2.4 对偶单纯形法
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①问题标准化后，价值系数全非正；
②所有约束全是不等式。
2.4 对偶单纯形法
•§4 对偶单纯形法
在单纯形法中，原问题的最优解满足：
（1）是基本解；
（2）可行（ XB=B-1b≥0）； （3）检验数C-CBB-1A≤0 YA≥C ，即对偶解可行。 单纯形算法是从满足（1）、（2）的一个基可行解出发 ，转换到另一个基可行解，一直迭代到（3）得到满足， 即对偶解可行为止。而对偶单纯形法则是从满足（1）、 （3）的一个对偶可行解出发，以基变量值是否全非负为 检验数，连续迭代到（2）得到满足，即原问题的基解可 行为止。两种算法结果是一样的，区别是对偶单纯形法 的初始解不一定可行，只要求所有检验数都非正，在保 证所得解始终是对偶可行解的前提下，连续迭代到原问 题的基解可行，从而取得问题的最优解。
步骤3 若所有aιj≥0,则原问题无可行解，计算停；否则， 计算 θ=min｛σj / aιj│ aιj ＜0 ｝=σk/aιk 确定对应的xk为旋入变量。
步骤4 以aιk为主元作（L，K）旋转变换，得新的单纯形表， 转步骤2。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ可以证明，按上述方法进行迭代，所得解始终是对偶可行
解。
例2 用对偶单纯形法求解下述问题
对偶单纯形法计算步骤如下：
步骤1 确定原问题（L）的初始基B，使所有检验 数形表σ j 。Cj-CBB1Pj0，即Y=CBB-1是对偶可行解，建立初始单纯
步骤2 检查基变量的取值，若XB=B-1b≥0，则已得最优解， 计算停；否则求
min{(B-1b)i│(B-1b)i＜0｝=(B-1b)ι 确定单纯形表第L行对应的基变量为旋出变量。
minZ=12x1+8x2+16x3 +12x4 2x1+ x2 +4x3 ≥2
2x1+2x2+4x4 ≥3 x1,x2,x3,x4≥0 解：令Z =-Z，则问题可变为 maxZ =-12x1-8x2-16x3-12x4 - 2x1- x2 -4x3 +x5 =-2
-2x1-2x2 -4x4 +x6=-3
x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0 取B=（P5,P6）为初始基，易见所有检验数σj≤0， 从而可建立单纯形表，计算结果如下：
L=2，K=4
L=1，K=2
L=2，K=1
最优解： X1=1/2， X2=1， X3=X4=0, minZ=14
本例如果用单纯形法计算，确定初始基可行解时 需引入两个人工变量，计算量要多于对偶单纯形法。 一般情况下，如果问题能够用对偶单纯形法计算，计 算量会少于单纯形法。但是，对偶单纯形法并不是一 种普遍算法，它有一定的局限性，不是任何线性规划 问题都能用对偶单纯形法计算的。当线性规划问题具 备下面条件时，可以用对偶单纯形法求解：
②所有约束全是不等式。
2.4 对偶单纯形法
•§4 对偶单纯形法
在单纯形法中，原问题的最优解满足：
（1）是基本解；
（2）可行（ XB=B-1b≥0）； （3）检验数C-CBB-1A≤0 YA≥C ，即对偶解可行。 单纯形算法是从满足（1）、（2）的一个基可行解出发 ，转换到另一个基可行解，一直迭代到（3）得到满足， 即对偶解可行为止。而对偶单纯形法则是从满足（1）、 （3）的一个对偶可行解出发，以基变量值是否全非负为 检验数，连续迭代到（2）得到满足，即原问题的基解可 行为止。两种算法结果是一样的，区别是对偶单纯形法 的初始解不一定可行，只要求所有检验数都非正，在保 证所得解始终是对偶可行解的前提下，连续迭代到原问 题的基解可行，从而取得问题的最优解。
步骤3 若所有aιj≥0,则原问题无可行解，计算停；否则， 计算 θ=min｛σj / aιj│ aιj ＜0 ｝=σk/aιk 确定对应的xk为旋入变量。
步骤4 以aιk为主元作（L，K）旋转变换，得新的单纯形表， 转步骤2。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ可以证明，按上述方法进行迭代，所得解始终是对偶可行
解。
例2 用对偶单纯形法求解下述问题
对偶单纯形法计算步骤如下：
步骤1 确定原问题（L）的初始基B，使所有检验 数形表σ j 。Cj-CBB1Pj0，即Y=CBB-1是对偶可行解，建立初始单纯
步骤2 检查基变量的取值，若XB=B-1b≥0，则已得最优解， 计算停；否则求
min{(B-1b)i│(B-1b)i＜0｝=(B-1b)ι 确定单纯形表第L行对应的基变量为旋出变量。
minZ=12x1+8x2+16x3 +12x4 2x1+ x2 +4x3 ≥2
2x1+2x2+4x4 ≥3 x1,x2,x3,x4≥0 解：令Z =-Z，则问题可变为 maxZ =-12x1-8x2-16x3-12x4 - 2x1- x2 -4x3 +x5 =-2
-2x1-2x2 -4x4 +x6=-3
x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0 取B=（P5,P6）为初始基，易见所有检验数σj≤0， 从而可建立单纯形表，计算结果如下：
L=2，K=4
L=1，K=2
L=2，K=1
最优解： X1=1/2， X2=1， X3=X4=0, minZ=14
本例如果用单纯形法计算，确定初始基可行解时 需引入两个人工变量，计算量要多于对偶单纯形法。 一般情况下，如果问题能够用对偶单纯形法计算，计 算量会少于单纯形法。但是，对偶单纯形法并不是一 种普遍算法，它有一定的局限性，不是任何线性规划 问题都能用对偶单纯形法计算的。当线性规划问题具 备下面条件时，可以用对偶单纯形法求解：