电子的准经典运动

§5-5电子的准经典运动
前面给出了晶体中电子的能量本征值及相应的本征态，这是研究晶体中电子运动的根底。

例如，当给出电子的能量本征值，我们便能够了解晶体中电子系统的统计性质。

又如，当我们研究晶体的光汲取和电子散射咨询题时，也都需要先了解电子的本征值和本征态。

然而，并非所有关于电子运动的咨询题都必须应用量子力学方法来处理，晶体中许多电子运动咨询题是能够近似当作经典运动来处理的。

例如，在电、磁场中晶体的输运咨询题就属于这一类型。

本节讨论的中心是在一定条件下，将晶体中电子当作经典粒子处理的方法。

5. 5. 1准经典近似
当我们讨论外场作用下晶体电子的运动规律时，我们首先要明白电子在任意波矢k 状态的平均运动速度，依据量子力学，电子在晶体中平均速度为：
**[]2k k k k v d m ψψψψτ=∇-∇⎰
………………………………………………………………………〔5-5-1〕 其中k ψ是描述k 态的电子波函数，它具有布洛赫函数形式，通过较复杂的计算，能够证实k 态电子的平均速度为：
()()1k v E =∇k k ………………………………………………………………………………………〔5-5-2〕 因此，关于晶体中的电子，我们无需严格地依据量子力学方法，而只要E(k )函数，就可得到电子在晶体中运动的平均速度。

应当指出，上述结论并不是偶然的，因为一定的条件下，晶体中的电子能够近似当作经典粒子来处理，量子力学告诉我们，晶体中处于0ψk 状态的电子，在经典近似下其平均速度相当于以0k 为中心的由布洛赫波组成的波包的速度。

5. 5. 2波包与电子平均速度
讨论一维情况，设波包是由以0k 为中心，波矢范围为Δk 的布洛赫波组成。

仅当2a π∆k
时，才
能把电子瞧做准经典粒子〔后面将给出证实〕。

在那个条件下，描写波包的函数为： ()00000()()2222,()()k
k k k i kx t i kx t k k k k k k x t u x e dk u x e dk ωωψ∆∆++--∆∆--=⋅⎰⎰………………………………………〔5-5-3〕
作变数变换，令0k k ζ=+，那么
00
()k k d dk ωωωζ=+……………………………………………………………………………………〔5-5-4〕 因此得到：
()00
00()sin [()]2,()1[()]2k i k x t k k k d x t dk x t u x e d x t dk ωωψω-∆-=-………………………………………………………〔5-5-5〕 该波包所描写的粒子的几率分布为：
()0002222sin [()]2,()[()]2k k k k d x t dk x t u x k k d x t dk ωψω∆⎧⎫-⎪⎪=∆⎨⎬∆⎪⎪-⎩⎭
………………………………………………〔5-5-6〕
如图5-5-1所示。

由此可见，波包中心位于：
k d t dk ω⎛⎫ ⎪⎝⎭x=…………………………………………………………………………………………〔5-5-7〕 上式讲明，假设把波包瞧作一个准经典粒子，那么其运动速度为：
00
01()k k d dE v k dk dk ω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………………〔5-5-8〕 我们再来瞧瞧能把波包瞧成准粒子的条件是什么？一个布里渊区内包含所有的状态k ，而由于布洛赫波存在色散，一个稳定的波包所包含的波矢范围必须是一个特别小的量，假设把Δk 大小与布里渊区的线度相比立，显然应有：
2k a π∆……………………………………………………
……………………………………〔5-5-9〕
另一方面，由式〔5-5-6〕或图5-5-1可见，波包在空间集中
在
22x k k
ππ-≤∆≤∆∆……………………………………………………………………………………〔5-5-10〕
范围内。

通常用Δx 表示波包的大小。

因此，由式〔5-5-9〕
可知，应有：Δx>>a 。

也确实是根基讲，要是波包大小比原
胞的线度大得多，那么晶体中电子的运动能够用波包运动的
规律来描述，即波包中心的速度等于粒子处于波包中心那个
状态所具有的平均速度。

例如，在输运过程中，只有当自由
程远远大于原胞线度的情况下，才能够把电子瞧作是一个准
经典运动的粒子。

图5-5-2(a )和(b )分不给出E (k )，v (k )在简约布里渊区内作
为k 的函数曲曲折折曲曲折折折折线。

可见，在能带底的能
带顶处，即E (k )的极值点处，电子速度为零，而在
220d E dk =处电子速度的数值最大。

这种情况与自由粒子
速度随能量E 单调增大是显然不同的。

将上述结果推广到三
维情况为：
1E =∇k v ………………………………………………………
…………………………………〔5-5-11〕
图5-5-1〔6-20〕描述电子准经典运动的波包
5. 5. 3外力作用下电子状态的变化
晶体中的电子在外力作用下其状态是如何样变化的？当
将电子瞧作准经典粒子时，那个咨询题是不难用经典力学方法解决的。

