江苏省常州市晋陵中学2020年高二数学理下学期期末试卷含解析

江苏省常州市晋陵中学2020年高二数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x <0时，
f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且，则f(x)g(x)<0的解集
是 ( )
A . (－3，0)∪(3，+∞) B. (－3，0)∪(0，3)
C . (－∞，－3)∪(3，+∞) D. (－∞，－3)∪(0，3)
参考答案：
D
略
2. 若向量（），则“”是“”的（）
A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案：
A
3. 若不重合的四点，满足，，则实数的值为A、
B、C、D、（）
参考答案：
B
略
4. 下列计算错误的是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
D
略
5. 将石子摆成如图的梯形形状，称数列为“梯形数”．根据图形的构成，数列的第10项为（）
A． B． C．
D．
参考答案：
D
略
6. 由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有（）
A．36个B．42个C．48个D．120个
参考答案：
B
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】分两类，当末尾是0时和末尾不是0时，根据分类计数原理可得答案．
【解答】解：末尾是0时，有A44=24种；
末尾不是0时，有1种选择，首位有3种选择，中间任意排，故有C11C31A33=18种
故共有24+18=42种．
故选：B
7. 设是等差数列，是的前项和，且，下列四个结论：① ；
② ；③ ；④ 均为的最大值.
其中正确结论的个数是
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4参考答案：
C
略
8. 椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么
是的（）
A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍
参考答案：
A
9. 某小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共
有（）A.36种 B.42种 C.48种 D.54种
参考答案：
B
10. 具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①②B．①③C．②③D．①
参考答案：
B
满足．综上，满足“倒负”变换的函数是①③.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离
为（）
A．B．C．或D．或参考答案：
C
略
12. 设的内角所对边的长分别为.若，则则角
_________.
参考答案：
13. 今年暑假，小明一家准备从A城到G城自驾游，他规划了一个路线时间图，箭头上的数字表示所需的时间（单位：小时），那么从A城到G城所需的最短时间为小时．
参考答案：
10
14. （12分）已知M为抛物线上的一动点，直线.求M到
的距离最小值，
并求出此时点M的坐标.
参考答案：
解：设，则M到l的距离
……6分
所以，……10分
此时
点.……12分
15. 从一块短轴长为的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是
，则该椭圆离心率的取值范围是．
参考答案：
略
16. 函数f（x）=x2e﹣x，则函数f（x）的极小值是．
参考答案：
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】通过求导判断函数的单调性，结合极小值的概念可得结论．
【解答】解：因为f（x）=x2e﹣x，x∈R
所以f′（x）=2xe﹣x﹣x2e﹣x=（2﹣x）xe﹣x，
令f′（x）=0，解得x=0或x=2，
因为当x＜0或x＞2时f′（x）＜0，当0＜x＜2时f′（x）＞0，
所以函数f（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（﹣∞，0），（2，+∞），
所以当x=0时取得极小值f（0）=0，
故答案为：0．
17. 已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁，在某天的某个时刻，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印资料：（1）甲不在查资料，也不在写教案；（2）乙不在打印资料，也不在查资料；（3）丙不在批改作业，也不在打印资料；（4）丁不在写教案，也不在查资料.此外还可确定，如果甲不在打印资料，那么丙不在查资料，根据以上消息可以判断甲在_______．
参考答案：
打印材料
【分析】
结合条件（1），先假设甲在批改作业，再结合题中其它条件分析，推出矛盾，即可得出结果.
【详解】因为甲不在查资料，也不在写教案，
若甲在批改作业，根据“甲不在打印资料，那么丙不在查资料”以及“丙不在批改作业，也不在打印资料”得，丙在写教案；又“乙不在打印资料，也不在查资料”，则乙可能在批改作业或写教案，即此时乙必与甲或丙工作相同，不满足题意；所以甲不在批改作业；
因此甲在打印资料.
故答案为：打印材料
【点睛】本题主要考查简单的合情推理，结合题中条件直接分析即可，属于常考题型.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （14分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如下图）。

考察范围到A、B两点的距离之和不超过10Km的区域。

（1）求考察区域边界曲线的方程：
（2）如下图所示，设线段是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍。

问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线
参考答案：
略
19. 已知的展开式中第二项与第三项的二项式系数之和为36．（1）求n的值；（2）求展开式中含的项及展开式中二项式系数最大的项．
参考答案：
（1）8；（2）.
分析：（1）由条件利用二项式系数的性质求得n的值;
(2) 二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于，求得r的值，可得展开式中含的项,进而得到展开式中二项式系数最大的项.
详解：（1）由题意知，第二项的二项式系数为，第三项的二项式系数为，
,,
得或（舍去）.
(2)的通项公式为：
，令8﹣5k=3，求得k=1，
故展开式中含的项为．
又由知第5项的二项式系数最大，此时.
点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．20. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，顶点A1在底面ABC内的射影恰好是AB的中点O，且
AB=BC=2．OA1=2，
（1）求证：平面ABB1A1⊥平面BCC1B1；
（2）求直线A1C与平面ABC所成的角的余弦值．
参考答案：
【考点】MI：直线与平面所成的角；LY：平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）根据A1O⊥平面ABC可得A1O⊥BC，结合AB⊥BC即可得出BC⊥平面ABB1A1，于是平面ABB1A1⊥平面BCC1B1；
（2）由A1O⊥平面ABC可知∠A1CO是直线A1C与平面ABC所成的角，计算OC，A1C，从而得出
cos∠A1CO．
【解答】（1）证明：∵A1O⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴A1O⊥BC，
又BC⊥AB，A1O∩AB=O，A1O?平面ABB1A1，
AB?平面ABB1A1，
∴BC⊥平面ABB1A1，
又BC?平面BCC1B1，
∴平面ABB1A1⊥平面BCC1B1．
（2）解：∵A1O⊥平面ABC，
∴∠A1CO是直线A1C与平面ABC所成的角，
∵OB=AB=1，BC=2，AB⊥BC，
∴OC=，
又A1O=2，∴A1C=3，
∴cos∠A1CO==．
21. 共13分）在直三棱柱ABC—A1B1C1中， D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D异于
B、C）且AD⊥DE.
（1）求证：面ADE⊥面BCC1B1（2）若ABC为正三角形，AB=2，AA1=4，E为CC1的中点，求二面角E-AD-C的正切值。

参考答案：
（1）略（2）2
略
22. (本题14分)正三棱台中，分别是上、下底面的中心．已知
，．
（1）求正三棱台的体积；
（2）求正三棱台的侧面积.
参考答案：
（1）正三棱台的上底面积为
………………2分
下底面积为
……………4分
所以正三棱台的体积为
…………………………………7分
（2）设，的中点分别为，，
则正三棱台的斜高为，…………10分
故正三棱台的侧面积为．…14分。