ，然后在Rt△BDE中，根据直角三角形的性质即可求出BE 的长.
【详解】
∵AD平分∠BAC且∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
由AD＝AD，
所以，Rt△ACD≌Rt△AED，
所以，AC=AE.
∵E为AB中点，∴AC=AE=1
2
AB，
所以，∠B=30° .
∵DE为AB中线且DE⊥AB，
∴AD=BD=3cm ，
∴DE=1
2
BD=
3
2
,
∴=
故选A.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质，及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.
13．B
解析：B
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10)x
-尺，利
用勾股定理解题即可．
【详解】
解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺，
根据勾股定理得：2224(10)x x +=-．
解得： 4.2x =，
∴折断处离地面的高度为4.2尺，
故选：B ．
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
14．C
解析：C
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．
【详解】
A 、∠A+∠
B ＝∠
C ，可得∠C ＝90°，是直角三角形，错误；
B 、∠A ：∠B ：∠
C ＝1：3：2，可得∠B ＝90°，是直角三角形，错误；
C 、∵22+32≠42，故不能判定是直角三角形，正确；
D 、∵（b+c ）（b ﹣c ）＝a 2，∴b 2﹣c 2＝a 2，即a 2+c 2＝b 2，故是直角三角形，错误； 故选C ．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
15．A
解析：A
【分析】
根据直角三角形的两直角边长分别为5和3，可计算出正方形的边长，从而得出正方形的面积.
【详解】
解：3和5为两条直角边长时，
小正方形的边长=5-3=2，
∴小正方形的面积22
=4；
综上所述：小正方形的面积为4；
故答案选A ．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其应用，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键． 16．D
【解析】
A选项：32+42≠62，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
B选项：52+62≠72，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
C选项：62+82≠92，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
D选项：72+242=252，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确．
故选D．
17．C
解析：C
【分析】
一个三角形中有一个直角，或三边满足勾股定理的逆定理则为直角三角形，否则则不是，据此依次分析各项即可.
【详解】
A. △ABC中，若∠B=∠C－∠A，则∠C =∠A+∠B，则△ABC是直角三角形，本选项正确；
B. △ABC中，若a2=(b+c)(b－c)，则a2=b2－c2，b2= a2+c2，则△ABC是直角三角形，本选项正确；
C. △ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠，故本选项错误；
D. △ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形，本选项正确；
故选C.
【点睛】
本题考查的是直角三角形的判定，利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①确定三角形的最长边；②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等．若相等，则此三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形．
18．C
解析：C
【分析】
根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【详解】
解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：
x2+42=（10-x）2，
解得：x=4.2，
答：折断处离地面的高度OA是4.2尺．
故选C．
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
19．C
解析：C
【分析】
矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案．
【详解】
A、菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项错误；
B、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；
C、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确
D、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误，
故选C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键. 20．D
解析：D
【分析】
首先利用等边三角形的性质和含30°直角三角形的运用，判定△DPE≌△FDH，
△DF2Q≌△ADE，然后利用全等三角形的性质，得出点F运动的路径长.
【详解】
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
过D点作DE′⊥AB，过点F作FH⊥BC于H，如图所示：
则BE′=1
2
BD=3，
∴点E′与点E重合，
∴∠BDE=30°，DE33∵△DPF为等边三角形，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠EDP+∠HDF=90°
∵∠HDF+∠DFH=90°，
∴∠EDP=∠DFH，
在△DPE和△FDH中，
90
PED DHF
EDP DFH
DP FD
︒⎧∠=∠=
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△DPE≌△FDH（AAS），
∴FH=DE
∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为
当点P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1=30°+60°=90°，则DF1⊥BC，
当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则四边形DF1F2Q是矩形，∵∠BDE=30°，∠ADF2=60°，
∴∠ADE+∠F2DQ=180°﹣30°﹣60°=90°，
∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠F2DQ=∠DAE，
在△DF2Q和△ADE中，
2
2
2
F QD DEA90
F DQ DAE
DF AD
︒⎧∠=∠=
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△DF2Q≌△ADE（AAS），
∴DQ=AE=AB﹣BE=15﹣3=12，
∴F1F2=DQ=12，
∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为12，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是作好辅助线.。