依据功能原理，在外力F 作用下，单位时刻内电子能量的增加应为：
dE dt Fv =………………………………………………………………………………………〔5-5-12〕
由于电子能量E 取决于状态波矢k ，因而在外力作用下，电子的波矢k 必定发生相应的变化，并由此引起电子能量的变化，即：
()dE dE dk d k v dt dk dt dt ==…………………………………………………………………………〔5-5-13〕 比立〔5-5-12〕和〔5-5-13〕式，得到：
()d k F dt
=………………………………………………………………………………………〔5-5-14〕 式〔5-5-14〕即为外力作用时，电子状态变化的全然方程。

它和牛顿定律具有相似的形式，只是以ħk 代替了经典力学中粒子的动量，故称ħk 为电子的准动量。

在电子的准经典运动以及其它一些物理过程中，ħk 具有动量的性质。

在三维情况下，当有外电场外E 和磁场B 存在时，
()e =-+⨯外F E v B ……………………………………………………………………………〔5-5-15〕 因而有：
()()d e dt
=-+⨯外k E v B ……………………………………………………………………〔5-5-16〕 5. 5. 4晶体中电子的有效质量
晶体中电子在外力作用下的加速度可依据式〔5-5-8〕式来求： 11()()dv d dE d dE dt dt dk dk dt
==……………………………………………………………………〔5-5-17〕 由〔5-5-12〕式有： 1dE dE Fv F dt dk
==⋅………………………………………………………………………………〔5-5-18〕 因此有：
2222
11()dv d dE d E F F dt dk dk dk =⋅=⋅……………………………………………………………………〔5-5-19〕 我们能够定义：
2*2211d E m dk
=…………………………………………………………………………………………〔5-5-20〕 这是由E ~k 函数的二阶导数决定的，称为晶体中电子的有效质量。

将〔5-5-20〕代进(5-5-19)式，那么〔5-5-19〕式的形式能够写成与牛顿定律相似的形式：
能够讲明，有效质量*
m 是晶体中电子对外力F 的碍事。

晶体中的电子同时受到外力F 和内部相互作用力l F 的综合作用，即 1()l d dt m
=+v F F ………………………………………………………………………………〔5-5-21〕 引进*
m ，那么有 *
1d dt m =v F …………………………………………………………………………………〔5-5-22〕 也确实是根基讲，
*m m =+l
F F F …………………………………………………………………………〔5-5-23〕
显然，外力与加速度的关系不是由电子的惯性质量所联系的，而必须引进有效质量的概念，它包括了内力的作用，即m*包含了晶格周期场的作用，晶体中的电子对外力的响应，好比具有质量为m*的自由电子。

关于三维情况，通过类似的推导能够得到 21d E dt
=∇∇⋅k k v F ………………………………………………………………〔5-5-24〕 将上式写成张量形式为
2222222*22222211x x x y x z x y y y x y y z z z z x z y z E E E dv k k k k k dt F dv d E E E F dt dt m k k k k k F dv E E E dt k k k k k ⎛⎫∂∂∂⎛⎫ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∂∂∂∂∂⎝⎭
v F ………………………………〔5-5-25〕 与牛顿定律相比，现在以一个张量代替了1/m ，我们称其为有效质量倒易张量〔1/m*〕，如选坐标轴沿张量的主轴方向，那么只有α=β的重量不为0，这时有
2222222222*2222222222001110000x x y x z x y x y y z y z x
z y z z E E E E k k k k k k E E E E m k k k k k k E E E E k k k k k k ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂ ⎪ ⎪== ⎪∂∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭
⎝⎭……………………………〔5-5-26〕 能够简写为： 2*211(),(,,,)ij i j E i j x y z m k k ∂==∂∂………………………………………………………………〔5-5-27〕 假设选,,x y z k k k 为张量主轴，其中
20,()0()
E k k αβαβαβ≠=⎧∂⎨=≠∂∂⎩。

…………………………………………………………………………〔5-5-28〕 因此在主轴坐标系中能够定义有效质量张量为：
222*2**22*222000000x x y y z z E k m E m m k m E k ⎛⎫∂
⎪∂ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪∂ ⎪== ⎪∂ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∂ ⎪ ⎪∂⎝
⎭…………………………………………〔5-5-29〕 由式〔5-5-29〕可见，有效质量不是一个常数，是波矢k 的函数〔如图5-5-2〔c 〕所示〕，而且是一个张量，***
,,x y z m m m 能够不相等；有效质量不仅能够取正值，也可取负值。

应该指出，能带底和能带顶为E(k )
函数的微小和极大，分不具有正值和负值的二级微商。

因此，在一个能带底四面，有效质量总是正的；而在一个能带顶四面，有效质量总是负的。

例如，关于立方对称的晶体，其x ，y ，z 轴是完全等价的，有效质量的主轴确实是根基x ，y ，z 轴，那么关于紧束缚近似所得到的简立方晶格情况，其能带函数E(k )如式〔5-4-18〕所示，不难证实，
221*2**21*221002cos 002cos 002cos x x y y z z a J k a m m m a J k a m a J k a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
⎪⎝⎭
………………………………〔5-5-30〕 那么在能带底k =0处，电子的有效质量为：
2
2*2211100010022001m a J a J ⎛⎫ ⎪==> ⎪ ⎪⎝⎭…………………………………………………………………〔5-5-31〕 而在能带顶(/,/,/)a a a πππ=±±±k 处，那么有：
22*2211100010022001m a J a J ⎛⎫ ⎪=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭……………………………………………………………〔5-5-32〕。